Chuyên đề 4: chia hết trong tập số tự nhiên
I. Kiến thức bổ sung:
1. a
M
m ; b
M
m

k
1
a + k
2
b
M
m
2. a
M
m ; b
M
m ; a + b + c
M
m

c
M
m
II. Bài tập:
* Các phơng pháp chứng minh chia hết.
PP 1: Để chứng minh A
M
b (b

1 ta biểu diễn A = a
1
.a
2
rồi tìm cách chứng minh a
1

M
m; a
2

M
n thì tích a
1
.a
2

M

m.n suy ra A
M
b.
PP 5. Dùng các dấu hiệu chia hết.
PP 6. Để chứng minh A
M
b ta biểu diễn
1 2
...
n
A A A A= + +

+...+2
39
là bội của 15 T = 125
7
-25
9
là bội của 124
c) M =
2 3 4 2000
7 7 7 7 ... 7 8+ + + + + M
d) P =
2 3 2
... 1
n
a a a a a+ + + + +M
với a,n

N
Bài toán 6: CMR tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên
tiếp chia hết cho 5.
Bài toán 7: CMR: + Tổng của 3 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6
+ Tổng 3 số lẽ liên tiếp không chia hết cho 6.
+ Tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng 5 số lẽ liên tiếp
thì chia 10 d 5
Bài toán 8: Cho a,b

N và a - b
M
7 . CMR 4a +3b
M

CMR A chia hết cho 7;15;3
Bài toán 12. Cho S = 3 +3
2
+3
3
+...+ 3
1998
. CMR
a) S
M
12 ; b) S
M
39
Bài toán 13. Cho B = 3 +3
2
+3
3
+...+ 3
1000
; CMR B
M
120
Bài toán 14. Chứng minh rằng:
a) 36
36
- 9
10
M
45 ; b) 8
10

+ M
i)
7 9 13
81 27 9 45 M
1
Bài toán 15. Tìm n

N để :
a) 3n + 2
M
n - 1 b) n
2
+ 2n + 7
M
n + 2 c) n
2
+ 1
M
n - 1
d) n + 8
M
n + 3 e) n + 6
M
n - 1 g) 4n - 5
M
2n - 1
Bài toán 16. CMR:
a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.

10 1 . 11..1 . 9
n
n c s
B a n b

= +
ữ

M
Bài toán 22. Hai số tự nhiên a và 2.a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh rằng a
M
3
Bài toán 23. CMR: m + 4n
M
13

10m + n
M
13.
,m n N
Chuyên đề: ớc chung ƯCLN Bội chung BCNH
A. Kiến thức bổ sung.
1. ƯC - ƯCLN
+ Nếu a
M
b thì (a,b) = b.
+ a và b nguyên tố cùng nhau

(a,b) = 1
+ Muốn tìm ớc chung của các số đã cho ta tìm các ớc của ƯCLN của các số đó.

Bài 1. Tìm ƯCLN rồi tìm ƯC của 48 và 120.
Bài 2. Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng 120
M
a và 150
M
a.
Bài 3. Tìm số tự nhiên x biết rằng 210
M
x , 126
M
x và 10 < x < 35.
Bài 4. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0, biết rằng a
M
120 và a
M
86.
Bài 5. Tìm các bội chung nhỏ hơn 300 của 25 và 20.
Bài 6. Một đội y tế có 24 bác sỹ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ
để số bác sỹ và y tá đợc chia đều cho các tổ?
Bài 7. Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ bó.
Biết số sách trong khoảng 200 đến 500. Tìm số sách.
Bài 8. Một liên đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 ngời. Tính
số đội viên của liên đội đó biết rằng số đó trong khoảng từ 100 đến 150.
Bài 9. Một khối học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 ngời, nh-
ng xếp hàng 7 thì và đủ. Biết rằng số học sinh đó cha đến 300. Tính số học sinh đó.
Bài 10. Một con chó đuổi một con thỏ cách nó 150 dm. Một bớc nhảy của chó dài
9 dm, một bớc nhảy của thỏ dài 7 dm và khi chó nhảy một bớc thì thỏ củng nhảy một b-
ớc. Hỏi chó phải nhảy bao nhiêu bớc mới đuổi kịp thỏ?
Bài 11. Tôi nghĩ một số có ba chữ số.
Nếu bớt số tôi nghĩ đi 7 thì đợc số chia hết cho 7.

a) 7n +10 và 5n + 7 b. 2n +3 và 4n +8.
Bi 1 : Cho s
1327x
. in vo x bng ch s thớch hp s ú :
a) Chia ht cho c 2 v 3 . b. Chia ht cho c 5 v 9
Bi 2 : Tỡm x
N
bit :
a)
63 x 84 x;M M
v x > 20
b)
x 18 x 24 x 30; ;M M M
v 200 < x < 250
Bi 3 : phỏt thng cho hc sinh nghốo vt khú, nh trng cú 864 quyn v , 504
bỳt v 144 thc, chia u cỏc phn thng nh nhau. Hi cú th chia c nhiu nht
bao nhiờu phn thng ? Lỳc ú mi phn thng cú bao nhiờu dng c mi loi ?
Bi 4 : Tỡm s t nhiờn nh nht. Khi chia s ú cho 6; 7; 8 c s d ln lt l 1; 2 ; 3
Cõu 1: Cho A=9+15+x+21+126 .
Tỡm x A
M
3 , bit x l s t nhiờn cú hai ch s nh hn 20
Cõu 2: Tim x

N biờt a/
48 x;60 xM M
; x ln nht. b/
x 42;x 56M M
;x nh nht.
Cõu 3: Lp 6A cú 30 hc sinh n v 18 hc sinh nam.Cú bao nhiờu cỏnh chia t s nam