Trần Só Tùng Đại số 11
Trang
1 I. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phương trình sinx = sinα
αα
α
a/
2
sin sin ( )
2
x k
x k Z
x k

= +
= ⇔ ∈

= − +

α π
α
π α π

b/


e/ sin cos sin sin
2
u v u v
 
= − ⇔ = −
 
 
π

Các trường hợp đặc biệt:
sin 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π

sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= − ⇔ = − + ∈
π
π2 2
sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )
2
x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈

π

e/ cos sin cos cos
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 
 
π

Các trường hợp đặc biệt:
cos 0 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π

cos 1 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
cos 1 2 ( )x x k k Z= − ⇔ = + ∈
π π2 2
cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈
π

 
 
π

Các trường hợp đặc biệt:
tan 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
tan 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π
π

4. Phương trình cotx = cot
α
αα
α

cot cot ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈
α α π

cot arccot ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈
π

Các trường hợp đặc biệt:
cot 0 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π

x x k k Z≠ ⇔ ≠ + ∈
π
π

• tan 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π

• cot 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π

b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách
sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trò của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô đònh. Trần Só Tùng Đại số 11
Trang 3
Bài 1.
Giải các phương trình:
1)
cos 2 0
6
x
 

5) sin 1
2 4
x
 
− =
 
 
π
6) sin 2 1
6
x
 
+ = −
 
 
π

7)
( )
1
sin 3 1
2
x + = 8)
( )
0
2
cos 15
2
x − =
9)

13)
tan 3 1
6
x
 
+ = −
 
 
π
14) cot 2 1
3
x
 
− =
 
 
π
15) cos(2x + 25
0
) =
2
2
−

Bài 2.
Giải các phương trình:
1)
( ) ( )
sin 3 1 sin 2x x+ = − 2) cos cos 2
3 6

π

7)
tan 3 tan
4 6
x x
   
− = +
   
   
π π
8) cot 2 cot
4 3
x x
   
− = +
   
   
π π

9)
( )
tan 2 1 cot 0x x+ + = 10)
( )
2
cos 0x x+ =
11)
( )
2
sin 2 0x x− = 12)
Nếu đặt:
2
sin sin : 0 1.
h́
t x hoặc t x t điều kiện t= = ≤ ≤

Dạng Đặt Điều kiện
2
sin 0asin x b x c+ + =
t = sinx
1 1t− ≤ ≤
2
cos cos 0a x b x c+ + =
t = cosx 1 1t− ≤ ≤
2
tan tan 0a x b x c+ + =
t = tanx
( )
2
x k k Z≠ + ∈
π
π

( )
2
4sin 2 3 1 sin 3 0x x− + + =
6)
3
4 cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
7) tan
2
x + cot
2
x = 2 8) cot
2
2x – 4cot2x + 3 = 0
Bài 2.
Giải các phương trình sau:
1) 4sin
2
3x +
( )
2 3 1 cos3 3x+ −
= 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos
2
(2 – 6x) + 16cos
2
(1 – 3x) = 13 4)
( )
2
1
3 3 tan 3 3 0

x
10) 2cos2x + tanx =
4
5

Bài 3.
Cho phương trình
sin3 cos3 3 cos2
sin
1 2sin2 5
x x x
x
x
 
+ +
+ =
 
+
 
. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
( )
0 ; 2
π
.
Bài 4.
Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
( )
;−

+ + +

• Đặt:
( )
2 2 2 2
sin , cos 0, 2
a b
a b a b
 
= = ∈
 
+ +
α α α π

phương trình trở thành:
2 2
sin .sin cos .cos
c
x x
a b
+ =
+
α α2 2
cos( ) cos (2)
c
x
a b

x k
≠ + ⇔ ≠
π π

Đặt:
2
2 2
2 1
tan , sin , cos ,
2
1 1
x t t
t thay x x
t t
−
= = =
+ +
ta được phương trình bậc hai theo t:
2
( ) 2 0 (3)b c t at c b+ − + − =
Vì 2 0,x k b c≠ + ⇔ + ≠
π π
nên (3) có nghiệm khi:
2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .a c b a b c= − − ≥ ⇔ + ≥
∆

Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:

sin cos
2
x x+ =
3) 3 cos3 sin3 2x x+ =
4)
sin cos 2 sin5x x x+ = 5)
( ) ( )
3 1 sin 3 1 cos 3 1 0x x− − + + − =

6)
3 sin 2 sin 2 1
2
x x
 
+ + =
 
 
π

Bài 2.
Giải các phương trình sau:
1)
2
2sin 3 sin2 3x x+ = 2)
( )
sin8 cos6 3 sin 6 cos8x x x x− = +

3)
3 1
8cos