SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
(Đáp án gồm 08 trang)
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Câu I
(4 điểm)
Cho hàm số
( )
( )
3 2 2 2
y 2x 4m 1 x 4 m m 1 x 2m 3m 2
= − + + − + − + −
có đồ thị là (C
m
).
1. Tìm điểm cố định mà đồ thị (C
m
) luôn đi qua với mọi m.
2.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các giá trị cực trị của hàm số cùng dấu.
1.
Gọi A(x; y) là điểm mà đồ thị (Cm) đi qua ∀m
⇔
( )
( )
3 2 2 2
2x 4m 1 x 4 m m 1 x 2m 3m 2 y
− + + − + − + − =
∀m


 
⇔ ⇒

 ÷
 

=

0,5đ
2.
Ta có y’ = 6x
2
− 2(4m + 1)x + 4(m
2
− m + 1)
Hàm số có CĐ, CT ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm pb
⇔ (4m + 1)
2
− 24(m
2
− m + 1) > 0
0,5đ
⇔ − 8m
2
+ 32m − 23 > 0
⇔
8 3 2 8 3 2
m ;
4 4

− 2mx + 2m
2
− 3m + 2 = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0,5
⇔ m
2
− 2m
2
+ 3m − 2 < 0 hoặc
0
1
m
2
∆ =



=


vô nghiệm
0,25đ
⇔ m
2
− 3m + 2 > 0
⇔ m ∈ ( −∞ ; 1) ∪ (2 ; + ∞) (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được m ∈
8 3 2 8 3 2
;1 2;
3 4
   

Giải phương trình:
ĐK:
3
2cos x 3 0 cosx
2
+ ≠ ⇔ ≠ −
0,25đ
Trang 1
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
PT ⇔
( )
3 sin2x cos2x 5sin x 2 3 cosx + 3 + 3 2cos x 3
− − + − = +
⇔
3 sin2x cos2x 5sin x 3cosx + 3 = 0
− − −
0,25đ
⇔
( )
2
3cosx 2sinx 1 + 2sin x 5sin x + 2 = 0
− −
⇔
( ) ( ) ( )
3cosx 2sinx 1 + 2sinx 1 sin x 2 = 0
− − −
0,25đ
⇔
( )
( )

+ =
 ÷

 

0,25đ
⇔
x k2
6
5
x k2
6
x k2
6
π

= + π


π

= + π


π

= + π


0,25đ

⇔ log
3
3(x − 1)
2
+ 3(x − 1)
2
= log
3
(2x − 1) + 2x − 1
0,5đ
Xét f(t) = log
3
t + t trên (0; +∞)
Ta có:
1
f '(x) 1 0 t 0
t ln3
= + > ∀ >
⇒ f(t) là hàm số đồng biến trên (0; +∞) (1)
0,25đ
PT ⇔
( )
( )
( )
2
f 3 x 1 f 2x 1
− = −
(2)
Từ (1) và (2) ta được 3(x − 1)
2

Câu III
(2 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm (x; y) thoả mãn x ≥ −1:
( )
3
x
2 (1)
y
x 4
8m (2)
y x 2y

>



+

=

−

ĐK cần: Giả sử hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn x ≥ −1.
Phương trình (1) ⇔ y(x − 2y) > 0
Ta có: 0 < y(x − 2y) = xy − 2y
2
=
2
2 2 2 2
2

4
m x
x
≥ +
(*)
0,25đ
Hệ có nghiệm (x; y) với x ≥ −1 nên (*) có nghiệm x ≥ −1
Xét hàm số
2
4
f (x) x
x
= +
trên D = [−1; +∞)\{0}
Ta có
3
3 3
8 x 8
f '(x) 1
x x
−
= − =
f’(x) = 0 ⇔ x = 2
0,25đ
BBT:
0,25đ
BBT ⇒ (*) có nghiệm ⇔
D
minf (x) m≤
⇔ m ≥ 3

− + =


0,25đ
Do m ≥ 3 nên PT (3) có ∆ =
3 m 3
1 4. 0
4m m
−
− = ≥
PT (3) có 2 nghiệm
1
3
1 1
m
y
2
− −
=
∈ (0; 1) ;
2
3
1 1
m
y
2
+ −
=
∈ (0; 1).
0,25đ

 
với ∀m ≥ 3.
Kết luận ∀m ≥ 3.
0,25đ
Câu IV
(3 điểm)
1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại duy nhất số thực x
n
sao
cho:
n
n
X
1
x n 0
2010
− + =
. Xét dãy số (U
n
) với U
n
= x
n
− n. Tìm lim U
n
.
2. Tìm n nguyên dương thoả mãn:
( )
0 1 2 2 n n
n n n n

2010
1
f (n 1) 1 0
2010
+

= >




+ = − <


⇒ f(n).f(n+1) < 0 (2) 0,5đ
Từ (1) và (2) ⇒ với mỗi số nguyên dương n thì phương trình
x
1
x n 0
2010
− + =
có đúng 1 nghiệm x
n
∈ (n; n + 1)
0,5đ
Ta lại có 0 < x
n
− n
n
X

(1)
Thay x = 2 vào (1) ta có:
0 1 2 2 n n n
n n n n
C 2C 2 C ... 2 C 3+ + + + =
(a)
0,25đ
Đạo hàm hai vế của (1) ta có
( )
n 1
1 2 2 3 n 1 n
n n n n
C 2xC 3x C ... nx C n 1 x
−
−
+ + + + = +
(2)
Đạo hàm hai vế của (2) ta có
( )
n 2
2 3 n 2 n
n n n
2C 3.2xC ... n(n 1)x C n n 1)(x 1
−
−
+ + + − = − +
(3)
0,25đ
Thay x = 1 vào (3) ta có:
2 3 n n 2

ln3 + (2n − 1).2
n
−
2
+ n(n − 1).2
n
−
2
ln2 > 0 ∀n ∈ [1; +∞)
⇒f(n) đồng biến trên [1; +∞) mà f(5) = 403
⇒ pt có nghiệm duy nhất n = 5.
0,25đ
Trang 4
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Câu V
(2 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh
của hình vuông ABCD, biết rằng các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua
các điểm M(2; 1), N(0; 1), P(3; 5), Q(−3; −1).
Giả sử đt AB có véc tơ pháp tuyến
( )
n A;B
r
với A
2
+ B
2
> 0
T/c hình vuông và gt ⇒ AB: Ax + By − 2A − B = 0
CD: Ax + By − 3A − 5B = 0

DA: 3x + y + 10 = 0
0,5đ
Câu VI
(3 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm ∆ABC.
1. Gọi (P) là mặt phẳng cắt các đoạn SA, SB, SC, SG lần lượt tại A’, B’, C’, G’ sao cho không
có điểm nào trùng với đầu mút của các đoạn thẳng. Chứng minh rằng:
SA SB SC SG
3
SA' SB' SC' SG '
+ + =
.
2. Khi hình chóp S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SM và BN với M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC.
3. Khi hình chóp S.ABC có SA = a, SB = 2a, SC = 3a và
·
o
ASB 60=
,
·
o
BSC 90=
,
·
o
CSA 120=
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Hình vẽ
ý 1
Trang 5