Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9
Năm học
2009 - 2010
2008
Tuyển chọn đề thi HSG toán 9
/>Sở giáo dục và đào tạo
hải dơng
Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán Mã số: ............
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 1 trang
Cõu 1:(2 im)
1) Tính:
9 17 9 17 2A = + +
2) Tính:
( ) ( )
6 2 10 5 3 2 3B = +
.
3) Cho
1 2
2009 1 2008 1C =
và
2 2
2.2009
2009 1 2008 1
D =
+
.
Không dùng máy tính hãy so sánh C và D .
Câu 2: (2điểm)
1) Cho đa thức

2) Chứng minh rằng không có 3 đờng thẳng nào của họ
( )
m
d
đồng qui.
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ
( )
m
d
đi qua
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là
điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M
xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đờng thẳng PD.
a) Tính số đo góc NEB.
b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: (1điểm)
Cho các số
1 2 2009
, a , . . . ,a a
đợc xác định theo công thức sau:

=
+ + +
n
2
a
(2n 1)( n n 1)
với n = 1, 2, , 2008.

)
2 9 17 9 17 2
2
+ +
=
18 2 17 18 2 17 4
2
+ +
=
( ) ( )
2 2
17 1 17 1 2
2
+ +
=
0,25
( )
( )
2 17 1
17 1 17 1 2 2 17 2
2 17 1
2 2 2

+ +
= = = =
0,25
2)
0,5điểm
( ) ( )
6 2 10 5 3 2 3B = +

=
+
(
)
(
)
2 2
1 2
1 2
2009 1 2008 1
2009 1 2008 1

=
+
0,25
2 2
1 2
2009 1 2008 1
2009 1 2008 1
+
=
+

( ) ( )
2 2
2009 2008 2009 2008
2009 1 2008 1
+
=
+


( ) ( )
3. 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ... . 1 .3f x x x= + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 ... . 1 . 2 1x x x x= + + + + + +

0,25
H

AB
C
D
E
H
M
N
I
P
O
K
45
0
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9
Năm học
2009 - 2010
2008
điểm
( ) ( ) ( ) ( )
0 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ... 1 . 1 . 1 2x x x x x x= + + + + + +
( ) ( )

2 5 10 12 24 0x x x x x + + =
0,25

( )
( )
2
2 5 12 0x x x + + =
2
2 0
5 12 0
x
x x
=


+ + =


( )
( )
1
2
0,25
Giải phơng trình
( )
1
ta đợc x = 2
Giải phơng trình
( )
2

2
+ z
2
+ 2(xy + yz + zx) = 36


xy + yz + zx = 11 (kết hợp với (3))
(2)

xy + yz = zx 1


xy + yz + zx = 2zx 1


2zx = 12


zx = 6


xy + yz = 5


y(x + z) = 5 (4)
0,25
Mà y + x + z = 6

x + z = 6 y
(4)

= =
= =

0,25
+) Với y = 5 thì (4)

x + z = 1

x = 1 z
mà zx = 6

(1 z)z = 6


(z
1
2

)
2
=
23
4

(phơng trình vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là
{ }

m 1
m 1 my y x 1

=
=

y(1 m) x m
1 m
y x
1 m 1 m
Gọi phơng trình họ đờng thẳng
( )
m
d
là y = ax + b
Vì
( )
m
d


AB tại A nên a.a = - 1
=

1
.a ' 1
1 m


a = m 1

= (m 1)x
o
+ (m m
2
)


m
2
m(x
o
+ 1) + x
o
+ y
o
= 0
0,25
Vì phơng trình trên là phơng trình bậc hai ẩn m nên chỉ có nhiều nhất 2
nghiệm

Chỉ có 2 đờng thẳng trong họ (d
m
) đi qua điểm (x
o
; y
o
)
Vậy không có 3 đờng thẳng nào của họ (d
m
) đồng qui.

) đi qua N nên phơng trình trên chỉ
có 1 nghiệm.

= 0

( ) ( )
2
1 1 1
x + 1 - 4 x + y = 0
0,25


=
2
1
1
(x 1)
y
4

Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol

=
2
1
1
(x 1)
y
4
0,25

+ + +
n
2
a
(2n 1)( n n 1)

+ +
= < =
+ +
+ +
2( n 1 n ) 2( n 1 n ) 1 1
n 1 n
2 n(n 1) n n 1
0,25
Do đó
+ + + < + + +
=
1 2 2009
1 1 1 1 1 1
a ... a ...
1 2 2 3 2009 2010
1
1
2010
0,25
Mặt khác:
( )
+

=

3 điểm
Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB.
+) Xét

DCP và

DBE có:
ã
ã
=
DCP DBE
(so le trong)
DC = DB (AD là trung truyến của

ABC)
ã
ã
=
CDP BDE
(đối đỉnh)


DCP =

DBE (g.c.g) CP = BE (1)
+) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân
giác của
à
A
nên MNAP là hình vuông.