TRƯỜNG THCS TỰ CƯỜNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
Môn Toán 9
Thời gian làm bài 180 phút
Bài 1( 1,5 điểm): Cho a, b, c thoả mãn:
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −
= =
Tính giá trị biểu thức: P =
1 1 1
b c a
a b c
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 2( 1,5 điểm): Chứng minh rằng nếu
1 1 1
2
a b c
+ + =
và a + b + c = abc thì ta có
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
Bài 3( 1,5 điểm): Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng
2
2 2 2
3 3


a b c b c a c a b
c a b
+ + + + + +
= =
Xét hai trường hợp
*/ Nếu a + b + c = 0
⇒
a + b = -c b + c = - a c + a = -b
Khi đó P =
1 1 1
b c a
a b c
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
=
a b b c c a
a b c
+ + +
   
 ÷ ÷ ÷
   
=
( )c
a
−
.
( )a

 
+ + =
 ÷
 

⇒

2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 4
a b c ab bc ca
 
+ + + + + =
 ÷
 

⇒

2 2 2
1 1 1
2 4
a b c
a b c abc
+ +
 
+ + + =
 ÷
 
theo giả thiết a + b + c = abc
⇒

y
2
+ z
2

≥
2yz (2)
z
2
+ x
2

≥
2zx (3)
Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥
2( xy + yz + zx )
⇒
2( x
2
+ y
2
+ z
2

x y z x y z+ + + +
=
hay
2
2 2 2
3 9
x y z x y z+ + + +
 
=
 ÷
 
Bài 4: Áp dụng BĐT Côsi x + y
≥
2
xy
ta có ( a + b) + c
≥
2
( )a b c+
⇔
1
≥
2
( )a b c+

⇔
1
≥
4( a + b)c nhân hai vế với a + b > 0 ta được:
A + b

Kẻ AM
⊥
AC M thuộc tia CI
Chứng minh được ∆ AMI cân tại M
⇒
MI = AI = 2 5
Kẻ AH
⊥
MI
⇒
HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )
Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM
2
= MH.MC
⇒
(2 5 )
2
= x.(2x + 3)
⇒
2x
2
+ 3x – 30 = 0
⇔
( 2x – 5)(x + 4) = 0
⇒
x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)
Vậy MC = 8cm
Ta có AC
2
= MC

A