ĐỀ THI HSG LỚP 9 (THAM KHẢO)
MƠN: TỐN
THỜI GIAN: 150 PHÚT
GVBM: Huỳnh Thị Mai Phương
Bài 1: (5 điểm)
Cho
0; 1a b≥ ≥
. Chứng minh
( )
1 2 1a b a b+ + ≥ + −
.Đẳng thức xảy ra khi nào?
Tìm giá trò của x để biểu thức : A =
2
2
2 5
2 1
x
x
+
+
có giá trò lớn nhất? Tìm giá trò lớn nhất đó?
Bài 2 : (5 điểm)
Cho hệ phương trình :





=+
=
−

a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD
không đổi.
c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi.
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Mơn thi : TỐN ; LỚP 9
Bài 1:
Câu a:(3,0 điểm)
( )
1 2 1a b a b+ + ≥ + −
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 1 1 2 1 1 0
1 1 1 0
a a b b
a b
⇔ − + + − − − + ≥
⇔ − + − − ≥
với b
≥
1;a
≥
0; ( điều này luôn đúng) (1,5đ)
Dấu bằng xảy ra
⇔
1 0 1
2
1 1 0

2
4
2 1x +
lớn nhất
⇔
2x
2
+1 nhỏ nhất (0,5đ)
mà 2x
2
+1 nhỏ nhất = 1 khi x=0. ( 0,5đ)
Vậy khi x =0 thì A có giá trò lớn nhất và giá trò lớn nhất đó là A =1 + 4/1=5 (0,5đ)
Bài 2 :( 5 điểm )
1. Khi m = 2, ta có hệ





=+
=
−
+
−
2
2
1
1
yx
x

(thoả) (0,75đ)
( )
111
1
1
1
3
=−⇔=−⇔=
−
⇔=
−
⇔
yxyx
y
x
y
x
(0, 5đ)
Giải hệ phương trình












=
+
=
2
12
2
12
y
x
(0,5đ)
2. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được
1 1
2 . 2
1 1
x y x y
y x y x
− −
+ ≥ =
− −
với x>1 ; y>0 (1đ )
(1)
(2)
(1đ)
A
C
M
D
O
H
B

2
=
1
2
AD.AC.sinA
2
( 0,75đ)
S =
1
2
AB.AC.sinA ( 0,75đ)
Vì : S = S
1
+ S
2

Nên :
1
2
AB.AD.sinA
1
+
1
2
AD.AC.sinA
2
=
1
2
AB.AC.sinA ( 0,5đ)

2
ˆ
===+=+⇒
=
=
BMAAMHBMHCMHDMH
AMHCMH
BMHDMH
(1,5
điểm).
⇒
C, M, D thẳng hàng. (0,5 điểm).
Hình thang ABDC có O là trung điểm của AB, M là trung điểm của CD nên OM là đường trung
bình, suy ra OM // AC, mà AC
⊥
CD nên OM
⊥
CD.
Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). (0,5 điểm)
b) AC + BD = AH + BH = AB không đổi. (1 điểm).
OM là đường trung bình của hình thang ACDB nên OM // BD,
suy ra OM
⊥
CD (1 điểm).
MOI
∆
vuông tại M, MH
⊥
OI
⇒