I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TCH PHN
CễNG THC
Bng nguyờn hm
Nguyờn hm ca nhng
hm s s cp thng gp
Nguyờn hm ca nhng hm s
thng gp
Nguyờn hm ca nhng
hm s hp
Cxdx
+=

( )
1
1
1
+
+
=
+





C
x
dxx
( )

x
+=

tan
cos
1
2
Cxdx
x
+=

cot
sin
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd
++=+

1
( )
( )
( )
1
1
1
1
+

( ) ( )
Cbax
a
dxbax
++=+

sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax
++=+

cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+

tan
1
cos



C
u
duu
( )
0ln
+=

uCu
u
du
Cedue
uu
+=

( )
10
ln
<+=

aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu
+=


ta thc hin cỏc bc sau:
Bc 1. t t = u(x) v tớnh
/
dt u (x)dx=
.
Bc 2. i cn:
x a t u(a) , x b t u(b)= ị = = a = ị = = b
.
Bc 3.
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ũ ũ
.
Vớ d 7. Tớnh tớch phõn
2
e
e
dx
I
xlnx
=
ũ
.
Gii
t

I dx
(sinx cosx)
p
=
+
ũ
.
Hng dn:
4 4
3 3 2
0 0
cosx 1 dx
I dx .
(sinx cosx) (tanx 1) cos x
p p
= =
+ +
ũ ũ
. t
t tan x 1= +
S:
3
I
8
=
.
Vớ d 9. Tớnh tớch phõn
3
1
2

2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x
(t 1)
-
= ị
+
+
ũ
L
; t
t tanu= L
S:
I 3 2
3
p
= - +
.
Chỳ ý:
Phõn tớch
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=

= =

.
Vớ d 1. Tớnh tớch phõn
1
2
2
0
1
I dx
1 x
=
-
ũ
.
Gii
t
x sin t, t ; dx costdt
2 2
p p
ộ ự
= ẻ - ị =
ờ ỳ
ở ỷ
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= ị = = ị =


p
=
.
Vớ d 2. Tớnh tớch phõn
2
2
0
I 4 x dx= -
ũ
.
Hng dn:
t
x 2sint=
S:
I = p
.
Vớ d 3. Tớnh tớch phõn
1
2
0
dx
I
1 x
=
+
ũ
.
Gii
t
2

.
Vy
I
4
p
=
.
Vớ d 4. Tớnh tớch phõn
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ũ
.
Hng dn:
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ũ ũ

dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ũ
.
S:
I
12
p
=
.
3. Cỏc dng c bit
3.1. Dng lng giỏc
Vớ d 11 (bc sin l). Tớnh tớch phõn
2
2 3
0
I cos x sin xdx
p
=
ũ
.
Hng dn:
t
t cosx=

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4 2
0
I cos x sin xdx
p
=
ũ
.
Gii
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ũ ũ
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx cos2xsin 2xdx
16 4
p p
= - +
ũ ũ
2 2
2
0 0
1 1

2
0
dx
I
cosx sin x 1
p
=
+ +
ũ
.
Hng dn:
t
x
t tan
2
=
.
S:
I ln2=
.
Biu din cỏc hm s LG theo tan
2
a
t = :
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t

p
ị = - = -
p - + + +
ũ ũ
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
p p
p
= p - ị =
+ +
ũ ũ
( )
( )
2
2
0 0
dt dt
t
t t
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
p p
p p
= =
p

= = - = p
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ổ ử
ố ứ
p
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
ũ
.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trn Quang Thun Tel: 0912.676.613-- 091.5657.952
4
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phöông phaùp giaûi tích phaân
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy
I = p
.
Tổng quát:

= Þ = = Þ =
( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2
p
p
-
Þ = -
p p
- + -
ò
2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
= =
+
ò

Z
.
Ví dụ 17. Tính tích phân
6
2
0
sin x
I dx
sin x 3cosx
p
=
+
ò
và
6
2
0
cos x
J dx
sin x 3cosx
p
=
+
ò
.
Giải
I 3J 1 3- = -
(1).
( )
6 6

.
Ví dụ 18. Tính tích phân
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
+
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x tant dx (1 tan t)dt= Þ = +
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= Þ = = Þ =

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613-- 091.5657.952
5
I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( )
4 4
2

ữ
ỗ
ờ ỳ
ị = + = - + -
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
ũ ũ
4 4
0 0
1 tanu 2
ln 1 du ln du
1 tanu 1 tanu
p p
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

ũ
.
Hng dn:
t
x t= -
S:
2
I
2
=
.
Tng quỏt:
Vi
a > 0
,
0a >
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on
[ ]
; - a a
thỡ
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
a a
- a
=

x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - ị = = ị = -

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trn Quang Thun Tel: 0912.676.613-- 091.5657.952
6
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[ ]
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
- -
Þ = - = Þ = + = - +
ò ò
2 2
0
2
cosxdx 2 cosxdx 2
p p
p
-
= = =
ò ò
.
Vậy

iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
2 2
n n
0 0
(n 1)!!
,
n!!
cos xdx sin xdx
(n 1)!!
. ,
n!! 2
p p
ì
-
ï
ï
ï
ï
ï
= =
í
ï
-
p
ï
ï
ï
ï
ỵ
ò ò

.
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Cơng thức
Cho hai hàm số
u(x), v(x)
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
( ) ( )
/ / / /
/ /
uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + Þ = +
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udvÞ = + Þ = +
ò ò ò
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vd = + Þ = -
ò ò ò ò
.
Cơng thức:
b b
b
a
a a
udv uv vdu= -
ò ò
(1).

khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn
b
a
vdu
ũ
phi tớnh c.
Bc 2. Thay vo cụng thc (1) tớnh kt qu.
c bit:
i/ Nu gp
b b b
ax
a a a
P(x)sinaxdx, P(x)cosaxdx, e .P(x)dx
ũ ũ ũ
vi P(x) l a thc thỡ t
u P(x)=
.
ii/ Nu gp
b
a
P(x)ln xdx
ũ
thỡ t
u lnx=
.
Cỏch 2.
Vit li tớch phõn
b b
/
a a

ù
ùợ
ợ
(chn
C 0=
)
1 1
1
1
x x x x
0
0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1ị = - = - =
ũ ũ
.
Vớ d 2. Tớnh tớch phõn
e
1
I x ln xdx=
ũ
.
Gii
t
2
dx
du
u lnx
x
dv xdx

+
ị = - =
ũ ũ
.
Vớ d 3. Tớnh tớch phõn
2
x
0
I e sin xdx
p
=
ũ
.
Gii

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trn Quang Thun Tel: 0912.676.613-- 091.5657.952
8