SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang )
Câu Nội dung Điểm
Câu 1.
a,
(3,0đ)
a) Đ/k xác định :
21
≤≤−
x
0,25
Khi đó phương trình
⇔

2121
2
−−=−−+−−
xxxx
(1) 0,25
Xét :
xxxxxf
−−+−−=
21)(
2
với x
∈
[-1;2]


⇒
Bảng biến thiên :
x
-1
1
2
2
f’(x) - 0 +
f(x)
2 3−

32
−
6
4
1
−−
0,5
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có đúng 2 nghiệm. 0,25
Dể nhận thấy x=0; x=1 là 2 nghiệm của phương trình (1). 0,5
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là
{ }
1;0
=
S
. 0,25
b,
(3,0đ)
b) Bất phương trình đã cho tương đương với
12)2(

m
(1) 0,25
Với
(
]
2;1
∈
x
. Ta có bpt (*)
1
1
2
−
+
≥⇔
x
x
m
(2) 0,25
Xét hàm số
( )
1
1
2
−
+
=
x
x
xf

= +


0,5
Bảng biến thiên:
x -2
21
−
1 2
f’(x) + 0 - -
f(x)

222 −

∞+

3
5
−

∞−
5
0,5
Bpt(*) có nghiệm thuộc đoạn
[ ]
⇔−
2:2
hoặc bpt (1) có nghiệm thuộc 0,25
Trang 1
[


≤≤
≤≤−
20
11
y
x
(*) 0,25
Hệ phương trình đã cho tương đương với:





−+=+−
+++=+
)2(211
)1()1()1(
2
33
yyx
xxyy
0,25
Từ(*) ta có
[ ]
[ ]
1 0;2
0;2
x
y

,
thế vào pt(2) ta được:
xxx
−++=+−
1111
2

0,5

0
=⇔
x
1
=⇒
y
(thỏa mãn (*)).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( )
yx;
là
( )
1;0
.
0,5
Câu 3.
a,
(2,5đ)
a)Điều kiện :



2
-4y
2
=4
44
2
+=⇔
yx
(do x > 0)
0,25
Suy ra:
yyyx
−+=−
4422
2
, đặt :
, 0t y t= ≥
0,25
Xét:
tttf
−+=
442)(
2
, với
0
≥
t
.
44
448

Bảng biến thiên:
t
0
15
1
+
∞
f’(t) - 0 +
f(t)
4 +
∞

15
0,5
Từ bảng biến thiên suy ra
15)(
≥
tf

⇒

152
≥−
yx
(đpcm).
Dấu đẳng thức xảy ra
15
1
,
15










++
+






++
+






++
=
++
++
=

=
4
,
cba
c
z
++
=
4

0,5
Thì



+−=
−=+
⇔



=++
=++
44
4
4
4
2
xxyz
xzy

1
23
++−=
xxxP
0,25
Xét:
1612123)(
23
++−=
xxxxf
, với:
]
3
8
;0[
∈
x




=
=
⇔=⇒+−=⇒
3
2
2
0)('12249)('
2
x

8
;0[
: min f(x)=16 , Max f(x)=
9
176
⇒
min P = 1 , chẳng hạn khi:
0,0
≠==
cba
Max P =
9
11
, chẳng hạn khi:
0,4,
≠==
aacba
0,25
Câu 4.
(2,0đ)
Gọi trung điểm của
HA,HB,HC,BC,CA,AB lần lượt là:
I,E,F,M,N,P
0,25
Ta có:
EH AC EH IF⊥ ⇒ ⊥
Mà MF//EH
MF IF⇒ ⊥

·

22
=++−+
yxyx
0,25
Có tâm K(1;-2) , R =1 .Gọi K
1
,R
1
là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
thì:
1 1
2 , 2GK GK R R= − =
uuuur uuur

⇒
K
1
(1;10) , R
1
=2
0,25
⇒
Phương trình đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
là:

4)10()1(

·
CKH = α
0,5
⇒

α
sin..
3
1
.
3
1
CKSSCHV
DABD
==
∆
0,5
Mà:
ABCKS
C
.
2
1
=
⇒
α
sin
2
3
1

3
'
=
SS
SG
0,5
Gọi V,V’ lần lượt là thể tích các khối tứ diện
SABC, SA’B’C’
Ta có:
( ' ) ( ' ) ( ' )dt S AB dt S BC dt S CA∆ = ∆ = ∆
0,25

SS'AB SS'BC SS'CA
V
V V V
3
⇒ = = =
0,25
mà:
SBSASS
SBSASG
V
V
ABSS
BSGA
.'.
''..
'
''
=

' ' ' ' ' '
'
SGA B SGB C SGA C
V V V V= + +
⇒
' 1 ' ' ' ' ' '
. . .
4
V SA SB SB SC SA SC
V SA SB SB SC SA SC
 
= + +
 ÷
 
0,25
⇒
'. '. ' 1 ' ' ' ' ' '
. . .
. . 4
SA SB SC SA SB SB SC SA SC
SA SB SC SA SB SB SC SA SC
 
= + +
 ÷
 

⇒
4
'''
=++

 
≤ + + =
 ÷
 
0,25
⇒
minQ =
2
3
16
a
khi SA’ = SB’ = SC’ =
4
3a
⇔
(P) qua G và song song với mp (ABC).
0,25
- - - Hết - - -
Ghi chú: - Học sinh giải cách khác đúng cho điêm phần tương ứng
- Khi chấm Giám khảo không làm tròn điểm
Trang 4
Trang 5