Vt lớ Hay v Khú
A. C hc
1. ng hc
Bài 1: Cho cơ hệ nh hình vẽ. B chuyển động sang phải với gia tốc
a

, còn vật nhỏ A đợc nối
với điểm C bằng một sợi dây không dãn đợc nâng lên theo đờng dốc chính của một mặt trụ của vật
B. Mặt này có bán kính R.
Giả sử tại thời điểm ban đầu vật A nằm trên sàn và đang đứng yên,
sợi dây luôn căng.
Hãy tính vận tốc trung bình của vật A trong quá trình A đi từ sàn
lên đến điểm cao nhất của trụ B (điểm D).

Giải:
Khi A đi từ sàn lên đến điểm cao nhất của trụ thì độ dời của nó sẽ là
AI

:


cos..2
22
DIADDIADIAIA
+==
(
4


=
)


2
2
1
atEF
=
Thời gian để trụ đi từ E đến F cũng chính là thời gian chuyển dời của vật nhỏ khi đi từ I đến A :
Suy ra:

a
R
a
R
a
AD
a
EF
t


====
2
.2
.2.2

Vận tốc trung bình của vật nhỏ A:
t
IA
v
=

xd
t

=

1
Vt lớ Hay v Khú
Thời gian ô tô chạy trên đồng cỏ từ B đến D:
2
22
2
v
lx
t
+
=
.
Tổng thời gian chạy từ A đến D của ô tô:
21
ttt
+=
=
1
v
xd

2
22
v
lx

'
v
xf
=
22
1
lxv
nx
+
+
22
1
22
. lxv
lxnx
+
+
=
.
f(x) = 0

x=
1
2

n
l
.
Bảng biến thiên:


Hỏi sau bao lâu dây cuốn hết trụ? Giả thiết
trong khi chuyển động dây luôn nằm ngang.
Bỏ qua ma sát và bề dày của dây.
Giải:
Ta nhận thấy ngay không có lực nào tác dụng vào vật sinh công, do vậy động năng của vật đợc
bảo toàn do vậy nó có vận tốc không đổi v
0
.
Tại một thời điểm nào đó dây có chiều dài l, xét một thời gian vô cùng bé dt vật đi đợc cung
AB:
=ld=v
0
dt.
Do

Rdl
=


d
=
R
dl
thế vào phơng trình trên ta đợc:
2
Vt lớ Hay v Khú

R
dl
l

0



R
L
2
2

tv
0
=



Rv
L
t
0
2
2
=
.
Vậy thời gian để dây cuốn hết trụ sẽ là:
Rv
L
t
0
2
2

Khoảng cách đó sẽ là:


cos'..'2''
22
BBBABBBAd
+=




cos)(2)()(
21
2
2
2
1
tvtvltvtvld
+=
=
2
21
2
2
221
2
1
)cos(2)cos2( ltvvltvvvv
++++




Và khoảng cách bé nhất giữa chúng lúc đó sẽ là:
a
d
4
min

=

=
min
d
2
221
2
1
2
cos2
sin
vvvv
lv
++


Bài 5: Có hai tàu A và B cách nhau một khoảng a đồng thời tàu A và B chuyển động với vận tốc
không đổi lần lợt là v và u

−==
==
α
α
sin
cos
v
dt
dy
v
v
dt
dx
v
y
x
LÊy vÕ chia vÕ hai ph¬ng tr×nh trªn vµ ta rót ra:dt
dy
dt
dy
dt
dx
α
α
cot
tan
1

dt
dy
u
α
α
2
sin
−=
(4)
MÆt kh¸c:
α
α
sin
sin
v
dy
dtv
dt
dy
−=⇒−=
(5)
Thay dt tõ (5) vµo (4):
α
α
sin
d
dy
y
vu
=





=⇔
2
tanlnln
α
a
y
v
u
Suy ra
v
u
a
y






=
2
tan
α
MÆt kh¸c ta l¹i cã:

=



=
+






−
−
2
2
tan
2
tan
2
1
αα
vµ
α
sinv
dy
dt
−=
nªn




y
a
y
v
a
dt
v
u
v
u
2
(*)
LÊy tÝch ph©n 2 vÕ ph¬ng tr×nh (*):

∫∫
















v
a
dt
4
Vt lớ Hay v Khú













+
+

=
v
u
v
u
v
a
t
1

a
.
Bài 6: Vật m
2
đang đứng yên trên mặt sàn nằm ngang nhẳn cách bờ tờng một khoảng d. Vật m
1
chuyển động tới va chạm hoàn toàn đàn hồi với vật m
2
(m
1
> m
2
), vật m
2
lại va chạm đàn hồi
với bờ tờng và gặp m
1
lần 2. Va chạm
lần 2 xảy ra cách bờ tờng một khoảng
là bao nhiêu?
Tìm điều kiện để điểm va chạm lần 2 cách điểm va chạm lần 1 một khoảng là d/2 ?
Giải :
Chọn trục toạ độ nh hình vẽ.
Gọi v
1
,v
1
lần lợt là vận tốc của vật 1 trớc và sau khi va chạm.
Gọi v
2

21
21
v
mm
mm
+


( )
1
21
1
21
11212
'
2
22
v
mm
m
mm
vmvmm
v
+
=
+
+
=
(do v
2

2
vv
=
.
Thế v
1
và v
2
từ trên vào (1) ta suy ra :

=
x

d
mm
mm
21
21
3

+
Để va chạm lần 2 cách lần 1 một đoạn
2
d
thì:
22
dd
dx
==


dx
xav
==

hay
adt
x
dx
=
Nguyên hàm hai vế :

+==
catxdta
x
dx
2
Do
0
=
t
thì
0
=
x

0
=
c

Do vậy

w
==

2
2
a
w
=
b. Vận tốc trung bình
t
a
t
x
v
4
2
==

2
xa
v
=
Bài 8: Ném một viên đá từ điểm A trên mặt phẳng nghiêng với vận tốc
0
v

hợp với mặt phẳng
ngang một góc

=60


0
=
x
a
0y:
y
maP
=

ga
y
=
Phơng trình chuyển động của vật theo hai trục ox và oy:






=
=
)2(
2
1
.sin
)1(.cos
2
0
0

v
l

=



2
2
0
cos
)sin(.cos2
g
v
l

=



=
l
g
v
3
2
2
0
b. Tại B vận tốc của vật theo phơng ox là:


0
0
g
v
tv
=
;
Suy ra thời gian chuyển động trên không của viên đá:



cos3
cos2
0
g
v
t
=
=
3
2
0
g
v
Vận tốc theo phơng oy tại B:

gtvv
y
=


v
v
x
y


0
30
=

do
<=
32
0
V
v
y
0 nên lúc chạm mặt phẳng nghiêng
v

hớng xuống.
Lực hớng tâm tại B:

R
v
mmgF
ht
2
cos
==

0
8
Vt lớ Hay v Khú
Bài 9: Một ngời đứng ở sân ga nhìn ngang đầu toa thứ nhất của một đoàn tàu bắt đầu chuyển động
nhanh dần đều. Toa thứ nhất vợt qua ngời ấy sau thời gian
1
t
.
Hỏi toa thứ n đi qua ngời ấy trong thời gian bao lâu?
Biết các toa có cùng độ dài là S, bỏ qua khoảng nối các toa.
Giải:
Toa thứ nhất vợt qua ngời ấy sau thời gian t
1
:

2
2
1
at
s
=
a
S
t
2
1
=
n toa đầu tiên vợt qua ngời ấy mất thời gian
n
t

1
2
1

=
n
at
sn


a
Sn
t
n
)1(2
1

=

Toa thứ n vợt qua ngời ấy trong thời gian
t

:

)1(
2
1
==

nn

Đặt:
)(3
1
st
=

Gọi quảng đờng mà chất điểm đi đợc sau
1
nt
giây là s:

n
ssss
+++=
...
21

Trong đó s
1
là quảng đờng đi đợc của chất điểm trong 3 giây đầu tiên. s
2
,s
3
,,s
n
là các quảng đ-
ờng mà chất điểm đi đợc trong các khoảng 3 giây kế tiếp.
Suy ra:

)...21(...2

(loại giá trị n=-7)
Thời gian chuyển động:

)(231
1
snntt
=+=
Vận tốc trung bình:
23
315
==
t
s
v

=
v
)/(7,13 sm
.
b. Khi
ms 325
=
:
Thời gian đi 315 mét đầu là 23 giây
9
Vt lớ Hay v Khú
Thời gian đi 10 mét cuối là :

)(29.0
5.7

Giải:
Gọi khoảng cách trên đầu của vật (1) và (2) tới vị trí giao nhau của hai quỹ đạo là d
1
và d
2
. Sau
thời gian t chuyển động khoảng cách giữa chúng là:

2
2211
)()( tvdtvdd
+=
=
2
2
2
12211
22
2
2
1
)(2)( ddtdvdvtvv
++++

min
dd
=
2
2
2

+
+
=
Lúc đó:
tvdS
222
=

=
22
dS
2
2
2
1
12211
2
2
2
1
2211
2
)(
vv
dvdvv
vv
dvdv
v
+


2
. Bốn giây sau khi rời mặt đất ngời ngồi trên mặt côngtenơ ném một hòn
đá với vận tốc v
0
= 5,4m/s theo phơng làm với mặt phẳng ngang côngtenơ góc
0
30
=

.
a. Tính thời gian từ lúc ném đá đến lúc nó rơi xuống mặt đất. Biết côngtenơ
cao h = 6(m)
b. Tính khoảng cách từ nơi đá chạm đất đến vị trí ban đầu của tấm bê tông
(coi nh một điểm) lấy g = 10m/s
2
.
Giải:
a. Sau 4s độ cao của ngời đứng trên mật côngtenơ là:

)(10
2
45
6
2
22
m
ta
H =

+=


0y:
)/(7,4
2
4,5
2sin
01
smvvv
y
=+=+=


1
=
x
y
v
v
tg

vậy
0
45
=


Chọn trục oxy nh hình vẽ gắn vào mặt đất. Phơng trìn chuyển động của viên đá theo phơng
oy:
2
sin10

b. Khoảng cách từ nơi đá rơi đến vị trí ban đầu của côngtenơ:

===
2.7,4tvL
x

m4,9
.
Bài 13: Ngời ta đặt một súng cối dới một căn hầm có độ sâu h. Hỏi phải đặt súng cách vách
hầm một khoảng l bao nhiêu so với phơng ngang để tầm xa S của đạn trên mặt đất là lớn nhất?
Tính tầm xa này biết vận tốc đầu của đạn khi rời súng là
0
v
.
Giải:
Phơng trình vận tốc của vật theo phơng ox :


cos
0
vv
x
=
Phơng trình vận tốc của vật theo phơng oy:

gtvv
y
=

sin

y
=

sin
0
Để tầm xa x là lớn nhất thì tại A vận tốc của vật phải hợp với mặt ngang một góc 45
0
có
nghĩa là tại A:

0
cossin
v
g
tvv
yx


==

(1)
Hơn nữa ta phải có sau thời gian này:
11
Vt lớ Hay v Khú







t
=
(3) kết hợp với (1)
)cos.(sincos
2
0

=
g
v
l
(4)
Thay t từ (1) vào (3) ta đợc:

2
1
sin
2
0
2
+=
v
gh

;
2
0
2
2
1

22
2
0
v
gh
v
hg
g
v
+
Từ (1) :








++=
+
=
2
0
2
0
2
0
00
2

1
v
gh
v
y
=
)1()
2
1
()
2
1
()
2
1
(
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
+=+=
v
v
gh








=
Vậy phải đặt súng cách vách hầm một khoảng:
)
2
1
4
1
(
2
0
4
0
22
2
0
v
gh
v
hg
g
v
l
+=

vận tốc của hạt bằng v
0
.
Hỏi quảng đờng mà hạt đi đợc cho đến khi dừng lại và thời gian đi quảng đờng ấy ?
Giải:
Về độ lớn:
vaw
=
a. Về dấu ta có:
12
Vt lớ Hay v Khú

Catv
adt
dt
dv
va
dt
dv
vaw
+=
===
2
Lúc
0
=
t
,
0
=

2
00
2
0
)
4
.(
v
a
v
a
dtt
a
tvavvdtS


=
S

2
3
0
3
2
v
a
S
=
b. Từ (*) ta có thời gian đi quảng đờng ấy:
=

mp
==
(1)
Theo định luật bảo toàn năng lợng:

2
2
1
cos mvmgRmgR
+=

(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

3
5
sin
3
2
cos
==

Thay
3
2
cos
=

vào phơng trình (1) ta đợc vận tốc của vật lúc đó:







+=
=
2
2
1
.sin
.cos
gttvy
tvx


Khi chạm đất
hy
=
, nên:

hgttv
=+
2
2
1
.sin

Thay


.33
541010
.33
541010
2
1
loai
g
ghgRgR
t
g
ghgRgR
t
Vậy sau
=
t

g
ghgRgR
.33
541010
++
thì vật sẽ rơi xuống đất.
Tầm bay xa của vật:

.
3
2
.
3

b. Gia tc ton phn theo vn tc v quóng ng i c.
Gii:
a. Theo bi ta cú:

R
v
dt
dv
aa
nt
2
==R
dt
v
dv
=
2
(1)
Ly tớch phõn 2 v ta cú:

R
t
vvR
dt
v
dv
tv


R
s
v
v
R
ds
v
dv
Sv
v
=−⇔=−
∫∫
0
0
ln
0

⇒

=
v

e
R
S
v
−
.
0

s
−
.
Bài 17: Hai vòng tròn bán kính R, một vòng đứng yên, vòng còn lại chuyển động tịnh tiến sát vòng
kia với vận tốc
0
v

. Tính vận tốc của điểm cắt C giữa hai vòng tròn khi khoảng cách giữa hai tâm
d
=
21
00
.
Giải:
Chọn gốc thời gian t = 0 lúc 2 vòng tròn bắt đầu tiếp xúc ngoài.
Tại một thời điểm nào đó sau gốc thời gian thì ta có phương
trình chuyển động của điểm C :















−
=
=
4
4
2
22
dR
y
d
x

15
Vt lớ Hay v Khú









=


=
==

.
42
.
2
dR
dvv
vvv
CyCx

+






=+=



=
v
22
0
4 dR
Rv

Bi 18: Hai vt cỏch nhau 100m chuyn ng trờn mt ng thng n gp nhau vi vn tc ln
lt l
smvsmv /5;/5

t
(s)
Quóng ng vt nh i c tng cng cho n lỳc vt (1) v vt (2) gp nhau l:

30010.30.
===
tvs
(m).
2. Động lực học chất điểm:
Bài 19: ở mép đĩa nằm ngang bán kinh R có đặt một đồng tiền. Đĩa quay với vận tốc
t

=
(

là gia tốc góc không đổi). Tại thời điểm nào đồng tiền sẽ văng ra khỏi đĩa. Nếu hệ số ma sát
trợt giữa đồng tiền và đĩa là
à
.
Giải:
Tại thời điểm t gia tốc pháp tuyến của vật:

Ra
n
2

=
=
Rt
22

msn

+==
=
Rm

1
42
+
t

Vật có thể nằm trên đĩa nếu lực ma sát nghỉ tối đa bằng lực ma sát trợt:
16