BÀI THAM GIA CUỘC THI “ GIẢI TOÁN SƠ CẤP THEO CHUYÊN ĐỀ”
KHỐI 10: BẤT ĐẲNG THỨC
CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ ỨNG DỤNG
I/ Tóm tắt kiến thức:
Đònh nghóa: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi mọt trong các dấu >(lớn hơn), < (nhỏ
hơn),
≥
(lớn hơn hoặc bằng),
≤
(nhỏ hơn hoặc bằng).
Ta có: A > B
⇔
A – B > 0 ; A
≥
B
⇔
A – B
≥
0
− Trong bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B, A
≥
B, A
≤
B), A được gọi là vế trái, B là vế phải của
bất đẳng thức.
− Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức A > B và
E < F gọi là bất đẳng thức trái chiều.
− Nếu ta có A > B
⇒
C > D, ta nói bất đẳng thức C >D là hệ quả của bất đẳng thức A > B
Nếu ta có A > B

1
, a
2
, a
3
, ......,a
n
≥
0(với n số)
1 2
......+ + +
n
a a a
n
≥
1 2
...
n
n
a a a
Đấu đẳng thức xảy ra khi a
1
= a
2
= ..... = a
n
 Ứng dụng:
- Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất:
+ Nếu a + b = k( k là hằng số) thì ab
≤

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c . CMR:
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥

2
cba
++
Với a, b, c > 0 ta có:
cb
a
+
2
+
4
cb
+
≥

b
+
2
+
ab
c
+
2
+
2
cba
++
≥
a + b + c =>
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥


c
+
3
c
a
=
3
b
a
+ bc +
3
b
c
+ ca +
3
c
a
+ ab – (ac + cb + ab) =
3
b
a
+ bc +
3
b
c
+ ca +
3
c
a
+ ab– (

c
+ 2
3
.
c
ab
a
+ 2
.
4
ab bc
- 2
.
4
ab ac
- 2
.
4
bc ac
=
= 2a ac +2b ba + 2c ab - a ac -b
ba
- c
ab
= a ac + b
ba
+ c
ab
(đpcm)
Vậy

6
+ +
p dụng bất đẳng thức: (
1 1
a b c
1
+ +
)(a + b + c)
≥
3
3
1
abc
3
3
abc = 9
⇒
1
a b c+ +
≤

1
9
(
1 1
a b c
1
+ +
)
⇒

ca
c 3a 2b+ +
≤

ca
9
(
1 1
b c 2a
1
b a
+ +
+ +
)
VT
≤

ab
9
(
1 1
a c b c 2b
1
+ +
+ +
)+
bc
9
(
1 1

)
1
b c+
+ (
bc
9
+
ca
9
)
1
b a+
+
a
18
+
b
18
+
c
18
=
b(a c)
9(a c)
+
+
+
a(b c)
9(b c)
+

18
+
c
18
=
a
6
+
b
6
+
c
6
=
a b c
6
+ +
= VP
Bài 4:Cho a, b, c > 0. CMR:
ab
c(c a)+
+
bc
a(a b)+
+
ca
b(b c)+
≥

a

+
c
b c+
⇔
b 1
.
c
c
1
a
+
+
c
.
a
a
b
1
1+
+
a 1
.
b
b
1
c
+
≥
1
c

c
a
= xyz = 1 và z, y, x > 0
⇒
BĐT:y.
1
z 1+
+ z.
1
x 1+
+ x.
1
y 1+

≥

1
z 1+
+
1
x 1+
+
1
y 1+
⇔
y(x+1)(y+1)+z( y + 1)(z + 1)+x(x + 1)(z + 1)
≥
(x + 1)(y + 1)+( y + 1)(z + 1)+(x + 1)(z + 1)
⇔
(y – 1)(x+1)(y+1)+(z – 1)( y + 1)(z + 1)+(x – 1)(x + 1)(z + 1)

2
) – (x + y + z) – 3
≥
0 (*)
p dụng bất đẳng thức cô si, ta có:
y
2
x+ x
2
z+ z
2
y
≥
2 2 2
3
3 y x.x z.z y
= 3xyz =3; y
2
+ z
2
+ x
2
≥
2 2 2
3
3 y x z
=
3
3 1
= 3;x + y + z

)1(
1
accbba
+
+
+
+
+

≤

)1(
3
33
abcabc
+
Đặt P =VT.p dụng bất đẳng thức:
∀
x, y, z là các số thực,ta có:(x + y + z)
2

≥
3(xy + yz + zx), suy ra:P
2
≥

1 1 1
3( )
ab(1 b)(1 c) bc(1 c)(1 a) ca(1 a)(1 b)
+ +

(1)
Đặt t =
3
abc
.Theo bất đẳng thức Cô - si ta lại có:
(1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (a + b + c) + (ab + bc + ca)
≥
1 + 3t + 3t
2
+ t
3
= (1 + t)
3
(2)
Từ (1)và (2) suy ra: P
2

≥

3333
)1(
3
)1(
33
tttt
+
−
+
−
=

a
b c+
+
b
c a+
+
c
a b+
> 2.
Đặt a + b + c = t
b c
a
+
.1
≤

b c
1
a
2
+
+
=
b c a
a
2
+ +
=
t
2a

t
+
2b
t
+
2c
t
=
2(a b c)
t
+ +
=
2t
t
= 2
Dấu bằng xảy ra khi:
b c
a
+
= 1,
a c
b
+
= 1,
b a
c
+
= 1
⇒
a b c

Bài 7: Cho x, y, z là các số không âm.CMR: 8(x
3
+ y
3
+ z
3
)
2

≥
9(x
2
+ yz)(y
2
+ xz)(z
2
+ xy)
Theo bất đẳng thức Cô – si, ta có:
3 3 3 3 3 3
x y y z x z
3
+ +
≥
x
2
y
2
z
2


+ 6y
3
z
3
≥
18x
2
y
2
z
2

(*)
Lại có: (x
3
– xyz)
2

≥
0
⇔
x
6
+ x
2
y
2
z
2
≥

3
+ +
≥
2z
4
xy (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: x
6
+ y
6
+ z
6
+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z+ +
≥
2x
4
yz + 2y
4
xz + 2z
4
xy (4)
Từ (4) và (*) ta có: x
6
+ y
6
+ z
6
+7

6
+
6 6 6
x y z
3
+ +

≥
2x
4
yz
Tương tự: y
6
+
6 6 6
x y z
3
+ +
≥
2y
4
xz ; z
6
+
6 6 6
x y z
3
+ +
≥
2z

xz + 7z
4
xy (5)
Cộng theo vế (*’) và(5) ta có: 8x
6
+8y
6
+8z
6
+7
3 3 3 3 3 3
x y 7y z 7x z+ +
≥
9x
4
y+9y
4
xz+9z
4
xy+ 18x
2
y
2
z
2
⇔
8(x
6
+ y
6

3
)
2

≥
9(x
2
(y
2
z
2
+ x
2
yz + xy
3
+ xz
3
)+ yz(x
2
yz + xy
3
+ y
2
z
2
+ xz
3
)
⇔
8(x

2

≥
9(x
2
+ yz)(y
2
(z
2
+ xy) + xz(z
2
+ xy)) = 9(x
2
+ yz)(y
2
+ xz)(z
2
+ xy)(đpcm)
Vậy 8(x
3
+ y
3
+ z
3
)
2

≥
9(x
2

=
yx
yx
−
+−
2)(
2
= (x – y) +
yx
−
2
≥
2
yx
yx
−
−
2
).(
= 2
2
(p dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương) Vậy
yx
yx
−
+
22

≥
2

( )( )+ +b c c d
+2
( )( )+ +b c d a ≤
8
⇔
2(a + b + c + d)+ 2
( )( )+ +a b b c
+ 2
( )( )+ +c d d a
+ 2
( )( )+ +a b c d
+ 2
( )( )+ +a b d a
+ 2
( )( )+ +b c c d
+2
( )( )+ +b c d a ≤
8
p dụng bất đẳng thức Côsi:
2
( )( )+ +a b b c ≤
a + b + b+ c = a +2b + c; 2
( )( )+ +b c d a ≤
a + b + c + d
2
( )( )+ +c d d a ≤
c + d + d + a = c + 2d + a; 2
( )( )+ +a b c d

≤

( )+x y
- 2xy =
2
2
- 2xy = 4 – 2xy
Mặt khác: áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có: x + y
≥
2
xy
⇔
2
≥
2
xy

⇔
xy
≤
1
⇒

2 2
+x y ≤
4 – 2 = 2 và
2 2
x y ≤
1
⇒

2 2 2 2


3b bc ba
3
+ −
và c
3
1 a b+ −
≤

3c ac bc
3
+ −
Cộng theo vế: a
3
1 b c+ −
+ b
3
1 c a+ −
+c
3
1 a b+ −
≤
3a ba ca
3
+ −
+
3b bc ba
3
+ −
+

1 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Bài 12: Cho 3 số dương a,b,c thoả a
2
+b
2
+c
2
=1.CMR:
2 2
b
1
c+
+
2 2
1
c a+
+
2 2
1
a b+
≤
3 3 3
a b c
2abc
+ +
+ 3
Ta có: VT =
2 2 2
2 2
b

+ 1 =
=
2
2 2
b
a
c+
+
2
2 2
c
b
a+
+
2
2 2
a
c
b+
+3
≤

2
a
2bc
+
2
2c
b
a

+ 3. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =
1
3
Bài 13: Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c =
3
2
. CMR: B = (1+
3
1
a
)(1+
3
b
1
)(1+
3
c
1
)
≥
729
Ta có: B = 1 +
3
1
a
+
3
b
1
+

1
a b c a b c
+
3 3 3
1
a b c
= 1 + 3
1
abc
+ 3
2 2 2
1
a b c
+
3 3 3
1
a b c
= ( 1 +
1
abc
)
3
Mặt khác: abc
≤
(
a b c
3
+ +
)
3

3
c
1
)
≥
729. Dấu bằng xảy ra khi a = b =c =
3
2
: 3 =
1
2
Vậy:
2 2 2 2
( )+x y x y ≤
2. Dấu bằng xảy ra khi x = y =
2
2
= 1
Bài 14: Cho a,b, c >0 thoả ab+bc+ac
≤
abc. CMR:
8
a b+
+
8
b c+
+
8
a c+


ab
=8
⇒
2
1
a
+
2
1
b
≥

2
8
(a b)+
⇒
8
a b+
≤
(a + b)(
2
1
a
+
2
1
b
)
⇒
8

c
1
) =
=
2
a b
a
+
+
2
a b
b
+
+
2
b c
b
+
+
2
b c
c
+
+
2
c a
a
+
+
2

a b
c
+
+
2
2c
c
+
2
c a
b
+
+
2
2b
b
=
2
b c
a
+
+
2
a b
c
+
+
2
c a
b

≤
2
b c
a
+
+
2
a b
c
+
+
2
c a
b
+
+ 2 (vì ab + bc + ac
≤
abc) (đpcm)
Vậy
8
a b+
+
8
b c+
+
8
a c+

≤
2

2
VT=
a(a b c) bc
b c
+ + +
+
+
b(a b c) ca
c a
+ + +
+
+
c(a b c) ab
a b
+ + +
+
=
a(a c) b(a c)
b c
+ + +
+
+
b(a b) c(a b)
c a
+ + +
+
+
c(b c) a(b c)
a b
+ + +

+
xy zy
2
2z 2x
+
yz zx
2
2x 2y
= 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z) = 2(BDTCô si)
Vậy
a bc
b c
+
+
+
b ca
c a
+
+
+
c ab
a b
+
+
≥
2
∀
a a, b, c >0 thoả a + b + c =1
Bài 16:Cho a, b, c dương, abc = 1. Chứng minh rằng:
3 3