Phạm Văn Chiến – Giáo án bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌC
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
a)Diện tích hình chữ nhật:
S
ABCD
= a.b; Đường chéo d =
b)Diện tích hình vuông:
S
ABCD
= a
2
; Đường chéo d = a; S
ABCD
= d
2
*Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất .
c)Diện tích hình thang:
S
ABCD
=(a+b).h; Nếu m là độ dài đường trung bình thì S
ABCD
= m.h
d)Diện tích hình bình hành:
S
ABCD
= a.h
e)Diện tích hình thoi:
S
ABCD
= d

Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số hai diện
tích.
-Nếu hai tam giác có chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ ba thuộc đường thẳng song
song với đáy.
-Đường trung bình trong tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích tỉ lệ với 1: 3
-Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng
nhau.
-Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm của một tam giác còn đáy là ba cạnh thì có diện tích
bằng nhau.
-Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao thì diện tích tam
giác bằng nửa diện tích hình bình hành.
B – BÀI TẬP:
Bài 1: Cho tam giác đều ABC và một điểm M nằm trong tam giác đó. Chứng minh tổng các
khoảng cách từ điểm M đến các cạnh của tam giác không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Phạm Văn Chiến – Giáo án bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M di chuyển trên cạnh BC. Chứng minh tổng
các khoảng cách từ điểm M đến các cạnh AB, AC của tam giác không phụ thuộc vào vị trí của
điểm M.
Bài 3: Cho góc xOy, tia Ot nằm trong góc đó. Lấy điểm A cố định trên tia Ox, điểm B cố định
trên tia Oy và điểm C di động trên tia Ot. Tia Ot cắt AB tại M.
Chứng minh rằng S
AOC
= S
BOC
khi và chỉ khi M là trung điểm của AB.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân ghiác AD. Vẽ DH vuông góc với AB. Đặt
DH = d, AB = c, AC = b . Chứng minh: = + .
Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm M ở trong hoặc ở trên một cạnh của tam giác, sao cho
S
MBC

Giải: Gọi x = S
ABC.
1
ABF BDF
AEF DEF
ABD ADC
ABF BDF S S
AEF DEF S S
+∆ = ∆
+∆ = ∆ ⇒ =
+∆ = ∆ ⇒ = =
ABF BDE BDE DEC
S S maø S S
⇒ = =
1 1
;
3 4
ABF BDE DEC ABC ABF ABC
S S S s S S
⇒ = = = =
1 1
3 3
ABE ABC ABF AEF ABC
S S S S S
⇒ = ⇒ + =
1 1
1 1
4 3 4 3
ABC ABC
x x

BCDE
= S
ABFG
+ S
ACMN
hay a
2
= b
2
+ c
2
Kẻ đường cao AH của ∆ABC kéo dài cắt DE tại K.
+ Ta chứng minh S
ABFG
= S
BHKE
.
Nối AE và CF: ∆ABE = ∆CBF (c-g-c) => S
ABE
= S
CBF
(1)
∆FBC và hình vuông ABFG có chung cạnh đáy FB, đường cao ứng với đáy này là bằng AB =>
S
CBF
= S
ABFG
(2)
∆ABE và hình vuông BHKE có chung cạnh đáy là BE, đường cao ứng với cạnh đáy này bằng
BH => S

CDKH
(6). Từ (4), (5) và (6) => S
ACMN
= S
CDKH
(**)
Cộng (*) và (**) vế theo vế, ta được: S
BHKE
= S
ABFG
S
CDKH
= S
ACMN

S
BCDE
= S
ABFG
+ S
ACMN

Hay a
2
= b
2
+ c
2
Bài 11: Cho tam giác ABC. Trên phần kéo dài của các cạnh AB, BC và AC lấy các điểm D, E,
F (B nằm giữa A và D; C nằm giữa B và E ; A nằm giữa C và F) sao cho BD = AB ; CE = BC

ABC
= S
BAF
= s
∆CEF có EA là trung tuyến (AC = AF) =>
S
ACE
= S
AEF
= s => S
CEF
= S
ACE
+ S
AEF
= 2s
∆AFD có FB là trung tuyến (AB = BD) =>
S
DBF
= S
BAF
= s => S
AFD
= S
DBF
+ S
BAF
= 2s
S
DEF

= S
ABC +
S
BED
+ S
CFE
+ S
AFD
= s + 2s + 2s + 2s = 7s. Vậy S
DEF
= 7s
Bài 12: Chứng minh rằng nếu một tam giác có số đo các cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác
nhỏ hơn .
Phương pháp:
*Nếu tam giác đều có cạnh bằng 1 thì diện tích là
* Nếu tam giác đều có cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích nhỏ hơn
Chứng minh: Giả sử tam giác ABC có cạnh AB lớn nhất, AB< 1. Trên nửa mặt phẳng chứa tam
giác ABC có bờ là đường thẳng chứa cạnh AB ta dựng tam giác đều ABC’ có cạnh AB<1 =>
S
ABC’
< và AC ≤ AC’, BC ≤ BC’
Từ C và C’ của ∆ABC và ∆ABC’ kẻ hai đường cao tương ứng có chiều dài là h và h’ => h≤ h’
B
C
A
D
E
F
Phạm Văn Chiến – Giáo án bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
=> S

= AH.DC = AC.DF
=> =
DFAC
DEAB
CDAH
BDAH
.
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
=
= = (vì DE = DF). Vậy =
Bài 14: Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh
đối. Chứng minh rằng:
AOD BOC
1
S +S =
2
ABCD
S
Bài 15: Cho hình vuông ABCD tâm O có diện tích S. Một góc vuông xOy có Ox xắt AB tại E,
Oy cắt BC tại F. Tính diện tích tứ giác OEBF theo S.

M
N
A
D
B
C
Phạm Văn Chiến – Giáo án bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
∆ECH ~ ∆BNC (gg) => = = => EH = BC hay EH = a
S
∆
BEC
= BC.EH = a.a = a
2
. Mà S
ABCD
= a
2
. Vậy S
∆
BEC
=S
HV/ABCD
hay S
ABCD
= 5S
∆
BEC

Cách 2:
+ Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE => PQ là đường trung bình của tam giác BEC

BEC
= CE.BE =
5
a
.2.
5
a
= a
2
. Mà S
ABCD
= a
2
, nên S
ABCD
= 5.S
BEC
Bài 17: Cho tứ giác ABCD có diện tích S. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của AB, BC,
CD, AD. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo S
Bài 18: Cho hình bình hành ABCD có diện tích S. Kẻ AE vuông góc với BC và AF vuông góc
với CD
a) Chứng minh:
AF
AE AB
BC
=
b) Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AB, AD. Tính diện tích tứ giác AMCN theo S.
Bài 19: Cho tứ giác ABCD có góc A, góc C bằng 90
0
. Vẽ CH vuông góc với AB. Biết rằng

S
ABC
.
Hướng dẫn: Do O là trung điểm của AH nên kẻ đường trung bình. Gọi
N là trung điểm của DC suy ra HN là đường trung bình của tam giác
AHN. AD=DN=NC=1/3AC; S
AHC
=1/2S
ABC
; S
AOC
=1/2S
AHC
1 1 1
;
4 3 3
AOC ABC AOC AOC
S S maø S S vì AD AC
⇒ = = =
Có cùng chiều cao nên
1 2 1
. 2.
12 12 6
AOD ABC ADOE AOD ABC ABC
S S S S S S
= ⇒ = = =