Phơng trình nghiệm nguyên và cách giải
Phng Phỏp 1 :p Dng Tớnh Chia Ht
Dng 1 : Phng trỡnh dng : ax + by = c ;
Vớ d 1 : Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau :
Gii:
Cú th d dng thy chn . t .
Phng trỡnh tr thnh :
T ú ta cú nghim phng trỡnh ny :
Chỳ ý : Ta cũn cú cỏch th tỡm nghim ca phng trỡnh trờn . ú l phng phỏp tỡm
nghim riờng gii phng trỡnh bc nht n.
Ta da vo nh lớ sau :
Nu phng trỡnh vi cú tp nghim l thỡ mi nghim ca
phng trỡnh nhn t cụng thc :
nh lớ ny chng minh khụng khú ( bng cỏch th trc tip vo phng trỡnh )
Da vo nh lý ny ; ta ch cn tỡm nghim riờng ca phng trỡnh .
i vi cỏc phng trỡnh cú h s nh thỡ vic tỡm nghim khỏ n gin nhng vi cỏc
phng trỡnh cú ln thỡ khụng d dng chỳt no . Do ú ta phi dựng n thut toỏn
clit ( cỏc bn cú th tỡm c cỏc sỏch ; tụi s khụng núi nhiu v thut toỏn ny ) . Ngoi
ra cũn cú thờm phng phỏp hm Euler .
Dng 2 : a v phng trỡnh c s :
Vớ d 2 : Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau :
Gii :

x(2 + 3y) + 5y = 8;

3
[ ]
yyx 5)32(
++
= 24;


⇔
x - 1 \ 3 và y - 1\ 3; Ta tìm được các cặp nghiệm tương ứng.
Phương Pháp 2 : Phương Pháp Lựa Chọn Modulo ( hay còn gọi là xét số dư từng vế )
Trước tiên ta có các tính chất cơ bản sau :
số chính phương chia dư 0; 1; chia dư 0; 1; chia dư 0; 1; 4.
Ví dụ 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Giải:
Còn
Do đó phương trình trên vô nghiệm.
Có thể mở rộng thêm cho nhiều modulo như 5; 6…..và mở rộng cho số lập phương ; tứ
phương ; ngũ phương.......
Ta đến với Ví Dụ sau :
Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :
Giải:
Dễ thấy
Giáo viên:Phan Duy Thanh
2
Mặt khác :
chẵn thì ; lẻ thì
Còn ( vô lí)
Do đó phương trình trên vô nghiệm.
Chú ý : Nhiều bài toán nghiệm nguyên trong đề thi vô địch toán các nước đôi khi phải xét
đến modulo khác lớn ; ta xét đến ví dụ sau :
Ví Dụ 7 :(Balkan1998) Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Giải:
( vô lí)
Do đó phương trình này vô nghiệm.
Chỉ dòng ; thật ngắn gọn và đẹp phải không nào.
Nói chung để xét modulo hiệu quả còn phải tùy thuộc vào sự nhạy bén của người làm toán.
Nói thêm :

Xét
Mặc khác
. Ta thử lần lượt.
phương trình vô nghiệm nguyên
Xét
Mặc khác
.
Vậy nghiệm phương trình là và các hoán vị.
Dạng 3 : Áp Dụng Các Bất Đẳng Thức Cổ Điển.
Ví Dụ 11 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :
Giải:
Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đc
Dấu xảy ra
Từ phương trình
Giáo viên:Phan Duy Thanh
4
( phương trình ước số ; dễ dàng tìm đc rồi tìm ra )
Đáp số : nghiệm phương trình là
Ghi chú : Việc Áp Dụng BDT vào bài toán nghiệm nguyên rất ít dùng vì ẩn ý dùng BDT rất
dễ bị "lộ" nếu người ra đề không khéo léo. Tuy nhiên cũng có vài trường hợp dùng BDT
khá hay .
Ta đến với Ví Dụ sau.
Ví Dụ 12 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau với là các số đôi khác nhau.
Giải:
Áp dụng BDT quen thuộc sau :
Vì khác nhau
Lần lượt thử các giá trị của ta tìm đc
Đáp số : và các hoán vị .
Dạng 4 : Áp dụng tính đơn điệu của bài toán . Ta chỉ ra hoặc vài giá trị của biến
thoả phương trình rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất .

Ta đến với Ví Dụ sau
Ví Dụ 15 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Xét hiệu
Xét hiệu
Theo nhận xét trên
Thế vào phương trình ban đầu
Nhận xét trên có thể mở rộng với số lập phương ; ta đến với ví dụ tiếp theo :
Ví Dụ 16 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Giáo viên:Phan Duy Thanh
6
Giải:
Bằng cách trên ta có được :
hoặc hoặc
lần lượt xét ta tìm được các nghiệm phương trình là:
Phương Pháp 5: Dùng tính chất của số chính phương .
Dạng 1 : Trước tiên ta đến với mệnh đề sau :
với thì
Chứng minh mệnh đề này không khó ; ta chứng minh bằng phản chứng : Giả sử không
là số chính phương nên trong phân tích thành ước nguyên tố của hoặc tồn tại 1 số chứa
ít nhất 1 ước nguyên tố p với số mũ lẻ . Giả sử là . Vì nên không chứa thừa
số
cũng chứa thừa số với số mũ lẻ ( vô lí trái với điều kiện là số chính phương) .
Bây giờ ta đến với ví dụ .
Ví Dụ 17: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
Giải:
Rõ ràng
Từ phương trình
( phương trình ước số)
Từ đó tìm được nghiệm phương trình .
Đáp số :

Thật vậy ; rõ ràng vế phải chia hết cho
Ta có :
Do đó đều chia hết cho .
Đặt . Thế vào và rút gọn :
Rõ ràng . Đặt . Thế vào và rút gọn :
Do đó nếu là nghiệm của phương trình trên thì cũng là nghiệm .
Tiếp tục lý luận như trên thì đều chia hết cho . Ta lại tìm được nghiệm thứ là
Giáo viên:Phan Duy Thanh
8
với . Tiếp tục và ta dẫn đến :
. Điều đó chỉ xảy ra .
Ví Dụ 20: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
( Korea 1996)
Giải:
Giả sử là nghiệm của phương trình trên .
Rõ ràng chẵn ( do chẵn ) nên có 2 trường hợp xảy ra.
Trường Hợp 1 : có số lẻ ; số chẵn. Không mất tính tổng quát giả sử lẻ chẵn.
Xét theo modulo 4 thì :
Còn ( do chẵn ) ( vô lí)
Trường Hợp 2 : số đều chẵn.
Đặt thế vào và rút gọn ta được :
lập luận như trên ta lại được chẵn. Quá trình lại tiếp tục đến :
với
Điều đó xảy ra .
Tóm lại nghiệm phương trình là
Phương Pháp 7: Nguyên Tắc Cực Hạn hay còn gọi là Nguyên Lí Khởi Đầu
Cực Trị.
Về mặt hình thức thì phương pháp này khác với phương pháp lùi vô hạn nhưng về ý tưởng
sử dụng thì như nhau ; đều chứng minh 1 phương trình không có nghiệm không tầm
thường.

( là số nào đó )
RÕ ràng ( do giả thiết
Do đó theo ta có điều phải chứng minh.
Xét 1 trường hợp nhỏ của bài toán trên :
Khi ; vì lẻ nên
Lúc đó ta có mệnh đề sau : là số nguyên tố có dạng . Khi đó nếu thì
Mệnh đề hết sức đơn giản này lại là 1 công cụ vô cùng hiệu quả đối vơi nhiều bài toán khó.
Ví Dụ 22: ( bài toán Lebesgue) Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
( đây là 1 trường hợp nhỏ của phương trình Mordell )
Ghi chú : Phương trình Mordell là phương trình có dạng ; bài toán
trên là trường hợp phương trình Mordell với
Giải:
Trước tiên ta có bổ đề nhỏ sau :
Giáo viên:Phan Duy Thanh
10
Mọi số nguyên có dạng đều có ít nhất ước nguyên tố có dạng
Chứng Minh:
Giả sử A không có ước nguyên số nào có dạng
( vô lí)
Do đó A có ước dạng
Nếu là số nguyên tố thì bổ đề được chứng minh. Nếu là hợp số. Lý luận tương
tự ta lại có có ước có dạng . Nếu lại là hợp số thì lai tiếp tục. Vì quá
trình trên là hữu hạn nên ta có điều phải chứng minh.
Quay lại bài toán.
Xét chẵn
( vô lí do )
Xét lẻ
viết lại phương trình :
Nếu
Nếu

CỘng vào vế (*) :
Ta đc :
=>
=> (**)
Vậy nếu pt (*) có nghiệm là thì pt (*)cũng có nghiệm là
vì là giá trị nhỏ nhất của
=> nghiệm
=>
=> pt (**) > (*)
=>
=>
=>
=>
=> (1)
Vì có vai trò như nhau nên ta cũng cm đc
(2)
Từ (1) và (2)
=>
=> pt (*) :
=>
Giáo viên:Phan Duy Thanh
12
=> ( vô lí )
Vậy pt này vô nghiệm
Nhưng nếu dùng mệnh đề trên thì lời giải ngắn gọn hơn nhiều :
Rõ ràng đều có dạng . Thật vậy :
Do đó có ít nhất ước nguyên tố
( vô lí)
Do đó phương trình trên vô nghiệm.
Các dạng cơ bản của phương trình vô định nghiệm nguyên mình đã giới thiệu hết. Việc sắp