PHÒNG GD ĐT CÀNG LONG ĐỀ THI CHỌN HOC SINH GIỎI NĂM ( 2010-2011)
MÔN : TOÁN LỚP 9
Thời gian : 120 phút
Bài 1:1. Cho
1 2 2 5
4
2 2
x x x
P
x
x x
+ +
= + +
−
− +
a. Rút gọn P nếu
0; 4x x≥ ≠
(1điểm )
b. Tìm x để P = 2 (1điểm )
2. Rút gọn các biểu thức sau :
a.
( )
( )
2
6
1 2 3 2 2 2− − + + −
(1điểm )
b.
24 8 5 9 4 5− − +
(1điểm )
Bài 2 : Với ba số a,b,c không âm , chứng minh bất đẳng thức (2 điểm )

x y

+ − =


−
+ + =


(2điểm )
Bài 5: (4 điểm) . Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD vuông góc với
nhau. Gọi M, N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA
a. Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng

( )
1
2
OM ON OP OQ AB BC CD DA+ + + = + + +
Bài 6: (4 điểm) . Cho đường tròn đường kính AB, tiếp tuyến xAy. Lấy điểm M khác
A trên xy, vẽ tiếp tuyến thứ hai MN.
a. Chứng minh BN song song với OM
b. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BN tại P. Chứng minh MP vuông
góc với xAy
c. Đường thẳng ON và MP cắt nhau tại S. Chứng minh tam giác OSM cân
ĐÁP ÁN
Câu Điểm
Bài 1
1a
1b.

− +
−
−
= = =
+
− + − +
Khi P = 2 thì
3
2 3 2 4 4 16
2
x
x x x x
x
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
+
2a.
( )
( )
3
1 2 2 1 2
2 1 2 1 8 6
= − − + + −
= − − + + =
2b.
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2.2. 5 2 5 2 2.2. 5 5

1 4 0
4
m m− > ⇒ <
Để D tạo với Ox một góc tù thì a<0 tức là
1
1 4 0
4
m m− < ⇒ >
Để hai đường thẳng song song khi a = a’ tức là :
m = 2m – 3
3 3m m⇒ − = − ⇒ =
;
,
2 2 1b b m m≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
Vậy khi m = 3 và
1m
≠
thì hai đường thẳng song song
Để hai đường thẳng vuông góc khi a . a’ = -1 tức là :
0.5
0.5
1
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5

=


Vậy khi m = 1 hoặc khi m =
1
2
thì hai đường thẳng vuông góc
Thế m = 3 vào hệ phương trình giải hệ phương trình ta được
(x ; y) = (
6 13
;
17 17
)
Biến đổi hpt thành :
10 15 50
10 2 2
x y
x y
+ =


− + = −

sử dụng phương pháp cộng
tìm được x =
3
17
m +
; y =
5 2

Q
A
M

B
Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được
tứ giác MNPQ là hình bình hành
Mà AC
⊥
BD
MQ//BD suy ra AO
⊥
MQ
⇒
AC
⊥
MQ mà AC // MN
⇒
MQ
⊥
MN
⇒

0
ˆ
90QMN =
Vậy MNPQ là hình chữ nhật
0.25
0.5
0.25

1
2
OM ON OP OD AB BC CD DA+ + + = + + +
Vẽ hình :
M
I
P
S
N
O
B
A
y
x
Gọi I là giao điểm của MO và AN
BN song song với OM
Theo định lí hai tiếp tuyến cắt nhau ta chứng minh được tam giác
AMN cân tại M có MO là đường phân giác nên MO là đường
trung tuyến
Xét tam giác ANB có OI là đường trung bình
⇒
OI//BN
⇒
OM//BN
Chứng minh MP
⊥
xAy
Xét tam giác vuông OAM và tam giác vuông OBP có
MA = OP


⇒
MP
xAy⊥
Chứng minh tam giác OSM cân tại S
Xét tam giác vuông NMS và tam giác vuông POS có
OP = MN ( Cùng bằng đoạn MA )
Mà
ˆ
ˆ
SMN SOP=
( Cùng phụ với góc S )
tam giác vuông NMS = tam giác vuông POS
SM SO
⇒ =

Vậy tam giác OSM cân tại S
HẾT
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25