Phần I nguyên hàm
A ) Các kiến thức cơ bản :
Cho hàm số y=f(x) xác định trên
[ ]
,a b
và có đạo hàm trên đoạn đó ta có
1) Vi phân của hàm số y=f(x) kí hiệu là : dy hoặc df ( Vi phân của biến là dx)
2) Công thức tính : hoặc (

Muốn tính vi phân của một hàm số ta lấy đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến
số)
3) Vi phân của các hàm số thờng gặp :
d(ax+b) = a.dx d(ax
3
+bx
2
+cx+d) = (3ax
2
+2bx+c)dx
d(ax
2
+bx+c) = (2ax+b)dx d(sinx)=cosx.dx
d(cosx) =- sinx.dx d[sin(ax+b)] = a.cos(ax+b).dx
d[cos(ax+b)] =- a.sin(ax+b)dx d(e
x
)=e
x
.dx

(e

d(
ln x
) =
1
dx
x
d(
2
1
x a+
) =
2
xdx
x a+
d(x
m+1
) = (m+1)x
m
( xdx =
2
1
2
dx
)
4) Nguyên hàm của hàm số y=f(x) kí hiệu là: F(x) hoặc
( )f x dx

.Đó là một hàm số sao cho đạo
hàm của nó bằng f(x).Vậy thì (
( )f x dx

3
3
3x x x m
y
x
+ + +
=
5.
3
( )
p
y qx
x
= +
6.
3
1 2
ln
m
y x
x
x
= + +

Dạng2:Tính nguyên hàm của hàm số lợng giác, hàm mũ, hàm logarit
Tính nguyên hàm của các hàm số sau (m,n, p, q là các hằng số)
7. y= sin2x 8.y= cos3x 9.y=sin3x.cos4x
10.y= cospx.cosqx 11. y= sinmx.cosnx 12.y=tanx+cotx

1

2
x
e x
y
+
=
Dạng3: Tính nguyên hàm của các hàm số bằng cách đa một biểu thức vào dấu vi phân
19.y=(mx+n)
2007
20.y=3x
5
2 2x +
21.
1
y
mx n
=
+
22.
2
2007
x
y
x a
=
+
23.
4 3 2
1 2
2

x
y
x
+
=
29.y=cos
5
x 30.y=sin
7
x
31.y=tan
2
x+ cot
2
x 32.y=tanx 33.y=cotx
34.y=
)
4
(sin
4

+
x
35.y=cosx.
2
sin x
e
36.y=x.
2
1x

3x +

43. y=sin2x.cos
2007
x 44.
2
1
os
y
c x
=
45.
3
4
3 2
x
y
x
=

46. y=x
2
.
3
3x
e

47.y=cot
3
x 48.

=
****************************************
Phần ii tích phân
A) Các kiến thức cơ bản :
1-Công thức newton leipnitz ( Niutơn laipnit )
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì ta có công thức
( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x=

= F(b) - F(a)
Giải thích: Muốn tính tích phân của một hàm số ta đi tìm nguyên hàm của hàm số đó rồi thế cận
2-Tính chất:
2.1-Phép cộng:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx+ =

2.2-Phép nhân với một hằng số khác 0:
. ( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=

2.3-Phép đảo cận tích phân:

1
2x x
I dx
x

=

2)
4
4
0
(3 )
x
I x e dx=

3)
3
3
1
(3 )I x x dx

= +


4)
2
1
7 2 5
e
x x

7)
5
2
2 2
dx
I
x x
=
+ +

8)
1
1
0
(3 5 )
x x
I dx
+
=

9)
1
3
0
2 1I x dx= +


10)
1
0

Bài 2: Tính các tích phân sau:
13)
dxxxJ .3cos.sin
4
0
2


=
14)
3
0
sin .J x dx

=

15)
4
2
0
tan .J x dx

=

16)
2
0
cos2 .cos3J x xdx

=

xdx
J
x

=

20)
2
3
3
(sin cos )
sin cos
x x dx
J
x x


+
=


21)
4
10
0
sin .sin 2 .J x x dx

=

22)


=


Bài 3: Tính các tích phân sau bằng cách tách cận tích phân
25)
3
3
2I x dx

=

26)
4
2
1
3 2I x x dx

= +

27)
5
2 2
0
( 4 3 4 )I x x x x dx= + +

28)
3
8
8


* Nhận dạng : Hàm số dới dấu tích phân thờng là tích của 2 loại hàm số khác nhau

3

* ý nghĩa : Phơng pháp này nhằm đa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt
hàm số dới dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dới dấu tích phân)
* Chú ý : Ta cần chọn u và dv sao cho : du đơn giản , dễ tính đợc v , tích phân
vdu

đơn giản hơn tích phân
udv

.
Ta đa ra cách chọn nh sau:
A, Gặp dạng:
( ). ( )P x f x dx

( P(x) là đa thức còn f(x) là một trong các hàm số sin(ax+b) , cos(ax+b)

e
a x+b
, a
x
) . Thì ta đặt : u=P(x) và dv = cos(ax+b).dx ...
* Chú ý: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗi lần P(x) sẽ giảm 1 bậc)
B, Gặp dạng:
. ( )
k
x f x dx

x a+
và dv = dx
Tính các tích phân sau:

31)
2
0
( ).sinI x x xdx

= +

(
2
4I

= +
) 32)
2
0
.sin .I x x dx

=

(
2
1
16 4
I

= +

3
1
.ln .I x x dx=

(
15
4ln2
16
I =
) 36)
1
0
.sin .
x
I e x dx

=

(
2
( 1)
1
e
I


+
=
+
)

2
I e


= +
)
39)
3
3
0
sin( ).I x dx

=

(
2
12I

=
) 40)
2
0
1 sin
1 cos
x
x
I e dx
x

+

[ln(1 2) 2]
2
I = + +
)
43)
2
ln(sin )
sin
x dx
J
x
=

1.44)
2
ln(cos )
cos
x dx
J
x
=

45)
2
sin
xdx
J
x
=



1.50)
1
ln
1
x
J x dx
x

=
+

4

Dạng3: Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến số

A -
Đổi biến số cách 1
:
Để tính
( )
b
a
f x dx

ta đặt t= g(x) ( g(x) chứa trong f(x).Tiếp theo biểu diễn
f(x)dx theo t và dt.Ta thu đợc tích phân theo t ( Nhớ rằng đổi biến thì phải đổi cả cận )

;
2 2



Chứa
2 2
x a
x=a/cost
3
[0; ) [ ; )
2 2
t



Chứa
2 2
x a+
x = atant
[0; )
2
t


Chứa
a x

52)
1
5 2 2
3
0
(1 2 ) .I x x dx=

53)
3
0
sin cos ).I x x dx

=

54)
1
3 2 10
0
(1 5 )I x x dx=

55)
1
5 2 2
3
0
(2 5 ) .I x x dx=

56)
5
0


59)
2
2 2
x x x
I e e e dx= +
60)
1
2
0
2
x
J dx
x
=


61)
1
5
2
2
0
1
x
J dx
x
=



x
dx
J
e e
=
+

65)
1
0
4
x x
dx
J
e e

=



66)
2
3
8
1
2
x dx
J
x
=

J
x x
=
+

70)
1
2
0
( 1) 2 2
dx
J
x x x
=
+ + +

71)
7
2
2
2
2
1
x
x
+



Bài 5: Dùng phơng pháp đổi biến cách 2 hãy tính các tích phân sau:

1 .I x x dx

=

76)
3
4
2
2
0
1
x
J dx
x
=


77)
2
2 3
0
(4 )
dx
J
x
=


78)
2

dx
J a b
x a b x
+
+
= <


81)
2
3 2
1
4 .I x x dx

=

82)
1
3
0
2
2
x
I x dx
x
+
=


83)

=
+

(t=sinx) 86)
3
sin .cos
dx
I
x x
=

87)
3 5
4
sin .cos
dx
I
x x
=

(t= tanx)
88)
2
3
cos
sin
xdx
I
x
=

2
sin 2
1 sin
xdx
I
x
=
+

93)
2 4
sin .cos
dx
I
x x
=


Dạng4: Tính tích phân của hàm số phân thức hữu tỉ
Ta dựa vào đặc thù của hàm,dùng phơng pháp phân tích hoặc đồng nhất thức để đa nguyên hàm
đã cho về các nguyên hàm cơ bản sau:

6