1
Tìm GTLN và GTNN
của các loại hàm số sau:
*
A) Hàm tuyệt đối:
Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:
1)
[ ]
2
3 2 , 10;10y x x x
= − + ∈ −
(giá trị tuyêt đối toàn phần)
Giải:
Xét
[ ]
2
1
3 2, 10;10y x x x= − + ∈ −
1 1
3
2 3; 0
2
y x y x
′ ′
= − = ⇔ =
Các giá trị đặc biệt của x là −10;3/2,10
Ứng với y
1
là 72, −1/4 và 132
Suy ra −1/4≤y
1

2
1
0
2
y x
′
= ⇔ =
Các giá trị đặc biệt của x là −2; −1; 1; 2; ½
Ứng với các giá trị của y là 1; −1; 1; 5; 5/4
Min(y)=−1 (khi x=−1)
Max(y)=5 (khi x=2)
3)
[ ]
2 2
4 4 3 , 1;4y x x x x x
= + + − + ∈−
Hướng dẫn: xem bài 2
4)
[ ]
1
, 0;4
1
x
y x
x
−
= ∈
+
Giải:
Xét

x
y x
x
−
= ∈
+
Giải:
Xét
[ ]
1 1
2
2 5
, 2;4 ; 0
2 1 (2 1)
x
y x y
x x
−
′
= ∈ = >
+ +
Xét
[ ]
2 1
2
2 5
, 0;2 ; 0
2 1 (2 1)
x
y x y

Cách 2:
2
2
0
1
x
y yx x y
x
= ⇔ − + =
+
(1)
Với y=0 cho ta giá trị x=0 để y(0)=0
Với y≠0, phương trình (1) cho ta điều kiện:
2
1 1
0 1 4 0
2 2
y y∆ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≤ ≤
Min(y)=−1/2 khi x=1/(2y)=−1
Max(y)=1/2 khi x=1/(2y)=1
2)
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=

y
x x
−
=
+ +
Giải:
1
2
2
( 2)
2 2
x
y x
x x
−
= ≥
+ +
( )
2
1
2
2
4 6
2 2
x x
y
x x
− + +
′
=

x x
y
x x
− −
′
=
+ +
2
1 1
0 2 10,
2 2
6 2 10
y x y
x
−
′
= ⇔ = − = =
+
− +
Khi x=2 ta có y=0
Min(y)=
1
6 2 10− +
khi x=
2 10−
Max(y)=
1
6 2 10+
khi x=
2 10+

[ ]
1 , 3;1y x x x
= + − ∈−
(Chỉ có 1 căn của P
1
thì đặt t là căn ấy)
Giải:
Đặt
2
1 ; 0 2; 1t x t x t= − ≤ ≤ = −
2
1 (0 2)y t t t= − + + ≤ ≤
1
2 1; 0
2
y t y t
′ ′
= − + = ⇔ =
1 5
(0) 1; (2) 1;
2 4
y y y
 
= = − =
 ÷
 
Min(y)=−1 và Max(y)=5/4
3)
[ ]
(2 8) , 1;4y x x x

x
y y
x x
′
= = >
+ +
Lập biến thiên của y
1
với x<−1 hay x≥0
Ta có : y≥0 và y≠1 Nên Min(y)=0 và không tồn tại
Max(y)
3
D) Hàm lượng giác:
Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:
1)
[ ]
2sin cos 2 , 0;y x x x
π
= + ∈
Giải:
[ ]
2
2sin 2sin 1, 0;y x x x
π
= − + + ∈
Đặt t=sinx, 0≤t≤1
y=g(t)=−2t
2
+2t+1, y’=−4t+2 có nghiệm t=1/2
g(0)=1, g(1)=1, g(1/2)=3/2

x
π
=
y(0)=0; y(π)=π, y(π/3)=
2 3 3
6
π
+
Min(y)= y(0)=0
Max(y)= y(π)=π
3)
[ ]
2sin , 0;y x x x
π
= + ∈
Hướng dẫn:
1 2cos
2 2sin
x
y
x x
+
′
=
+
1 2
0 cos
2 3
y x x
π

π
 
= + − ∈
 
 
Giải:
3 2
2
2
cos 2cos 1
cos tan 1
cos
x x
y x x
x
− +
′
= + − =
2
2
2
2
(cos 1)(cos cos 1)
cos
(1 cos )(sin cos )
0
cos
x x x
y
x

0
2
y x
π
′
= ⇔ =
(0) 0y =
,
tan(1)
2
y
π
 
=
 ÷
 
,
( ) 0y
π
=
Min(y)=
(0) 0y =
Max(y)=
tan(1)
2
y
π
 
=
 ÷

x
+
=
+
(mẫu số luôn dương)
sin2x+(1 y)cos2x=5 3y− −
(dạng ax+by=c cho điều kiện a
2
+b
2
>=c
2
)
Từ phương trình ta có:
2 2
1 (1 ) (5 3)y y+ − ≥ −
2
24 28 7 0y y− + ≤
7 154 7 154
12 12
y
− +
⇔ ≤ ≤
* Min(y)=
7 154
12
−

khi
2 2

+
=
+
Hướng dẫn: xem bài 6
8)
1 cos
2 cos
x
y
x
+
=
+
Hướng dẫn: xem bài 6
9)
2
sin sin cos 2 1y x x x
= + − +
Hướng dẫn: t=sinx, −1≤t≤1
10)
3 3
sin cos 3(sin cos )y x x x x
= + + +
Hướng dẫn: t=sinx+cosx,
2 2t− ≤ ≤
suy ra
2
2
1
1 2sin cos sin cos

=
+
nhỏ hơn −1
Giải:
sin 1
2 cos sin 1
2 cos
k x
y y y x k x
x
+
= ⇔ + = +
+
sin cos 2 1k x y x y⇔ − = −
Ta có
( )
2 2
2
2
1 1 1 1
1 2 1
2 2
k k
k y y
− + + +
+ ≥ − ⇔ ≤ ≤
Giá trị nhỏ nhất của y là
2
1 1
2

1 1 3
3 . .
2 2
4
y x
x x
≥ =
2
3 3
3 1 1
( )
2
4 2
Min y x x
x
 
= = ⇒ =
 ÷
 
2) Cho x>0, tìm GTNN của
3
1
y x
x
= +
Hướng dẫn: xem bài 1
3) Cho x>0, tìm GTLN của
( )
2
1y x x= −

5) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3. Tìm
GTNN và LN của
2 2 2
y a b c= + +

Giải:
9=(a+b+c)
2
<=3(a
2
+b
2
+c
2
)
suy ra y>=3
Min(y)=3 khi a=b=c=1
Ta có
1
3 3 3
a b c
+ + =
và a,b,c không âm nên các
giá trị a/3, b/3 và c/3 thuộc [0;1]
Do đó
2 2 2
1
9 9 9 3
a b c a b c+ +
+ + ≤ =

2 1 1 1 2 1
3 3
y
n n n n n n
= + +
     
− −
 ÷  ÷  ÷
     
2
2
2
3 2
n
y n
n
= +
−
Khi n tiến ra +∞ thì y tiến ra +∞
Vậy không có GTLN của y
8) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3. Tìm
GTNN, GTLN của
y abc=
Giải:
Ta có
3
3 3 1a b c abc abc= + + ≥ ⇒ ≤
Max(y)=1 khi a=b=c=1
Min(y)=0 khi Max(a;b;c)=3, hai số còn lại bằng 0.
9) Cho a,b,c là 3 số dương và a+b+c=3. Tìm GTNN

P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
Giải:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
2 2 2
2
x y z x y z
P
yz zx xy
+ +
= + + +
2 2 2 2 2 2

1 9
9 ( )
8( ) 2
P xyz
xyz
≥ =
Min(P)=9/2 khi a=b=c=1
G) Bất đẳng thức trong hình học:
1) Cho điểm M trên cung lớn AB của đường tròn
(C). Tìm M để MA+MB lớn nhất
D
A
B
M
Hướng dẫn: Trên tia AM lấy D để cho MD=MB
Ta có góc MDB = góc MBD
Suy ra góc AMB=MDB+MBD=2ADB
Vậy góc ADB=1/2.AMB không đổi
Điểm D di động trên cung tròn (L) chứa góc
AMB/2 và nhận AB làm dây cung.
AD = MA+MD=MA+MB dài nhất khi AD là
đường kính của (L), khi đó tam giác ABD vuông tại
B và M là trung điểm AD cho ta MA=MB, M chính
là trung điểm của cung lớn AB trên đường tròn (C).