Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN DUY PHAN ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT
()D N D Z
VÀ
()DZW
TRONG LỚP
CÁC KHÔNG GIAN FRECHET LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

U
Ậ
Ậ
N
NV
V
Ă
Ă
N
NT
T
H
H
Ạ
Ạ
C
CS
S
Ỹ
Ỹ


MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU
1
Chương 1. Đặc trưng của các tính chất
()DNDZ
và
()DZW

trong lớp các không gian frechet
4
1.1. Một số khái niệm cơ bản.
4
1.2. Đặc trưng của tính chất
()DNDZ
.
7
1.2.1. Tính chất
()DNDZ
và Định lý chẻ tame.
7
1.2.2. Đặc trưng của tính chất
()DNDZ
.
11

W()DZ
.
35
2.4. Tính ổn định của các tính chất
()DNDZ
và
W()DZ
đối với
không gian đối ngẫu thứ hai.
46
KẾT LUẬN
50

TÀI LIỆU THAM KHẢO

51
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Như đã biết, các bất biến tôpô tuyến tính của các không gian Frechet có
vai trò rất quan trọng trong lý thuyết các không gian Frechet, nói riêng, trong
các định lý phân rã. Các bất biến tôpô tuyến tính
()DN
và
()W

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu. Luận văn nghiên cứu về đặc trưng của các
tính chất
()DNDZ
và
()DZW
trong lớp các không gian Frechet phân bậc.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu. Trên cơ sở mục đích đã đặt ra, luận văn tập
trung vào các nhiệm vụ sau đây:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất
()DNDZ
và
()DZW
trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của
các tính chất
()DNDZ
và
()DZW
.
- Chứng minh chi tiết một số kết quả về các tính chất
()DNDZ
và
()DZW

trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính
chất
()DNDZ
và

trong lớp các không gian Frechet phân bậc
cùng đặc trưng của các tính chất
()DNDZ
và
()DZW
. Phần cuối cùng của
chương này dành cho việc trình bày các kết quả về tính ổn định của các tính
chất
()DNDZ
và
()DZW
đối với không gian đối ngẫu thứ hai.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Bản luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những
kinh nghiệm trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo
trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm - Đại học
Thái Nguyên, Viện Toán học và trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng
dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu
khoa học.
Xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, trường Cao Đẳng kỹ thuật mỏ Quảng Ninh cùng các đồng nghiệp
đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học

.
1.1. Một số khái niệm cơ bản.
1.1.1. Định nghĩa. Một dãy khớp các không gian lồi địa phương và ánh xạ
tuyến tính liên tục là một dãy hữu hạn hay vô hạn

fg
E F G×××® ¾ ¾® ¾ ¾® ® ×××

sao cho ảnh của ánh xạ tuyến tính vào bằng hạt nhân của ánh xạ tuyến tính ra.
1.1.2. Định nghĩa. Một dãy các không gian lồi địa phương và ánh xạ tuyến
tính liên tục có dạng

00
fg
E F G® ¾ ¾® ¾ ¾® ®

được gọi là dãy khớp ngắn nếu
{ }
0,Kerf =

imf kerg=
và
img G=
.
1.1.3. Định nghĩa. Dãy khớp ngắn
00
fg
E F G® ¾ ¾® ¾ ¾® ®

được gọi là chẻ nếu xảy ra một trong hai điều kiện tương đương sau :


0 1 2
. . . ...£ £ £

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
xác định tôpô; dãy được gọi là bậc. Các không gian con và không gian
thương được trang bị các nửa chuẩn cảm sinh. Các cấu xạ là các ánh xạ
tuyến tính tame giữa các không gian Frechet phân bậc.
1.1.4. Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính
:A E F®
được gọi là tame nếu tồn
tại
0b ³
và các hằng số
0
n
c >
( có thể phụ thuộc vào
n
) sao cho

nb
n
n
Ax c x
+
£
với mọi
0n ³

1.1.7. Định nghĩa.
E
được gọi là tổng trực tiếp tame của
F
, nếu tồn tại
các ánh xạ tuyến tính tame
:i E F®
và
:L F E®
sao cho
oLi
là phép
đồng nhất trên
E
.
Với mỗi
Ej
¢
Î
ta định nghĩa

{ }
{ }
*
( ) : 1 ¡
n
n
sup x xjj= £ Î È + ¥
,


L
:

{ }
1
( ) ( ) : ,
¥
K
p
n
jj
a x x x nl
¥
=
= = Î < + ¥ "
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6

1/
,
1
p
p
p
n
j j n
j
x x a
¥

()
j n j n
aa
¥
==
=
là ma trận thoả mãn
, , 1
0
j n j n
aa
+
££
với mọi
,jn

và
,
0
jn
n
sup a >
với mọi
j
.
Đối với dãy bất kỳ
12
0 ...aa£ £ £ + ¥Z
,
( ) ( )

1 1 1
1
( ) ( ), ( ) ( ), ,a a s s s s
ee
l l a a
¥¥
= L = L = =
.
Ta trang bị cho
w = K
¥
(tương ứng
()
p
s
e
¥
) các bậc

1
n
n
i
i
xx
=
=
å
(tương ứng
01

=

Nếu
H
là không gian Frechet và  . 
1
  . 
2
 ...   .
n
 ... là hệ
tăng các nửa chuẩn liên tục trong
H
,
k
Hlà không gian Banach kết hợp
với nửa chuẩn
.
k
;
:
kk
HHw ®
và
,
: ( )
n k n k

j
x sup x j j=Î¥
với mọi
12
( , ,...)x x x s=Î
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
Với mỗi
k
cố định đặt:

{ }
12
( , ,...) :
k
k
kj
s x x x s x sup x j= = Î = < + ¥
.
1.1.8. Định nghĩa. Cho
E
là không gian Frechet phân bậc.
)i
Cho
0e >
bất kỳ,
E
được gọi là
()e -

( ) ( 1)
mq
n k m k k m
a E E c n
e--
+
® £ +
với mọi
,0m q k³³
và
0n ³
,
ở đó
( , ) ( )
n n k m k
a k k m a E E
+
+ = ®
là các số xấp xỉ của các ánh xạ chính
tắc
k m k
EE
+
®
.
Với không gian tuyến tính
E
bất kỳ và các tập con tuyệt đối lồi
A B EÐÐ
ta ký hiệu


2
11
. . . .
n n n-+
£
với mọi
n
.
Trong trường hợp này, với mỗi
0 in££
và
0k ³
ta có

. . . . ,
k i k i
n n i
nk
+
-
+
£

từ đó bằng cách lấy minimum theo
r
với mọi
0r >
ta nhận được
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

cú tớnh cht
()DNDZ
Nu tn ti
,0bp
v cỏc hng s
,
0, 0
n n k
cc>>
sao cho

,
0 0 0
1
nb
nk
ip
n n n n k
kp
i p k p
C
U c r U U
r
-Ơ
+
-+
-
= - =
ổ ử ổ ử
ữữ

1.2.1.3. Mnh . Gi s
0 ( ) 0
iq
EEa
Ơ
Ơ
ắ ắđ L ắ ắđ ắ ắđ ắ ắđ
%

l dóy khp tame cỏc khụng gian Frechet phõn bc v
E
cú tớnh cht
()DNDZ
. Khi ú dóy khp l ch tame, tc l
q
cú ngc phi tame.
Chng minh.
B i mt s hu hn cỏc na chun trong
E
%
v trang b cho
E
cỏc
na chun thng, ta gi s vi
()x a
Ơ
Ơ
ẻL
v
yEẻ

Ơ
+ - + -
= = +
ổử
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
é+
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ốứ
II
.
Theo nh lý Hahn - Banach ta thỏc trin hm to th
j

( ) , ( )
j j j

jn
G e U E
a-
+
Â
ẻé

sao cho

1n n n
j j j
G q F F
+
=-o
, v chn
1
1
kk
cc
+
ÊÊ
vi

,
:2
mk
m p m
mm
k
k

cho

*
( 1 )
2
j
pm
nn
jm
m
g D e
a+-
-
Ê
vi mi
m n pÊ+
,

*
( 1 )
2
j
pm
n n n
j j m
m
G g D e
a+-
-
-Ê

ớỹ
ùù
ùù
= + = - - -
ỡý
ùù
ùù
ợỵ
ồồ
oo
.
Ta cú

*
( 1)
11
1
0
2 (1 2 ) .
jjj
m m m
n
j m p m p
mp
n
e D e D e
aaa
j
Ơ
- + - -

mp
j m p
m
j
x sup x e D x
a
jj
++
++
Ê Ê Ơ
= Ê +

T ú,
j
l ngc trỏi tame ca
i
.
1.2.1.4. H qu. Nu
E
cú tớnh cht
()DNDZ
v
()a
Ơ
L
l hch thỡ mi
dóy khp tame
0 ( ) 0EEa
Ơ
đ L đ đ đ

1
.
k l p
k l k m l m
m k p
B c r B B
r
-+
--
ổử
ữ
ỗ
é+
ữ
ỗ
ữ
ốứ

Ly
FE
Â
é
l khụng gian con v
( , ; )
lm
d d B B F>
. Khi ú

,,
1

ổử
ữ
ỗ
Ê+
ữ
ỗ
ữ
ốứ
.
Ly minimum theo tt c
0r >
ta nhn c

1
,,
( , ; ) ( , ; )
m m k p
k m l k m l m
d B B F c d B B F
- - -
Ê
. (*)
Núi riờng, vi mi
1, k q pn
ta nhn c

,
( , ; ) ( , ; )
q q q p
k k q k k q k q

nn
-
+
+-
Ê
(**)
Theo (*) vi mi
k q p
v
mp
ta cú

,
( , ; ) ( , ; )
k m q m p
k k m k m q k m
d B B F c d B B F
+ - -
++
Ê,
( , ; ) ( , ; )
m p m p
k m q k k k m
c d B B F d B B F
--
+
Ê

ờỳ
ởỷ
ta nhn c
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
11

,,
( , ; ) ( , ; ) ( , ; )
m p m p
k q p k q p
k k m k m q k k m q q
d B B F c d B B F c d B B F
n
--
- + - +
+
ÊÊ21
2
, 0 , 0
( , ; ) ( , ; )
m p k p q m p
k q p p q q p
k m q k m q
c d B B F c d B B F
- - - -
ìì
- + + +

qp
vi

2
0
( , ) ( 1)
nq
d B B c n
-
Ê+
.
t
1
pq
e =
+
. Khi ú vi
0k
v
65m p q+
ta c

2 0 0
( , ) ( 1) ( , ) ( 1) ( , )
n n k m k n k k m
a k k m n d U U n d U U
++
+ Ê + Ê +
tn ti dóy khp tame

0 ( ) 0s s s
e e e
đ đ đ đ
Ơ

1.2.2.2. nh lý. Nu
E
l khụng gian Frechet phõn bc
()e -
hch tame cú
tớnh cht
()DNDZ
thỡ
E
ng cu tame vi khụng gian con phõn bc ca
s
e
.
Chng minh.
Do b 1.2.2.1 tn ti dóy khp tame

00s E E
e
đ đ đ đ
%

vi khụng gian con phõn bc
E

E
l hch tame v mi dóy khp tame

0 ( ) 0
iq
EEa
Ơ
Ơ
ắ ắđ L ắ ắđ ắ ắđ ắ ắđ
%
l ch tame.
Chng minh.
))i iiiị
do nh lý 1.2.1.3 v mnh 1.2.1.5.
))iii iiị
do b 1.2.2.1.
))ii iị
do mnh 1.2.1.2.
1.3. c trng ca tớnh cht
()DZW
.
1.3.1. Tớnh cht
()DZW
v nh lý ch tame.
1.3.1.1.nh ngha. Cho
E
l khụng gian Frechet phõn bc . Ta núi rng
E

cú tớnh cht

= = -
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ
é+
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
II
.
Khi
0bp==
,
E
gi l cú tớnh cht
()DW
.
1.3.1.2. Mnh . Nu khụng gian Frechet phõn bc
E
ng cu tame vi
khụng gian thng phõn bc ca
()
p
a
Ơ
L

()H a
Ơ
L
l cỏc khụng gian con phõn bc v
E

cú tớnh cht
()DZW
vi
0b =
, tc l vi mi
np
v mi
0r >
ta cú

,
0
np
n p m n p m
n m m n m
m m n p
U r U c r U
-
Ơ
- - - -
= = -
ổử
ổử
ữ

,
2
()a
Ơ
L
v
.
n
:
l bc cm
sinh bi cỏc na chun thng trờn
H
. Chn
,bd
c nh sao cho vi
yHẻ
bt k, ta cú

nn
n n b n d
y c y c y
++
ÂÂ
ÊÊ
:

v

2
j

n
l e x x x x
a
= = < + Ơ
,
2
: ( )
j
n
nn
l e H
a
p đ
l phộp chiu chớnh tc;
,
nn
EG
(tng ng
n
H
%
) l b
sung ca
,EG
(tng ng
H
) i vi
.
G
n

j
nb
nn
n j n b j j n
n
q d e d c e
a
p
+
+
Â
=Ê
.
t

1
, ( )
nn
jj
j
R x x d x a
Ơ
Ơ
=
= ẻ L
ồ
.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
14

v
1
( , )
n
n b d n
S L H E
+ + +
ẻ
, bng cỏch thỏc trin liờn tc n
1n b d
H
+ + +
.
t
1
nn
n b d
TSp
+ + +
= o
. Khi ú

,
nn
jj
T T e=
v
()
, : 1
j

1
nn
cc
+
ÊÊ
sao cho
,
1
: 2 , 0
m n n
m p m p
m m p
n
n
cc
D c sup m
c
+ + +
+
ÂÂ
= < + Ơ
.
p dng iu kin
()DZW
cho
n
j
T
%
vi

2
j
m a p
n n n
j j m
m
T t D e
a++
-
-Ê
%
vi mi
m n p-
.
T ú,
0
( ( ))
n n n
j j j j
n
t t T T
Ơ
=
= + -
ồ
%
hi t trong
n
E
.

ồồ1
1 0 1
( ) ( ( ))
mp
m p n n n n n
j j j j j j
j n n m p
R x T T t T T x
+
ƠƠ
++
= = = + +
ổử
ữ
ỗ
ữ
= - - - + -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ồ ồ ồ
%%
,
nờn ta cú

()DNDZ
, thì mỗi dãy khớp tame
00E G H® ® ® ®
đều là chẻ tame.
1.3.2. Đặc trƣng của tính chất
()DZW
.
1.3.2.1. Mệnh đề. Cho
E
là không gian Frechet hạch phân bậc.
)i
Nếu
E
có tính chất
()DNDZ
, thì tồn tại dãy khớp tame

0 0,E s F F s
ed
® ® ® ® Í
không gian con phân bậc.
)ii
Nếu
E
có các tính chất
()DNDZ
và
()DZW
, thì
E

t
= Î ´ =

ta nhận được các dãy khớp tame

21
00
i
E H F
p
® ¾ ¾® ¾ ¾¾® ®
,

12
00
i
s H s
p
dt
® ¾ ¾® ¾ ¾¾® ®
.
Như vậy, ta có đẳng cấu tame
min( , )
H s s s
d t d t
@ ´ @
. Từ đó suy ra
)i
.
Cuối cùng định lý chẻ 1.3.1.3 suy ra

d
Í
và
s
d
đẳng cấu
tame với không gian con phân bậc của
F
, nên suy ra
F
đẳng cấu tame với
,s
d
de³
. Từ đó thay ánh xạ
:q id s s s s
e e d e
´ ´ ® ´
đối với ánh xạ
:q s s
ed
®
, ta nhận được dãy khớp tame cần tìm.
1.3.2.3. Định lý. Với mỗi không gian Frechet phân bậc
E
, các mệnh đề sau
là tương đương:
)i
E
có tính chất

Bây giờ chúng ta sẽ giới thiệu điều kiện
*
()DZW
của dãy khớp tame,
là điều kiện đủ đối với
()DZW
- tính chất ba không gian. Chú ý rằng trong
chứng minh đặc trưng của không gian thương của
s
trong trường hợp tôpô,
'tính chất ba không gian" đã được áp dụng cho dãy tiêu chuẩn [19]

00s E E® ® ® ®
%

1.3.2.4. Định nghĩa. Cho
00F E E
j
® ® ¾ ¾® ®
%
là dãy khớp các
không gian Frechet phân bậc,
{ }
: : 1
n
n
U x E x= Î £
%
.
)i

17

01
()
nn
i i s
n i n n i
ii
r U c r Ujj
-
--
==
ổử
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
II
, (*)

,,
0
()
n k n k
n k n k

0s =
(*) v (**) xy ra vi
mi
0r >
.
1.3.2.5. Mnh . Cho
00F E E
j
đ đ ắ ắđ đ
%
l dóy khp tame cỏc
khụng gian Frechet phõn bc. Dóy cú tớnh cht
*
()DZW
,
E
v
F
cú tớnh
cht
()DZW
. Khi ú
E
%
cng cú tớnh cht
()DZW
.
Chng minh.
Gi s
{ }

. Ly
, 0 1,
n
p s p q r x U + + < < ẻ
. p dng tớnh
cht
*
()DZW
cho
np-
, ta nhn c

,
( ) ( ) ( ) ( )
n
nk
ip
n n n i n k
kp
i p k p
c
x U c r U U
r
j j j j
Ơ
-
-+
+
= = -
ổ ử ổ ử

= = -
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
+
ữữ
ỗỗ
ữữ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
%
%
II,
( ) ( )
n
nk
i s p
n n i n k
k s p
i s p k s p
c
c r U U
r
j j j j
Ơ
--

- - -
-
= + +
ẻ
%
I
,

,nk
nk
k s p q
k s p q
c
bU
r
Ơ
+
+ + +
= - - -
ẻ
%
I
,
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
18

,
n s p
nk
iq

nk
i s p q
n n i n k
k s p q
i s p q k s p q
c
c r U U
r
Ơ
- - -
-+
+ + +
= + + = - - -
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ
=+
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
%
%
II
.
1.3.2.6. Mnh . [11] "Dóy Borel"


trong
11
,
22
ộự
-
ờỳ
ờỳ
ởỷ
.
)i
Ly
[ ]
1
0, 1, ,..., 1,1
n
n r f f D > ẻ -
sao cho
i
i
i
frÊ
v
0
( ) ( )
i
ffbb=

vi mi
0 inÊÊ

(0) (0)
ii
i
gf=
%
.
Chn
[ ]
1,1hDẻ-
vi
1
n
h Ê
sao cho
0
( ) ( )h f gbb=-
%
v t
g g h=+
%
.
Khi ú
( ) ( )
i
gfbb=
v
i
n
i
g c rÊ

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
Đặt

()
,
( ) (0) (2
!
i
i
n n i n
in
x
g x f rc x
i
y
¥
-
=
=
å
%
.
Ta có

[ ]
1,1gDÎ-
%
và

()
(0)
j
i ij
g d=
với mọi
0j ³
, và đặt

1
()
0
(0)
n
i
ni
i
g f g g
-
=
=+
å
%
.
Ta nhận được
( ) ( )
nk
gfbb
+
=

n
n
u sup u f f U F
¢ ¢ ¢
= Î Í
,
u E FeÎ
.
Hiển nhiên, ta có
E F F Eee=
,
E F E F
p
e =Ä
%
là các đẳng cấu tame trong
đó
EF
e
Ä
%
và
EF
p
Ä
%
được phân bậc một cách tự nhiên.
Cùng với
12
:u E E®

e be
e e e
e e we® - ´ ¾ ¾ ¾® - ¾ ¾ ¾® ®

là dãy khớp tame.
Chứng minh.
Theo mệnh đề 1.3.2.6 ta có dãy khớp tame
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20

[ ] [ ] [ ]
0 1, 0 0,1 1,1 0
i
D D D
b
w® - ´ ¾ ¾® - ¾ ¾® ®

Lấy
e -
tích đối với
s
i ide
,
p -
tích đối với
s
idbe
suy ra điều phải
chứng minh.
1.3.2.9. Bổ đề. Cho

e
e= Î Í
.
Chọn
1
s
e
>
. Lấy
ns³
và
1r >
. Ký hiệu
j
es
¢¢
Î
là hàm toạ độ thứ
j
.
)i
Lấy
0
,...,
n
T T F s
e
eÎ
sao cho


ii
rr
T e U c U
jj
ee
j j j
==
æö
æ ö æ ö
÷
ç
÷÷
çç
÷
¢
ç
ÎÍ
÷÷
çç
÷
ç
÷÷
÷÷
÷
çç
÷
è ø è ø
ç
èø
II

sao cho
0
( ) ( ( ))
jj
u T ejj
¢
=
, còn với
j
mà
jr
e
³
, thì ta đặt
()
j n j
u T e
¢
=
. Khi đó
()
jj
T e u
¢
=
xác định
T F s
e
eÎ
, với

21

()
is
i i i s
j j n n
i i s
j i j i
r
T a j u c j c r
j
ee
e
+
ƠƠ
+
+
==
ổử
ữ
ỗ
Â
Ê Ê Ê
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
ồồ

k n k
n k j n k n k
T e c r j U
e-+
++
Â
ẻ
, nờn ta cú

( ) ( )
,,
00
( ( )) ( )
k n k k n k
n j n k n k n k n k
kk
T e c r j U c r j U
ee
j j j
ƠƠ
- + - +
++
==
ổử
ữ
ỗ
Â
ẻ
ữ
ỗ

.
Khi ú
()
jj
T e u
Â
=
xỏc nh
T F s
e
eẻ
, vi
nk
TTjj
+
=oo
, vi mi
0k
.
Vỡ
0
,
()
k
n k s n k n k
T V c r U
+ - +

%
vi mi

L
ng cu tame vi khụng gian con phõn bc ca
2
()a
Ơ
L
, thỡ

lim 1
j
j
j
sup
a
b
đƠ
Ê
.
)ii
Cho
( ), ( )ab
ƠƠ
LL
l hch. Khi ú
( ) ( )ab
ƠƠ
L @L
l ng cu tame
khi v ch khi


Chng minh. Ta trang b cho
sse
bc tng ng tame

11
( ) ( )
j j n
n
ii
n
ij
u a a i j
ƠƠ
==
==
ồồ
,
trong ú
12
( , ,...) : ( ),
jj
jj
a a u e e s
  Â
=ẻ
l vộc t n v th
n
. Chn song ỏnh

:

11
( ) (1) ( ) ( )
kk
ii
kk
k O k log k O k
ii
j
==
ộ ự ổ ử
ữ
ỗ
= = + = +
ờỳ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ờỳ
ởỷ
ồồ
.
Nh vy, nu
( ) ( , )k i jy =
, thỡ ta cú
1
( ) ( ) ( )
n n n n
n

0 ( ) 0, ( ,1)s s s min
e e e
eeđ đ đ đ =
Ơ
%%
%
.
)iii
Nu
E
l
()e -
hch tame, thỡ tn ti dóy khp tame cú tớnh cht
*
()DZW