Tập dợt khái quát hoá bài toán tổng quát bằng cách mở rộng phạm vi
áp dụng phơng pháp.
Ths. Nguyễn Bá Thủy
Trờng THPT Bắc Yên Thành Nghệ An .
Xác định những bài toán cùng loại, khái quát hoá thành bài toán tổng quát và xây dựng đ-
ờng lối giải cho bài toán tổng quát là kỹ năng tối quan trọng đối với mỗi ngời làm toán. Rèn
luyện kỹ năng này giúp phát huy năng lực t duy sáng tạo trong quá trình học tâp môn toán. Xuất
phát từ thực tiễn dạy học của bản thân, chúng tôi xin đề xuất một hớng để xây dựng bài toán tổng
quát, là: Mở rộng phạm vi áp dụng ph ơng pháp.
Ta xét thí dụ sau:
Bài toán 1: Cho hàm số:
2
x2
2
x2
2
)x(f
+
=
với xR.
Tính tổng:
)1(f)
2000
1999
(f...)
2000
1
(f)0(fS
++++=
? (1)
Lời giải:

=
+
+
+
=+
Ta viết lại tổng S nh sau:
)0(f)
2000
1
(f...)
2000
1999
(f)1(fS
++++=
. (2) (có 2001 số hạng)
Cộng vế với vế 2 đẳng thức (1) và (2) ta có:
[ ] [ ]
1 1999
2S f (0) f (1) f ( ) f ( ) ... f (1) f (0)
2000 2000

= + + + + + +vế phải có 2001 tổng f(x)+f(1-x).
[ ]
2
2001
)1()(
2

=
(a>0 là hằng số, xR).
Tính tổng:
)1(f)
n
1n
(f...)
n
2
(f)
n
1
(f)0(fS
+

++++=
theo n và a?
Bài toán này có thể đợc giải quyết một cách đơn giản với phơng pháp đã nêu cho Bài toán 1
(chúng tôi xin dành lại cho bạn đọc). Sau khi giải Bài toán 2, với mục đích đi tìm một bài toán
tổng quát hơn ta xem xét lại 2 bài toán trên. Ta nhận thấy:
1
ở Bài toán 1 có thể xem
2
x2
2
0x2
2
)x(f
+
+

n
1
(f)0(fS
+

+++=
. (*)
(Cho a=2, k=0, n=2000 ta đợc Bài toán1; cho k=0 ta có Bài toán 2).
Công việc còn lại là tìm lời giải cho Bài toán 3, cũng giống nh Bài toán 1, ta tiến hành
nh sau:
Ta có:
(
)
2(1 x) k
2 k 2x k 1
a a a a
f (1 x) .
2x 2x
2(1 x)
2 2x
a a a
a a.a
a a
+
+ +
= = =

+
+
+


+=
(**)
Cộng vế với vế 2 đẳng thức (*) và (**) ta có:
[ ] [ ]
1 n 1 n 1 1
2S f (0) f (1) f ( ) f ( ) ... f ( ) f ( ) f (1) f (0)
n n n n


= + + + + + + + +


.
vế phải có (n+1) tổng f(x)+f(1-x).
Suy ra
[ ]
k
a.
2
1n
)x1(f)x(f.
2
1n
S
+
=+
+
=
.