ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
Môn Toán 9
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1
a. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình

3 3 3
2
3
2( )
x y z xyz
x y z

− − =


= +


b. Biết p
1
và p
2
là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp
Chứng minh:
1 2
1
( )
2
A p p= +
là hợp số

BÀI NỘI DUNG ĐIỂM
Bài 1
6 điểm
a) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình
3 3 3
2
3
2( )
x y z xyz
x y z

− − =


= +


Từ
3 3 3
3x y z xyz− − =

;x y x z⇒ > >
Từ
2
2( )x y z= +
=> x chẵn và
2
2( ) 4 2x y z x x= + < ⇒ =
Thay vào
2

⇒
là hợp số (vì
1 2
2
p p+
nằm giữa hai số nguyên tố liên
tiếp)
0,5
0,5
1
1
Bài 2
3 điểm
Viết lại A=
2 2
( 3) ( 4 1) 0x ay x y− + + − + ≥
Đẳng thức xẩy ra
3 0
4 1 0
x ay
x y
− + =

⇔

− + =


( 4) 2a y⇒ − =
2

y= +
(1) trở thành
2 2 2
1 4 4 4y y y+ + = −
2
1 4 4y y⇔ + = −

3
4
y⇔ =

5
2
x⇔ = ±
(Tmđk)
0,5
0,75
0,75
1
Bài 4
8 điểm
Vẽ hình đúng 0,5
a) Gọi K là giao điểm của AI với
(O). Ta có
∠
BAI = 45
0
nên khi A
di động trên cung BC thì K cố định
Ta có

ABC AMIN BIC
S S S S= = +
2
.S r r BC⇔ = +
2
.2S r r R⇔ = +
2 2
( )r R S R⇔ + = +
hay
2
r S R R⇔ = + −
1
1
1
c)
1 1 1
( ) ( 2 ) .
2 2 2
ABC
S r b c a r b c R b c= + + = + + =2
bc
r
b c R
⇔ =
+ +
(*)
Ta có