Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
1
MỞ ĐẦU

Thông thường trong một số lĩnh vực, đo đạc khí tượng chẳng hạn, các đại lượng khảo sát
thường không được cho dưới dạng hàm liên tục, mà là bảng các giá trị rời rạc. Các phương
pháp giải tích toán học thường tính toán với các hàm cho bởi các công thức, do đó không thể
áp dụng trực tiếp để nghiên cứu các hàm cho dưới dạng rời rạc như thế này. Cũng có khi ta
biết rằng đại lượng y là một hàm của đại lượng x, tức là y = f(x), nhưng ta không biết biểu
thức hàm f(x) mà chỉ biết một số giá trị y
i
tương ứng với các giá trị x tại các điểm x
i
.
Thông thường thì
0 1
...
n
x x x< < <
và các điểm này có thể phân bố cách đều hoặc không.
Mặc dù ta chỉ biết các giá trị của y tại các điểm mốc x
i
, nhưng trong nhiều trường hợp ta cần
tính toán với các giá trị y tại các vị trí khác của x. Một câu hỏi đặt ra là: cho một điểm x
không thuộc các điểm x
i
cho ở trên, làm thế nào chúng ta có thể tính được giá trị y tương ứng
với nó, sao cho chúng ta có thể tận dụng tối đa các thông tin đã có?
Bài toán nội suy là bài toán tìm giá trị gần đúng của y tại các điểm nằm giữa các giá trị x
không có trong các x
i

hạn, còn các tập giá trị cần ước lượng là vô hạn, nên sẽ có vô số hàm F(x) nếu chúng ta
không đưa ra một số ràng buộc nào đó về F(x). Điều đầu tiên chúng ta quan tâm là nên chọn
dạng hàm F(x) như thế nào.
Một cách tự nhiên, ta có thể đặt điều kiện về hàm F(x) như sau:
· F(x
i
) = f(x
i
) = y
i
với i = 0,1,…, n.
· F(x) là duy nhất theo một số điều kiện nào đó.
· Hàm F(x) liên tục, không có điểm gấp khúc và ít thay đổi trong từng đoạn
1
[ ; ]
i
i
x x
+
.
Sau đây ta sẽ tìm hiểu về cách xây dựng hàm F(x) trên.
Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
2
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1) Tỷ sai phân và sai phân
a. Tỷ sai phân
· Định nghĩa
Xét hàm
( )y f x=

-
-
-
= =
-
là tỷ sai phân cấp một của hàm
f
.

Tỷ sai phân cấp hai: là tỷ sai phân của tỷ sai phân cấp một, ký hiệu là:
1 1
1 1
1 1
( 1, 1)
[ , ] [ , ]
[ , , ]
i i
i i
i
i i
i i
i n
f x x f x x
f x x x
x x
+ -
+ -
+ -
= -
-


Ta thấy, tỷ sai phân cấp một cần hai mốc nội suy, cấp hai cần ba mốc,…, cấp n cần n+1
mốc.
Ví dụ

sin sin 2
sin[ , ] cos sin
2 2
a b a b a b
a b
a b a b
- + -
= =
- -Có thể tính tỷ sai phân thông qua cách dựng bảng như sau:

x

y

[. , .]f

[. , . , .]f

[. , . , . , .]f

[. , . , . , . , .]f



3
y4
y1 0
[ , ]f x x2 1 0
,
[ , ]f x x x

2 1
[ , ]f x x

3 2 1 0
, ,
[ , ]f x x x x3 2 1
,
[ , ]f x x x

4 3 2 1 0

- - -
+ = +Hằng số nhân được đưa ra ngoài tỷ sai phân:
0 0
1 1
( )[ , ,..., ] . [ , ,..., ]
k k k k
cf x x x c f x x x
- -
=Tính chất này được chứng minh bằng cách truy hồi (cho k = 1, k = 2,…)

Tính chất 2
Tỷ sai phân có tính chất đối xứng:
1 1 1 1
0 1 1 1 0
1 1
1,
, , , , 1, 1
, ,..., , ,..., ,
[ , ] [ , ] ( )
[ ] [ ] ( )
[ ] [ ]
i i i i i i
n n n
i i

-1
-1 -1
,
( )- ( )
-
0
- -
[ ]
i i
i
i
i i
i i
f x f x
C C
x x x x
f x x
-
= =
=
(Đúng)
Xét
( )
k
f x x=
(k: nguyên dương)
Ta có
1
1 2 2 1
1

k
x
là đa thức bâc không, nghĩa là hằng số.
Vậy tỷ sai phân cấp k của
k
x
là hằng số, còn tỷ sai phân cấp k+1 trở đi của
k
x
thì bằng
không.
Bây giờ, ta xét đa thức bậc n
( )
n
x
P
:

1
1 1 0
( 0)
( )
...
n
n
n n
n
n
a
x


2
( )
( ) ( )( )
h h h
f
f
x x=
V V V

……………….
Tương tự ta có sai phân cấp n với bước nhảy h của
f
là

1
( )
( ) ( )( )
n n
h h h
f
f
x x
-
=
V V V Quy ước:
0

=
V V 3.
( ( ).
. ) ( ) ( ). ( )
( )
h h h
g x h g
f g f x f x x
x
+
+
=
V V V 4.
(
( ). ( ) ( ). ( )
)
( ). ( )
( )
h
h h
f
g
g x f x f x g x
g x h g x

C
Î
và
( ; ) [ ; ]x x nh a b+ Ì

Khi đó

( )
( )
( ), (0;1)
n
h
n
n
f x
f x nh
h
q q
= + Î
V

Chứng minh

Ta chứng minh bằng quy nạp.
Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
5
Với n=1 ta có công thức số gia hữu hạn
( ) ( )
'( )
f x h f x

Î
. Áp dụng công thức số gia hữu hạn cho
( )
( ' )
n
f x nh
q
+
ta được:

1
( )
( ) ( )
( 1)
1
( ) ( ' )
[ ( ' ) ( ' )]
( ' '' )
n
h h
n
n
n n
n
n
n
f x h f x nh
h f x nh h f x nh
h f x nh h
q

1
( ) ( ( 1) )
n
h
n
n
f x h f x n h
q
+
+
+
= + +
V

Suy ra mệnh đề trên đúng với mọi n.

8. Nếu
[ ; ]
n
f a b
C
Î
thì khi h đủ nhỏ
( )
( )
( )
n
h
n
n

1
1 1
( 0, 1)
( )
( ) ( )
( ) ( )
[ , ]
i
i
i
i
i i i h
i i
i i
i n
f x
f x f x
f x h f x
x x x x h
f x x
+
+
+ +
= -
-
+ -
= =
- -
=
V

+ -
-
= -
-
-
=
=
V

…………………

1 0
1
0
,..., ,
( )
[ , ] 1,2,...
!
k k
k
h
f x
f x x x x k n
k h
-
=
=
V

Đặt
arccos x
a
=

( cos )x
a
Þ =

Do
cos( 1) cos .cos sin .sinn n n
a a a a a
± = m

Nên
cos( 1) cos( 1) 2cos .cos 2 cosn n n x n
a a a a a
+ + - = =

Hay:

1
1 1
( ) cos(( 1).arccos ) cos( 1)
cos( 1)
( ) 2 ( ) ( )
2 cos
n
n


Dễ dàng nhận thấy
( )
n
x
T
là một đa thức đại số có bậc n và hệ số của
n
x
là
1
2
n-
.
Đa thức
( )
n
x
T
đó được gọi là đa thức Chebyshev.

Bây giờ ta xét phương trình
( ) cos( .arccos ) 0
n
x n x
T
= =

Suy ra
0, 1


2

( ) sin( .arccos ) 0
1
cos ( 1, 1)
'
i
n
n
x n x
x
i
x i n
n
T
p
Þ =
= - =
-
= -

Ta có bảng biến thiên của hàm
( )
n
x
T
như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy được, hàm đa thức Chebysev đạt cực trị trên đoạn [-1;1]

n
i
i
i
x
a x
P
=
=
å

- Dạng chuẩn tắc:
0
(
)
( )
( )
n
n
i
i
i
a
x
b x a
P
=
Î
=
-

i
i
a h
x
d x a
P
=
Î
=
-
å
¡

Trong đó
1
0
[ , ]
1
0
( ) 0
1 0
1
0
( )
k
i
k h
k
i
x ih k

d. Chuyển từ chính tắc sang chuẩn tắc
INPUT :
0 1
, ,..., ;
;
n
n a a a a
{Đa thức chính tắc có dạng
0

( )
n
n
i
i
i
x
a x
P
=
=
å
}

OUTPUT:
0 1
, ,...,
n
a a a
{Đa thức chuẩn tắc có dạng

a a a a
- -
- +
=
+

B3: Dừng và xuất các

( 0, )
j
j n
a
=
.

e. Chuyển từ chuẩn tắc sang chính tắc
Phép nội suy Tôn Thất Thái Sơn
8
INPUT :
0 1
, ,..., ;
;
n
n a a a a
{Đa thức chuẩn tắc có dạng
0
(
)
( )
n

=
=
å
}

Giải thuật:
B1: Với mỗi k lấy giá trị từ
0 1n® -
, thực hiện B2.
B2: Với mỗi i lấy giá trị từ
1 n k® -
, thực hiện:
Gán
1
: *(
)
n i n i
n i
a a a a
- -
- +
= -
+

B3: Dừng và xuất các

( 0, )
j
j n
a

n
a a a

{Đa thức chuẩn tắc suy rộng có dạng
[ , ]
0
(
)
( )
n
n
i h
i
i
x
a x a
P
=
=
-
å
}
Giải thuật:
B1: Với mỗi k lấy giá trị từ
0 1n® -
, thực hiện B2.
B2: Với mỗi i lấy giá trị từ
1 n k® -
, thực hiện:
Gán

[ , ]
0
(
)
( )
n
n
i h
i
i
x
a x a
P
=
=
-
å
}
OUTPUT:
0 1
, ,...,
n
a a a
{Đa thức chính tắc có dạng
0

( )
n
n
i

: 0
i
S
-
=1
1 1
( * )*
:
k k k
i
i i
a k h
S S S
-
- -
- +
=

Nếu
1k n< -
thì gán
: 1k k= +
và quay lại B2
Ngược lại thì chuyển qua B4:
B4: Gán
: 1
n

a
.

Giải thuật 2:
B1: Với mỗi k lấy giá trị từ
0 1n® -
thực hiện B2:
B2: Với mỗi i lấy giá trị từ
1 n k® -
thực hiện:
Gán
1
( ( )* )*
:
n i n i
n i
n i k h
a a
a a
- -
- +
-
+ - -
=

B3: Dừng và xuất các

( 0, )
j
j n

-
1
[ ; ]
i
i
g
a a
+
là đa thức trên
1
[ ; ] 0,1,... -1
i
i
i k
a a
+
=

Nghĩa là

1
2
0 1
1 2
1
0
0
0
........................
, [ ; ]

ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
î
Î
Î
Î
å
å
=
åd. Tính giá trị đa thức dựa vào sơ đồ Hoorner
* Cho
n
P
là đa thức bậc n, ghi ở dạng chính tắc

0
( )
n
n

0
1 1
2 1 2
3 2 3
1 0
:
....................
:
:
: ( )
n
n n
n n n
n n n
n
b a a
b b a
b b a
b b a
P
a
a
a
a a
- -
- - -
- - -
= +
= +
= +


gán:

:
( ) ( )*
n n
n i
P P a
a a a
-
=
+

B3: Dừng và xuất
( )
n
P
a* Cho
n
P
là đa thức bậc n, ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng

[ , ]
0
(
)
( , )


1 1
2 1 2
3 2 3
0 1 0
: (
(
(
....................
(
( 1) )
: ( 2) )
: ( 3) )
: ) ( )
n
n n
n n n
n n n
n
b a a n h a
b b a n h a
b b a n h a
b b a a
P
a
a
a
a a
- -
- - -

a
=

B2: Với mỗi i chạy từ
1 n®
gán: