SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11
NĂM HỌC 2008 - 2009
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình
3 3
3
1 1 5x x x+ + − =
Câu 2. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z khác 0, ta có:
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + ≥ + +
Câu 3. (2,0 điểm) Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
1
1
11
10 1 9
n n
u
u u n, n N.
+
=


= + − ∀ ∈

+ + − = ⇔ + − + + − =
⇒ − = ⇒ − = ⇒ = = ±
±
Câu 2: (4 điểm)
Ta có:
2
2
2
2
2
2
1 2
1 2
2
x x
y y
y y
z z
z z
x x
 
+ ≥
 ÷
 
 
+ ≥
 ÷
 
 
≥

+ + ≥ + +
 ÷  ÷
   
Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Câu 3:
Ta có:

1
2
3
11 10 1
10 11 1 9 102 100 2
10 102 1 9 2 1003 1000 3
u
u .
u . .
= = +
= + − = = +
= + − = = +
Dự đoán u
n
= 10
n
+ n (1)
Chứng minh:
Ta có: u
1
= 11 = 10
1
+ 1 công thức (1) đúng với n = 1.

( )
4
1
2008
2
2 1 4016 2 251
m m
mk
m k m .
−
⇒ + =
⇒ + − = =
Nếu m lẻ
⇒
2k + m - 1 chẵn. Khi đó: m = 251, 2k + m - 1 = 2
4
(không xảy ra)
Nếu m chẵn
⇒
2k + m - 1 lẻ. Ta có:
4
2 1 251
2
k m
m
+ − =


=


4 4
MD a;AM a.= =

Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho
tam giác vuông MDN, ta có:
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
3
4 16 7
1 3 25
2 4 7 56
BMN
MN MD DN AM NC MD DC NC
a a
a x a x x
a
Suy ra : S a a a .
= + ⇔ + = + −
 
⇔ + = + − ⇔ =
 ÷
 
 
= + =