Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam
TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc
Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2001
Ngành:Toánhọc
Mônthi:Giảitích
Thờigianlàmbài:180phút
Câu1. Chohàmsốxácđịnhtrên R
2
bởi
f(x;y)=
ẵ
y
4
x
2
+y
2
nếu x
2
+ y
2
> 0
0 nếu x
2
+ y
2
=0
Chứngminhrằng
a) f(x; y) cócácđạohàmriêngliêntục.
b) f
00

.
1.Chứngminhrằng
a) KerA = A
Ă1
(0) làkhônggianconđóngcủaFvàAcóđồthịđóng.
b)Akhôngliêntục.
2.NếutrênFxácđịnhchuẩn kxk =max
t2 [0;1]
jx(t)j +max
t2 [0;1]
jx
0
(t)j ; 8x 2 F ,hãy
chứngminhrằngAlàtoántửtuyếntínhliêntục.Tính kAk.
1
TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh.
2
Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam
TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc
Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2001
Ngành:Toánhọc
Mônthi:Đạisố
Thờigianlàmbài:180phút
Câu1.ChoGlàmộtnhómXycliccấpnsinhbởiphầntửavàHlàmộtnhóm
concủaG.
a)ChứngminhrằngHlànhómXyclicvàHcómộtmộtphầntửsinh a
d
với
dlàmột ướcsốdươngnàođócủan.
b)Choqlàmột ướcsốdươngnàođócủan.ChứngminhrằngGcóduynhất

=(x+y)
n
:
Câu3. Kýhiệu V = M(2; R) vàcho A 2 V .
a)Chứngminhrằngánhxạ '
A
: V ! V chobởi X 7! AX Ă XA vớimọi
X 2 V làmộttựđồngcấutuyếntínhcủaV.
b)Chứngminhrằng '
A
khônglàđơncấuvớimọi A 2 V .
Câu4. GiảsửVlàmộtkhônggianvectơEuclidehữuhạnchiềuvà W
1
; W
2
làcáckhônggianvectơconcủaV.Giảsửrằngvớimỗi
Ă!
v 2 W
2
;
Ă!
v 6 =
Ă!
0 ; tồn
tạimộtvectơ
Ă!
x 2 W
1
saochotíchvôhướng h
Ă!

2
> 0
0 nếu x
2
+ y
2
=0
Tínhcácđạohàmriêng
@f
@x
;
@f
@y
vàxéttínhkhảvicủahàmsố f tạiđiểm
(x; y) 2 R
2
.
Câu2. Chohàmsố f :[0;1] ! R xácđinhnhư sau:
f(x)=
ẵ
1
(x
2
+1)
2
nếu x 2 Q
e
x
2
nếu x 62 Q

chuẩncủaA.
Câu5. GiảsửXlàkhônggianđịnhchuẩnvàYlàkhônggianconđóngcủa
Xvới ; 6= Y 6= X vàcho 0 < t < 1.Chứngminhrằngvớimỗi y 2 Y ,tồntại
x 2 X với kxk =1saocho kx Ă yk > t.
1
TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh.
4
Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam
TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc
Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2004
Ngành:Toánhọc
Mônthi:Đạisố
Thờigianlàmbài:180phút
Câu1. Vớimỗisốnguyêndương n á 2,kýhiệu P
n
làkhônggianvectơcác
đathứcthuộc R[x] cóbậc n,trongđó R làtrườngsốthực.
1.Chứngminhrằngvớimỗi a 2 R,hệvectơ f1; (x Ă a); :::; (x Ă a)
n
g làmột
cơsởcủa P
n
2.Choánhxạ â:P
n
!P
nĂ1
xácđịnhbởi â(f(x))=f
0
(x),vớimọi f(x) 2 P
n

m
n
j m,n2Z;nlàsốlẻ
ê
,trongđó Z làtậphợpcácsố
nguyên.ChứngminhrằngDlàmộtvànhchínhvớicácphéptoáncộngvànhân
cácsốhữutỷ.
Câu5. Choplàmộtsốnguyêntốvà p(x)=x
pĂ1
+x
pĂ2
+ ::: + x +12Q[x],
trongđó Q làtrườngcácsốhữutỷ.
1.Chứngminhrằng p(x) làmộtđathứcbấtkhảquytrên Q.
2.Gọi đ 2 C làmộtnghiệmcủa p(x).Xéttươngứng:
' : Q[x] ! C
f(x) 7! f(đ)
Chứngminhrằng:
a) ' làmộtđồngcấuvành.
b) B = fa
0
+ a
1
đ + ::: + a
pĂ2
đ
pĂ2
ja
0
; a

2
;x6=y
jf(x) Ă f(y)j
jx Ă yj
làmộtchuẩntrênL,vàchuẩnđókhôngtươngđươngvới kfk
1
=sup
t2 [0;1]
jf(t)j.
b)Chứngminhrằng N : E
1
! xácđịnhbởi 8f 2 E
1
; N(f )=jf(0)j +
sup
t2 [o;1]
jf
0
(t)j làmộtchuẩntrên E
1
vàchuẩnnàytrùngvới k:k.
Câu3. Cho E = C([0;1]; R) đượctrangbịchuẩn k:k
1
vàánhxạ T : E ! E
đượcxácđịnhnhư sau:
8f 2 E; 8x 2 [0;1]; (T (f))(x)=
x
R
0
f(t)dt:

Câu6. ChoMlàmộtkhônggianvéctơconcủakhônggianđịnhchuẩnEtrên
trường â vàTlàmộtánhxạtuyếntínhtừMvàoE.Giảsửcómột đ 2 â đểcho
(đI
d
+ T) làmộtsongánhtừEvàoE.và (đI
d
+ T )
Ă1
liêntụctrênE,trongđó
ánhxạ I
d
làánhxạđồngnhất.ChứngminhrằngđồthịcủaTlàmộttậpđóng
trong E Ê E.
1
TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh.