CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-TIN
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM Copyright 2006 ©

Năm học 2000 – 2001 ............................................................................................ 22 Năm học 2001 – 2002 ............................................................................................ 25 Năm học 2002 – 2003 ............................................................................................ 28 Năm học 2003 – 2004 ............................................................................................ 31 Năm học 2004 – 2005 ............................................................................................ 34 Năm học 2005 – 2006 ............................................................................................. 37 Năm học 2006 – 2007 ............................................................................................ 40
www.vnmath.com
Năm học 1993 – 1994

Bài 3

Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau
đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số
hòa.
Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D
sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C
thắng D.

Bài 4

Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí
túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một
cô đang đọc sách. Biết thêm rằng :
1. Mỹ không sửa áo và không đọc sách.
2. Mận không viết thư và không sửa áo.
3. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo.
4. Mai không đọc sách và không sửa áo.
5. Mơ không đọc sách và không viết thư.
Hãy nói chính xác mỗi cô đang làm gì.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
3
www.vnmath.com
Bài 5

Giả sử là một điểm nằm bên trong tam giác đều
O
ABC
. Các đường

A aa a a
−
<<< <
=
và
12
... }
{
nn
Bbb bb
− 1
< << <
=

Hãy chứng minh đẳng thức :
|a
1
-b
1
|+|a
2
-b
2
|+…+|a
n
-b
n
|=n
2


1
,a
2
,…,a
32
)
B=(b
1
,b
2
,…,b
32
)
C=(c
1
,c
2
,…,c
32
)
với a
i
,b
i
,c
i
,…= 0 hay 1; i = 1,2,…,32.
Giá trị của một xâu là số các con số 1 có trong xâu ấy.
Một máy tính có thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau :
_ Phép dịch chuyển các phần tử của A đi k vị trí, 1 ≤ k ≤ 32 theo qui

= 1,b
i
= 0) hay (a
1
= b
1
= 1)
c
1
=
0 nếu (a
i
= 1,b
i
= 0) hay (a
1
= 0,b
1
= 1)
Cho xâu A có giá trị bằng 16 và B là một xâu tùy ý. Chứng minh rằng,
bằng cách dịch chuyển A đi k vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với B, ta sẽ
được xâu C có giá trị không nhỏ hơn 16.
1). Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng sẽ còn lại một số lẻ.
b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên
bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ?

Bài 3

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1

chia hết cho x và x+1 chia
hết cho y.

Bài 4

a) Cho là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì
biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất :
abcd<<<
f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d|
b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n

số thực.

Bài 5

Cho tam giác ABC

có hai đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại I.
Biết rằng ID = IE, chứng minh rằng hoặc tam giác ABC cân tại A hoặc góc
.
0
60BAC∠=

ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c.
a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c.
b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh
AB : AC : BC = 3 : 4 : 5.

Bài 3

Chứng minh không tồn tại một dãy tăng thực sự các số
nguyên sao cho với mọi số tự nhiên n,m

ta có :
123
,,,..
0:aaa≥
.
a
mn
= a
n
+ a
m
.

Bài 4

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn
các tính chất sau :
i) x và y đều có hai chữ số
ii) x = 2y
iii) Một chữ số của

d) Số câu được trả lời “không” ít hơn số câu trả lời “có”
thì một thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi.

Bài 2

Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao
cho
AE CF
BEDF
=
. Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của
đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD.

Bài 3

Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số
A abcd=
thỏa điều kiện :
i)
2
(2abd b d a=+−)

ii) A

+ 72 là một số chính phương

Bài 4

a) Chứng minh với mọi giá trị thực của
x

1>
a) Nếu n lẻ thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n}
thành một dãy sao cho với mọi
kn≤
, tổng của k số đầu tiên trong
dãy không chia hết cho n.
b) Nếu n thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành
một dãy sao cho với mọi
kn≤
, tổng của k số đầu tiên trong dãy
không chia hết cho n.

Bài 2

Giải và biện luận hệ phương trình sau :
1
2
xyz
m
xy
xyz
yz
xyz
zx
⎧
=
⎪
+
⎪
⎪
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
9
www.vnmath.com
Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD.
a)

Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp
xúc ngoài nhau thì ta luôn có
AB + CD ≤ AD + BC
b)

Chứng minh rằng, nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp
xúc ngoài với nhau và hai đường tròn đường kính AD và BC cũng
tiếp xúc ngoài với nhau thì tứ giác ABCD phải là hình thoi. Bài 5

a)

Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng luôn
có thể tìm được hai đỉnh A và B của hình vuông sao cho :
135 180AOB≤∠ ≤
oo
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
10
www.vnmath.com
Năm học 1996 – 1997

Ngày thứ nhất

Bài 1 Cho số nguyên k.
a)

Chứng minh chia hết cho 11 khi và chỉ khi với t
là số nguyên
2
5k
k
++5
5
1
11 4kt=+
b)

Chứng minh không chia hết cho 121.
2

tiếp xúc với các
đường thẳng AB, AC. Bài 4 Chứng minh rằng, có thể chia các số 1,2,…,3N (N ≥ 2) thành ba nhóm N
số mà tổng các số chứa trong mỗi nhóm đều bằng nhau. Bài 5 Trong giải Euro’96, sau vòng đấu loại, ở một bảng có kết quả như sau : A
nhất, B nhì, C ba, D tư. Các nhà quan sát nhận xét rằng nếu tính theo luật cũ là
thắng 2 điểm (chứ không phải 3 điểm như hiện nay), hòa 1 điểm, thua 0 điểm
thì thứ tự trên sẽ bị đảo lộn thành B nhất, A nhì, D ba , C tư. Hãy cho biết điểm
thật sự của mỗi đội, biết rằng trong việc sắp thứ hạng, khi hai đội bằng nhau,
đội nào có hiệu số bàn thắng thua lớn hôn sẽ được xếp trên và trên thực tế cả
bốn đội bóng đều có hiệu số bàn thắng thua khác nhau.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
11
www.vnmath.com
Ngày thứ hai

Bài 1

3
xyz≤≤
Bài 3

a)

Cho tứ giác lồi ABCD. Hãy dựng đường thẳng qua A và chia đôi diện
tích tứ giác ABCD.
b)

Cho tam giác ABC và đường thẳng d // BC và nằm khác phía của A đối
với BC. Lấy điểm M lưu động trên d sao cho ABMC là tứ giác lồi.
Đưòng thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABMC cắt BM hoặc CM
tại N. Tìm quĩ tích điểm N. Bài 4 Chứng minh không tồn tại số tự nhiên n

sao cho
1nn1− ++
là số hữu
tỉ

Bài 5

x xy y yz z zx
+ +=
++ ++ ++
Bài 2 Cho phương trình .
2
(2) (21)3mx mx m+−−−+=0
a)

Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
b)

Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
,x
2
. Khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp
hai lần nghiệm kia. Bài 3 Hai thị trấn A và B cùng nằm trên một dòng sông, cách nhau D km. Thị

13
www.vnmath.com
tròn thứ hai tại hai điểm B và C. Chứng minh rằng điểm A cách đều các đường
thẳng BD và CD.

Bài 5 Số nguyên A được tạo thành bằng các chữ viết liền nhau các số nguyên
dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn :
12345...585960
A = .
a)

Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A
1
tạo bởi các
chữ số còn lại là nhỏ nhất;
b)

Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A
2
tạo bởi các
chữ số còn lại là lớn nhất.

Ngày thứ hai Bài 1


⎩
Bài 2

a)

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2
n
+ 3
n
chia hết cho 5.
b)

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2
n
+ 3
n
chia hết cho 25. Bài 3 Một nhóm 21 người đã đi du lịch đến các nước Anh, Pháp và Ý, trong đó
mỗi người đã đi ít nhất một nước và không có người nào đã đi cả ba nước. Biết
rằng :
i)


2
= AD
2
+ BC
2
+ 2AB.CD
b)

Chứng minh rằng với mọi tứ giác lồi ABCD với hai đáy ta có:
AC
2
+ BD
2
≤ AD
2
+ BC
2
+ 2AB.CD

Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra. Bài 5 Cho dãy n số a
1
, a
2
, …, a
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
15
www.vnmath.com
Năm học 1998 – 1999

Ngày thứ nhất

Bài 1

a)

Giải phương trình
52xx7− =−
.
b)

Giải hệ phương trình
231
327


a)

Giải và biện luận theo m bất phương trình
(2)(3)(3)( 1)
x xm x xm+−>−+−
b)

Cho
33 2
11
:
ab ab
Aab
ab
ab
2− −
− −
⎛⎞
−−
=−
⎜⎟
⎜⎟
−
−
⎝⎠
.
Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa; rút gọn A.