ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2009 - 2010
TRƯỜNG PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN
NĂNG KHIẾU Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
_________________________________________________________________________________________

Bài 1. (2 điểm)
a) Giải phương trình bằng cách đặt ẩn số
5
4
x
t
x
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
:
2
2
400 5
35 24
4
x
x
xx
⎛⎞
+=+ −
⎜⎟
⎝⎠

b) Cho phương trình

b) Tìm số thực
x
để
2R >−
. Tìm số tự nhiên
x
là số chính phương sao cho
R
là số nguyên.

Bài 3. (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
22
0
8
xxyy
xy
++=
⎧
⎨
+=
⎩b) Cho
,,abc
là độ dài ba cạnh của tam giác
ABC
. Giả sử phương trình


BC
. Chứng minh
BKMC
là tứ giác nội tiếp.

Bài 5. (1 điểm)
Trong kỳ kiểm tra môn Toán một lớp gồm 3 tổ A, B, C, điềm trung bình của học sinh ở các tổ
được thống kê ở bảng sau:

Tổ
A
B C A và B B và C
Điểm trung bình 9.0 8.8 7.8 8.9 8.2

Biết tổ A gồm 10 học sinh, hãy xác định số học sinh và điểm trung bình của toàn lớp.

Bài 6. (1 điểm)
Cho tứ giác lồi
ABCD
nội tiếp đường tròn
( )
O
, có đỉnh A cố định và các đỉnh
,,BCD
di
chuyển trên
()
O
sao cho
n


www.vnmath.com
Hướng dẫn giải
Bài 1.
a)

Đặt
5
4
x
t
x
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
, suy ra
2
222
22
5 25 400 5
16
216 2
x
txt
xx
⎛⎞
+= + ⇒ + = +
⎜⎟
⎝⎠

x
x
−±
−=⇔ =

Với
1
4
t = , ta có
3
4
5
51
4
44
x
x
x
x
= −
⎡
−=⇔
⎢
=
⎣

Vậy
5 105 5 105
5; 4; ;
22

1
, x
2
và theo định lý Viet ta có
()
12
12
31
23
m
Sxx
m
m
Pxx
m
⎧−+
=+=
⎪
⎪
⎨
−+
⎪
==
⎪
⎩

Khi đó
()
()
()

Bài 2
a)

Đặt
tx=
ta có
( )( ) ( )( )
( )
()()
()()
()( )
()()
2
2
2
2
25 31345
23345
15 1 5
45
12
32 2 2
15 15 5
5
tt tt tt
tt tt
R
tt tt
tt
tt

++−
>− ⇔− >− ⇔ − > ⇔ > ⇔
⎢
>
−−−
⎣

Với
55025tx x<⇔ <⇔≤<

Với
12 12 144txx>⇔ >⇔>

Vậy giá trị
x
cần tìm là
025
x
≤<
và
144
x
>

•
Ta có
x
là số chính phương nên
tx
= ∈

xxyy
xy
++=
⎧
⎨
+=
⎩

Đặt
,SxyPxy
=+ =
, khi đó ta có hệ
22
4
0
4
2
28 280
2
S
SP P S
P
S
SP SS
P
⎡
=−
⎧
⎨
⎢

42
42
xy x
xy y
+=− =−
⎧⎧
⇔
⎨⎨
==−
⎩⎩

Với
2
2
S
P
=
⎧
⎨
=−
⎩
ta có
2
2
xy
xy
+=
⎧
⎨
=−

( )
( ) ( )
2; 2 , 1 3;1 3 , 1 3,1 3−− + − − +

b)
()()()()()( )
0
xaxb xbxc xcxa
−−+−−+−−=

()( )
2
32 0xabcxabbcac⇔−+++++=

Ta có
()( )
2
222
3a b c ab ac bc a b c ab ac bc
′
Δ= + + − + + = + + − − −
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi
()()()
222
222
1
00 0
2
0
abcabbcac ab bc ca


Trong tam giác vuông AHC có
n
n
00
45 45ACH HAC=⇒ =
nên AHC là tam giác vuông
cân, suy ra
3HC HA==

Do đó
13BC BH CH=+=+
(đvđd)
b) Tam giác AHC vuông cân, có AM là trung tuyến nên
cũng là đường cao, suy ra
AMHC⊥C1: Tứ giác AKHM có
n
n
00 0
90 90 180AKH AMH+=+=
nên là tứ giác nội tiếp, suy ra
n
n
n
00
90 45AKM AHM HAM==−=
Tứ giác BKMC có

8,9 10
10
x
x
x
×+ ×
=⇒=
+

Tương tự
8,8 7,8
8, 2
xy
xy
×+ ×
=
+
, với x = 10 thì y = 15
Vậy điểm trung bình của cả lớp là
910 8,810 7,815
8, 43
10 xy
× +×+×
=
++

Bài 6.
* Tứ giác ABCD nội tiếp nên
n
n

n n
EKF ECF=
, do đó tứ giác
EFKC nội tiếp.
* Vì tứ giác EFKC nội tiếp nên ta có
n
n
FCK FEK=

mà
n
n
FEK FEA=
(do tính chất đối xứng)
Và
n
n
FEA KAD=
(cùng phụ với
n
KAE
)
Do đó
n
n
KAD FCK=

Suy ra tứ giác ADKC nội tiếp, suy ra K thuộc (O), suy ra OA = OK, suy ra O thuộc đường trung trực
của AK mà EF là đường trung trực của AK nên O thuộc EF. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O
cố định.

x
K
F
E
O
A
D
B
C
www.vnmath.com
b) Bài này nhìn có vẻ rắc rối nhưng nếu đưa về phương trình bậc hai thì coi như xong. (lại một câu về
phương trình bậc 2)
Câu 4. Câu này có lẻ là dễ nhất trong đề, và hầu lết làm được và đúng.
Câu 5. Câu này không khó, nếu “chịu” làm thì sẽ làm đúng kết quả. Và cũng nhiều em làm đúng.
Câu 6. Câu này là câu khó nhất, và nhiều em bỏ nhất. Ý đầu tiên có lẽ không khó nhưng ý sau thì khó.
Câu này là câu phân loại và dành cho học sinh chuyên toán.

Trên đây là một vài nhận xét chủ quan của người vi
ết. Hy vọng rút kinh nghiệm trong các kỳ thi sau và
có kết quả tốt hơn.
www.vnmath.com