ĐẠI SỐ CƠ BẢN
(ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC)
Bài 13. Bài tập về không gian véctơ
PGS TS Mỵ Vinh Quang
Ngày 10 tháng 3 năm 2006
1. Xét xem R
2
có là không gian véctơ hay không với phép cộng và phép nhân vô hướng sau:
(a
1
, a
2
) + (b
1
, b
2
) = (a
1
+ b
1
, a
2
+ b
2
)
a
∗
(a
1
, a
2

4
= (1, 1, 2, 1)
b α
1
= (1, 0, 0, −1), α
2
= (2, 1, 1, 0), α
3
= (1, 1, 1, 1), α
4
= (1, 2, 3, 4), α
5
= (0, 1, 2, 3).
Giải. a. Lập ma trận A tương ứng và tìm hạng của ma trận A:
1
A =




1 0 −1 0
1 2 1 1
3 2 3 2
1 1 2 1




−→


0 1 3 1
0 0 −4 −1
0 0 0 0




Vậy rankA = 3, ít hơn số véctơ, nên hệ trên là hệ PTTT. Vì 3 dòng khác không của
ma trận ứng với các véctơ α
1
, α
4
, α
2
, nên hệ con ĐLTT tối đại của α
1
, α
2
, α
3
, α
4
là
α
1
, α
4
, α
2
và rank{α

+ α
2
+ . . . + α
m
cũng ĐLTT.
b. Hệ véctơ:
γ
1
= a
11
α
1
+ . . . +a
1m
α
m
γ
2
= a
21
α
1
+ . . . +a
2m
α
m
.
.
.
.

1m
a
21
a
22
. . . a
2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mm






m
) = 0
⇔ (b
1
+ . . . + b
m
)α
1
+ (b
2
+ . . . + b
m
)α
2
+ . . . + b
m
α
m
= 0
Vì α
1
, . . . , α
m
ĐLTT nên ta có:







.
.
.
.
.
b
m−1
+b
m
= 0
b
m
= 0
Suy ngược từ dưới lên, ta có: b
m
= b
m−1
= . . . = b
1
= 0.
Vậy β
1
, . . . , β
m
ĐLTT.
b Giả sử c
1
γ
1
+ c

+ . . . + a
m2
c
m
)α
2
+ . . . + (a
1m
c
1
+
a
2m
c
2
+ . . . + a
mm
c
m
)α
m
= 0
2
⇔







.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1m
c
1
+ a
2m
c
2
+ . . . + a
mm
c
m
= 0
(∗) Hệ véctơ γ
1
, γ

, . . . , α
i
k
và β
j
1
, . . . , β
j
l
lần lượt là hệ con ĐLTT tối đại của các hệ véctơ
α
1
, . . . , α
m
và β
1
, . . . , β
n
. Vì hệ α
1
, . . . , α
m
biểu thị tuyến tính được qua hệ β
1
, . . . , β
n
nên
hệ α
i
1

m
(α), β
1
, . . . , β
n
(β) thỏa mãn đề ra. Vì hai hệ véctơ cùng hạng
nên ta có thể giả sử rank(α) = rank(β) = k, đồng thời α
i
1
, . . . , α
i
k
và β
j
1
, . . . , β
j
k
lần
lượt là hệ con ĐLTT tối đại của các hệ véctơ (α) và (β). Vì hệ (α) biểu thị tuyến tính
được qua hệ (β) nên hệ α
i
1
, . . . , α
i
k
biểu thị tuyến tính được qua hệ β
j
1
, . . . , β

1
, . . . , β
j
k
, tức là
α
i
1
, . . . , α
i
k
tương đương với β
j
1
, . . . , β
j
k
. Mặt khác, α
i
1
, . . . , α
i
k
tương đương với hệ (α),
β
j
1
, . . . , β
j
k

2
, u
3
khi và chỉ khi phương trình
u = y
1
u
1
+ y
2
u
2
+ y
3
u
3
có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:




1 2 −1 x
1
1 3 −1 x
2
1 −1 1 x
3
1 0 1 x
4



1 2 −1 x
1
0 1 0 −x
1
+ x
2
0 0 2 −4x
1
+ 3x
2
+ x
3
0 0 2 −3x
1
+ 2x
2
+ x
4




−→




1 2 −1 x
1

= 0. Bởi vậy véctơ u = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
)
biểu thị tuyến tính được qua u
1
, u
2
, u
3
khi và chỉ khi x
1
− x
2
− x
3
+ x
4
= 0.
3
8. Trong R
3
[x] cho các hệ véctơ:
u
1

Giải. Cách giải bài này tương tự như bài tập 7. Chi tiết cách giải xin dành cho bạn
đọc.
9. Trong R
3
cho các hệ véctơ:
u
1
= (1, 2, 1), u
2
= (2, −2, 1), u
3
= (3, 2, 2) (U)
v
1
= (1, 1, 1), u
2
= (1, 1, 0), v
3
= (1, 0, 0) (V )
a. Chứng minh (U), (V ) là cơ sở của R
3
b. Tìm các ma trận đổi cơ sở từ (U) sang (V ) và từ (V ) sang (U).
Giải. a. Lập ma trận U mà các dòng của U là các véctơ u
1
, u
2
, u
3
U =


là cơ sở của R
3
.
b. Giải tương tự như ví dụ 1, bài 11, sau đây là chi tiết cách giải:
Để tìm ma trận T
UV
ta giải 3 hệ sau:


1 2 3 1 1 1
2 −2 2 1 1 0
1 1 2 1 0 0


−→


1 2 3 1 1 1
0 −6 −4 −1 −1 −2
0 −1 −1 0 −1 −1




1 2 3 1 1 1
0 −1 −1 0 −1 −1
0 −6 −4 −1 −1 −2


−→

=
5
2
, b
2
= 1 − a
3
= −
3
2
, b
1
= 1 − 2b
2
− 3b
3
= −
7
2
Hệ 3: c
3
= 2, c
2
= 1 − c
3
= −1, c
1
= 1 − 2c
2
− c

3
2
7
2
−3
1
2
3
2
−1
1
2
5
2
2


Việc tìm ma trận T
V U
xin dành cho bạn đọc.
10. Trong R
2
cho các cơ sở (α), (β), (γ). Biết T
αβ
=

1 1
2 1

, T

1
+ γ
2
= (2, 1). Mặt khác ta có
T
αβ
=

1 1
2 1

nên T
βα
= T
−1
αβ
=

−1 1
2 −1

do đó:
α
1
= −β
1
+ 2β
2
= (−1, −1)
α

ta có:
x ⊕ 1 = x.1 = x do đó véctơ không trong KGVT R
+
là 1.
Với mỗi véc tơ α ∈ R
+
, α khác véctơ không (tức là α = 1) ta chứng minh {α} là hệ
sinh của R
+
. Thật vậy ∀x ∈ R
+
ta có: x = α
log
α
x
= (log
α
x) ∗ α = a ∗ α trong đó
a = log
α
x ∈ R. Vậy x luôn biểu thị tuyến tính được qua hệ gồm 1 véctơ {α}.
Mặt khác vì α khác véctơ không nên hệ {α} là hệ véctơ độc lập tuyến tính. Vậy dim
R
+
= 1 và cơ sở của R
+
là hệ gồm 1 véctơ {α} với α là số thực dương, khác 1.
12. Cho V =

a −b

. Vậy {A
1
, A
2
} là
1 hệ sinh của V .
Mặt khác, với mọi a, b ∈ R ta có
a.A
1
+ b.A
2
= 0 ⇔ a.A
1
+ b.A
2
=

0 0
0 0

⇔

a −b
b a

=

0 0
0 0
