ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
§8. Giải bài tập về ma trận nghịch đảo
Phiên bản đã chỉnh sửa
PGS TS Mỵ Vinh Quang
Ngày 29 tháng 12 năm 2004
Bài 21. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A =



1 0 3
2 1 1
3 2 2



Giải
Cách 1. Sử dụng phương pháp định thức
Ta có: det A = 2 + 12 − 9 − 2 = 3
A
11
=





1 1
2 2






= −3
A
12
= −





2 1
3 2





= −1 A
22
=





1 3
3 2







= 1 A
23
= −





1 0
3 2





= −2 A
33
=





1 0
2 1








1 0 0
0 1 0
0 0 1



d
2
→−2d
1
+d
2
−−−−−−−→
d
3
→−3d
1
+d
3



1 0 3






1 0 0
−2 1 0
1 −2 1



d
3
=
1
3
d
3
−−−−→



1 0 3
0 1 −5
0 0 1






−
1
3
−
7
3
5
3
1
3
−
2
3
1
3



Vậy
A
−1
=



0 2 −1
−
1
3
−

=





1 3
2 1





= −5 A
21
= −





3 2
2 1





= 1 A
31

22
=





1 2
3 1





= −5 A
32
= −





1 2
2 3





= 1

= 7 A
33
=





1 3
2 1





= −5
Vậy
A
−1
=
1
18



−5 1 7
7 −5 1
1 7 −5








−x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= y
1
(1)
x
1
− x
2
+ x
3
+ x
4
= y
2
(2)
x
1
+ x

(y
1
+ y
2
+ y
3
+ y
4
) (∗)
(∗) − (1) =⇒ x
1
=
1
4
(−y
1
+ y
2
+ y
3
+ y
4
)
(∗) − (2) =⇒ x
2
=
1
4
(y
1

+ y
3
− y
4
)
Vậy
A
−1
=
1
4






−1 1 1 1
1 −1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1






Bài 24. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A =


2
+ x
3
+ x
4
= y
1
(1)
−x
1
+ x
3
+ x
4
= y
2
(2)
−x
1
− x
2
+ x
4
= y
3
(3)
−x
1
− x
2

(∗) − (2) =⇒ x
2
= y
1
− y
3
+ y
4
(4) =⇒ x
3
= −x
1
− x
2
− y
4
= −y
1
+ y
2
− y
4
(3) =⇒ x
4
= x
1
+ x
2
+ y
3








1 1 1 · · · 1
0 1 1 · · · 1
0 0 1 · · · 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · 1





+ · · · + x
n
= y
1
(1)
x
2
+ · · · + x
n
= y
2
(2)
.
.
.
x
n−1
+ x
n
= y
n−1
(n − 1)
x
n
= y
n
(n)
(1) − (2) =⇒ x
1
= y






1 −1 0 0 · · · 0 0
0 1 −1 0 · · · 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0
0 0 0 0 · · · 1 −1
0 0 0 0 · · · 0 1






.
.
.
.
1 1 1 · · · 1 + a









Giải
Sử dụng phương pháp 3.
Xét hệ











(1 + a)x
1

n
(n)
Lấy (1) + (2) + · · · + (n), ta có
(n + a)(x
1
+ x
2
+ · · · + x
n
) = y
1
+ y
2
+ · · · + y
n
1. Nếu a = −n, ta có thể chọn tham số y
1
, y
2
, . . . , y
n
thỏa y
1
+ · · · + y
n
= 0. Khi đó hệ vô
nghiệm và do đó ma trận A không khả nghịch.
2. Nếu a = −n, khi đó ta có
x
1

để phương trình trên vô nghiệm.
Do đó hệ vô nghiệm và ma trận A không khả nghịch.
(b) Nếu a = 0, ta có
x
1
=
1
a(n + a)
((n + a − 1)y
1
− y
2
− · · · − y
n
)
(2) − (∗) =⇒ x
2
=
1
a(n + a)
(y
1
− (n + a − 1)y
2
− y
3
− · · · − y
n
)
.


n + a − 1 −1 −1 · · · −1
−1 n + a − 1 −1 · · · −1
−1 −1 n + a − 1 · · · −1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−1 −1 −1 · · · n + a − 1









n×n