Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
64
Chương 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CƠ HỌC
CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
A. VẬT RẮN ĐÁN HỒI - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH:
I. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke:
Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính dịch chuyển u
i
và gradient dịch chuyển được giả
sựí đủ nhỏ để cho không có sựü khác biệt nhau về tenxơ biến dạng giữa mô tả theo
Lagrange và mô tả theo Euler. Ten xơ biến dạng tuyến tính được cho bởi:
()
i,jj,i
i
j
j
i
i
j
j
i
ijij
uu
2
1
x
u
x
u
2
1

∂
∂
∂
∂
ε
Nếu quá trình biến dạng xảy ra trong điều kiện đoạn nhiệt và đẳng nhiệt, thì phương
trình cơ bản cho vật thể đàn hồi tuyến tính liên hệ giữa ten xơ biến dạng và tenxơ
ứng suất có dạng.
kmijkmij
C
εσ
= :biểu thị định luật Hooke tổng quát. [5.21]
Trong đó tenxơ hằng số đàn hồi
ijkm
C có 81 thành phần. Vì ten xơ ứng suất và ten
xơ biến dạng đều đối xứng do đó hằng số đàn hồi
ijkm
C chỉ còn lại 36 thành phần
phân biệt. Vậy nhằm mục đích biểu diển định luật Hooke cho 36 thành phần khác
nhau nầy ta thay hệ thống hai chỉ số (với khoảng cuả mổi chỉ số là 3) của tenxơ ứng
suất và tenxơ biến dạng thành hệ thống 1 chỉ số, với khoảng của chỉ số là 6. Theo
các ký hiệu sau :
σ
11
= σ
1
σ
22
= σ
2

ε
33
= ε
3
2ε
23
= 2ε
32
= ε
4
2ε
13
= 2ε
31
= ε
5
2ε
21
= 2ε
12
= ε
6
Định luật Hooke có thể được viết:
MKMK
C
ε
σ
= (K, M: 1, 2, 3, 4, 5, 6).[5.22]
Trong đó C
KM

CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
C [5.23]
II. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi:
1.Phương trình năng lượng biến dạng:
Theo định lý năng lượng ở chương 4 ta có:
∫∫∫∫∫∫
−++=+
∧
•
S
ii
VV
ii
S
)n(
ii
VV
ii
dSnCZdVdVbvdStvdVudV
2
vv
dt
d
ρρρρ
Rút gọn ta được:

()
i,iii
j,
jii
2
C
1
Zbvv
1
u
2
v
dt
d
ρ
σ
ρ
−++=








+
()
i,iii
j,

du
ρ
σ
ρ
−+=
Hay
i,iijji
C
1
ZD
1
dt
du
ρ
σ
ρ
−+= [5.24]
Nếu ảnh hưởng của nhiệt không đáng kể, ta có phương trình cân bằng năng lượng:
ij
ijijji
1
D
1
dt
du
•
==
εσ
ρ
σ

ij
ij
1u
σ
ρ∂ε
∂
=
Đặt u
*
=
ρ
u , ta có:
ij
*
ij
u
∂ε
∂
σ
= [5.27]
(u* là năng lượng biến dạng trên đơn vị thể tích)
Dạng đơn giản nhất của hàm năng lượng biến dạng để dẫn tới quan hệ biến dạng và
ứng suất là tuyến tính là:
kmijijkm
*
C
2
1
u
εε

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
66
Chỉ còn lại 2 hằng số độc lập
λ
và
µ
gọi là hằng số Lamê.
[]
()
()
()




















232
σ
µ
σδ
µλµ
λ
ε
+
+
−
= [5.33]
Đối với trạng thái ứng suất đơn trục đơn giản theo một phương, giả sử theo hướng
x
1
. Hằng số kỹ thuật E gọi là mô đun đàn hồi Young và hệ số Poisson
ν
được đưa
vào cho môi trường đẳng hướng thay cho các hằng số đàn hồi, ta có:
Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng cùng phương như sau:
1111
E
εσ
= [5.34]
và quan hệ giữa biến dạng theo phương x
1
với biến dạng theo 2 phương vuông góc
còn lại:
113322
νεεε
−== [5.35]

µλ
µ
+
+
= và
()
µλ
λ
ν
+
=
2
[5.37]
Các công thức xác định ứng suất và biến dạng lúc này trở thành:






−
+
+
=
kkijijij
211
E
εδ
ν
ν

)23(
K
µλ
+
= [5.40]
Đối với trạng thái thuần ứng suất cắt, mô đun cắt G là quan hệ giữa các thành phần
ứng suất tiếp và biến dạng trượt.
()
ν
µ
+
==
12
E
G [5.41]
III. Bài toán Tĩnh đàn hồi và Động lực đàn hồi:
1. Bài toán Tĩnh đàn hồi:
Đối với vật thể đồng chất đẳng hướng dựa vào các phương trình sau đây:
a. Phương trình cân bằng:
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
67
0b
ij,ji
=+
ρσ
b. Định luật Hooke:
ijkkijij
2
εµελδσ
+=

ρρσ
=+
Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên được xác định trước. Phương trình động lực
đàn hồi có dạng:
()
iiji,jjj,i
ubuu
&&
ρρµλµ
=+++ [5.43]
Nghiệm của bài toán có dạng
()
t,xuu
ii
r
= phải thỏa các điều kiện ban đầu của
chuyển động:
()
0,xuu
ii
r
= và )0,x(uu
ii
r
&&
= [5.44]
và điều kiện biên dưới dạng chuyển vị:
()
t,xgu
ii

i
)2(
ij
u,
σ
đặc
trưng cho 1 nghiệm của hệ phương trình (a), (b), (c) với lực khối là b
i
(
2
)
thì:



+=
+=
)2(
i
)1(
ii
)2(
ij
)1(
ijij
uuu
σσσ
của hệ phương trình đối với lực khối
)2(
i

231333
,,
σσσ
được lấy = 0 ở mọi nơi, các
thành phần còn lại có giá trị là các hàm số của
x
1
, x
2
mà thôi.
)2,1,(;)x,x(
21
==
βασσ
αβαβ
[5.47]
Tương ứng, các phương trình cơ bản cho bài
toán ứng suất phẳng là:
a. 0b
,
=+
αβαβ
ρσ
[5.48]
b.
γγαβαβαβ
σδ
ν
σ
ν





∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
2
2
1
2
2
1
1
1
,
x
u
x
u
x
u
x
u





=
33
2212
1211
00
0
0
ε
εε
εε
ε
αβ
Do dạng đặc biệt của ten xơ biến dạng trong trường hợp ứng suất phẳng, sáu
phương trình tương thích (chương 3) có thể giãm còn 1 phương trình với độ chính
xác hợp lý cho bản rất mỏng:
12,1211,2222,11
2
εεε
=+ [5.51]
Theo thành phần chuyển vị u
α

, nếu kết hợp các phương trình cơ bản lại ta có
phương trình chủ đạo như sau:
0bu
)1(2