HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
TOÁN KINH T
(Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b

HÀ NI - 2007
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG

cu phân tích kinh t nói chung và hc tp các môn chuyên ngành Qun tr kinh doanh.  cui
mi chng, sau phn khái quát và tóm tt các vn đ c bn, ch yu ca lý thuyt, các tác gi

đa ra các bài tp mu và phân tích cách gii đ ngi hc có th t gii đc nhng bài toán liên
quan đn lý lun đã hc. Phn bài tp cui mi chng cng s giúp ngi hc t nghiên cu, vn
dng các lý lun đã hc vào phân tích, lý gii các ni dung thc tin liên quan.
Mc dù các tác gi đã đu t nghiên cu chn lc biên son nghiêm túc đ đáp ng yêu c
u
ging dy và hc tp ca môn hc, nhng chc tp sách s không tránh khi nhng thiu sót nht
đnh. Các tác gi rt mong nhn đc s góp ý ca bn bè đng nghip, bn đc và các bn sinh
viên đ ln xut bn sau đc hoàn thin hn.

CÁC TÁC GI

Chng I: Mt s kin thc m đu 3
CHNG I: MT S KIN THC M U
1.1. I TNG NGHIÊN CU CA MÔN HC
1.1.1. Tng quan v ti u hoá.
Trong hot đng thc tin, nht là trong quá trình qun lý, điu khin h thng kinh t - xã
hi, chúng ta luôn mong mun đt đc kt qu tt nht theo các tiêu chun nào đó. Tt c nhng
mong mun đó thng là li gii ca nhng bài toán ti u nào đó. Mi vn đ khác nhau ca
thc t dn đn các bài toán ti u khác nhau.  gii các bài toán đó, m
t lot các lý thuyt toán
hc ra đi đ đt c s lý lun, đ đa ra các gii pháp tìm li gii, chng minh tính hi t, tính
kh thi ca các bài toán thc t v.v. T đó hình thành mt lp các phng pháp toán hc giúp ta
tìm ra li gii tt nht cho các bài toán thc t, gi là các phng pháp ti u hóa. Lp các
phng pháp ti u hóa bao gm nhiu lý thuyt toán hc khác nhau, tiêu biu là: Qui hoch toán

toán
hc

Lý
thuyt
đ th

Lý
thuyt
trò chi

Mô
hình
toán
kinh t
Mô
hình
phc
v đám
đông
Mô
hình
qun lý
d tr
..... .....
.....
1
2 3
Quy hoch toán hc
Quy

Vi các điu kin: g
i
(x) ≤ (=, ≥ ) b
i
(i =
m,1
) (1.2)
x
∈ X. ⊂ IR
n
. (1.3)
Hàm f (x) cho  (1 -1) gi là hàm mc tiêu.
Các hàm g
i
(x) (i =
m,1
) gi là hàm ràng buc.
Tp hp D = {x
∈ X | g
i
(x) ≤ (=, ≥) b
i
, i =
m,1 } (1.4)
Gi là min ràng buc chp nhn đc.
- Mi mt bt đng thc, đng thc trong (1.2) gi là mt ràng buc ca bài toán (1.1) -
(1.2) - (1.3)
- im x = (x
1
, x

Lý thuyt trò chi
Bài toán
la chn
quyt
đnh
Bài toán
trò chi
chin
lc
Bài toán
trò chi
vi phân
.....
3
Chng I: Mt s kin thc m đu 5
c - Nu bài toán (1.1) ÷ (1.3) đc xét trong quá trình nhiu giai đon hoc trong quá trình
thay đi theo thi gian thì gi là Qui hoch đng.
d - Nu bài toán (1.1)
÷ (1.3) mà hàm mc tiêu f(x) hoc có ít nht mt trong các hàm g
i

(x), (i =
m,1 ) là phi tuyn thì gi là Qui hoch phi tuyn, trng hp riêng là Qui hoch li hoc
Qui hoch lõm.
Qui hoch li (lõm) là Qui hoch toán hc mà hàm mc tiêu f(x) là li (lõm) trên tp hp
các ràng buc D li (lõm).
e - Nu bài toán (1.1)

e. Mô hình phc v đám đông.
g. Mô hình qun lý d tr.
1.2. C S GII TÍCH LI.
1.2.1. Không gian tuyn tính n chiu (R
n
).
a. Véc t n chiu.
Mt h thng đc sp , gm n s thc, dng x = (x
1
x
2
, ..., x
n
), gi là mt véc t n chiu.
Thí d: x = (4, 0, 5, 10, 15) là mt véc t 5 chiu.
Các s x
i
, i =
n,1 , gi là thành phn th i ca véc t x.
Hai véc t x =(x
1
, x
2
, ..., x
n
) và (y
1
, y
2
, ..., y

n
) và α ∈ R
1
.
Ta đnh ngha phép cng hai véc t x và y là véc t x+y, đc xác đnh nh sau:
x+y= (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, ..., x
n
+ y
n
) (1.5)
Phép nhân véc t x vi mt s α ∈ R
1
là véc t αx, đc xác đnh nh sau:
Chng I: Mt s kin thc m đu 6
αx = (αx
1,
αx
2,
..., αx

- Mi véc t n chiu ta luôn có: 1.x = x.
b. Không gian tuyn tính n chiu Rn.
Tp hp tt c các véc t n chiu, trong đó xác lp phép toán cng Véc t và nhân véc t
vi mt s thc nh (1.5) và (1.6) và tho mãn 10 tính cht nêu trên, gi là mt không gian tuyn
tính n chiu. Ký hiu IR
n
.
1.2.2. Mt s tính cht đi vi véc t trong R
n
.
a. nh ngha.
Các véc t x
i
∈ R
n
, i =
m,1 , gi là đc lp tuyn tính nu
∑
=
m
i 1
α
i
x
i
=
θ
⇔ α
i
= 0, ∀i = m,1 .

x
i
, vi ít nht mt α
i

≠
0, 1≤ i≤ m, thì x gi
là t hp tuyn tính ca các véc t x
i
, (i =
m,1 ).
- Nu x =
∑
=
m
i 1
α
i
x
i
vi α
i
≥ 0, i =
m,1 , và
∑
=
m
i 1
α
i

n
, x = (x
1
, x
2
, ... x
n
) và y = (y
1
, y
2
, ...., y
n
) , ta gi tích vô
hng ca hai véc t x và y là mt s thc, ký hiu là <x, y>, đc xác đnh nh sau:

<x, y> =
∑
=
m
i 1
x
i
y
i
.
-  dài ca Véc t x ∈ R
n
là s thc, ký hiu
x , đc xác đnh nh sau

, y ∈ R
n
.
(Tính phân phi đi vi phép cng).
b
3
, < >yx,
λ
=
λ
< x, y > , ∀λ ∈ R
1
, ∀ x, y ∈ R
n
.
b
4
> < x, x > ≥ 0 ∀x ∈ R
n
, du bng xy ra khi x =
θ
.
Vi mi ∀x, y ∈ R
n
, ta đnh ngha khong cách gia hai véc t x, y, ký hiu ρ (x, y) là s
thc, đc xác đnh nh sau:
yxyx −=),(
ρ
2
1

ρ(x
k
, x
o
) = 0. Khi đó ta
nói {x
k
} có gii hn là x
o
khi k →∞, và vit:
∞→k
lim x
k
= x
o
.
- Mt tp hp S = {x∈IR
n:
ρ(x, a) ≤ r, a∈ IR
n
, r ∈ IR
1
}, gi là mt hình cu tâm a, bán kính
r trong IR
n
.
- Hình cu S nói trên, to thành mt lân cn ca đim a, gi là r -lân cn ca a.
- Cho tp hp A ⊂ IR
n
, đim x∈ A đc gi là đim trong ca A nu ∃

k
}⊂ F ⊂ IR
n
, đu hi t
đn mt đim x
o
∈ F.
* Nhn xét. Mt tp hp cha mi đim biên ca nó là mt tp hp đóng.
b. Tp Compact.
- Tp hp C ⊂ IR
n
đc gi là tp hp Compct nu t mi dãy vô hn {x
k
}⊂ C, đu có
th trích ra mt dãy con {x
k
n} hi t đn mt phn t thuc C.
- Mt tp C là Compact khi và ch khi C đóng và gii ni.
- Tp Compact M ca tp đóng C cng đóng trong C.
- Tp con M đóng ⊂ C Compact cng là tp Compact.
- Hàm f(x) liên tc trên tp Compact C s đt giá tr ln nht, nh nht trên C.
1.2.5. ng thng, đon thng, siêu phng.
a. nh ngha đng thng và đon thng trong IR
n
.
- Cho hai đim a, b ∈ |R
n
. Ta gi đng thng qua a, b là tp hp các đim x ∈ IR
n
có

2
,.. x
n
> ∈ IR
n
, tho
mãn phng trình bc nht:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ... + a
n
x
n
= α.
- Mt bt phng trình bc nht dng
n
i 1=
Σ
a
i
x
i
≤ α hoc
n

n
, các đa giác trong |R
n
, các khong <a, b>,
đon [a, b] trong IR
1
... là các tp hp li. Tp A: li Tp B và C: không li.
b. nh lý 11.
Giao ca hai tp hp li là tp hp li.
Chng minh. Ly hai đim bt k x, y ∈ A
∩

B ⇒ x, y ∈ A và x, y ∈ B
Vì A li nên [x, y] ⊂ A.
B li nên [x, y] ⊂ B. => [x, y] ⊂ A
∩

B. Vy A
∩

B li.

2

--------------------------------------
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+........+ a
mn
x
n
≤ b
m
,

là mt tp hp li, gi là khúc li đa din, trong |R
n
.
Chú ý . Mt khúc li đa din gii ni gi là đa din li, ký hiu D. Giao ca các tp hp li
cha D ta gi là bao li ca D. Ký hiu [D].
c. im cc biên.
nh ca đa din li hoc khúc li gi là đim cc biên.
Rõ ràng đim cc biên x không th là đim trong ca đon thng ni hai đi
m nào đó
thuc D, ngha là không th tn ti hai đim x
1

B
x
y
C
x
y
A
Chng I: Mt s kin thc m đu 10
f(
21
)1( xx
λλ
−+ ) ≤ λ f(x
1
) + (1 - λ) f(x
2
) (1.7)
Nu trong (1.7) xy ra du
≤ thì hàm f(x) gi là hàm li cht.
Nu trong (1.7) xy ra du
≤ thì hàm f(x) gi là hàm lõm, xy ra du > thì hàm f(x) gi là
hàm lõm cht.

f(x)
f(x
2
)

ε

ca x* sao cho f(x) ≤ f(x), ∀x ∈ B
ε
.
- Ta nói hàm f (x) xác đnh trên tp li C, đt cc đi đa phng ti x*∈C, nu
∃ lân cn
B
ε
ca x* sao cho f(x) ≥ f(x), ∀x ∈ B
ε
.
b. nh lý 1.2.
Mi đim cc tr đa phng ca hàm li trên tp hp li đu là đim cc tr tuyt đi.
Chng minh. Gi s x* là cc tiu đa phng nhng không cc tiu tuyt đi trên tp C
li, nh vy ∃ x
1
∈ C sao cho f (x*) ) f(x
1
). Xét t hp li ca hai đim x* và x
1
:
X = α x* + (1 - α) x
1
, 0 ≤ α ≤ 1.
Nu α = 0 thì x ≡ x
1
. Khi đó ∃ α
o
≤ (0, 1) sao cho x≤ B

) f (x*) +δ
1
f(x
1
).
((1-δ
1
) f (x*) +δ
1
f(x*) = f (x*), điu này mâu thun vi hàm f (x*) đt cc tiu đa
phng ti x*. T đó suy ra điu phi chng minh.
H qu 1.
Mi đim cc đi đa phng ca hàm lõm trên tp hp li đu là cc đi tuyt đi.
- Ta gi đo hàm theo hng z ca hàm f ti x là đi lng:
0
f(x z) f(x)
f(x,z) lim
λ→
+λ −
δ=
λ
, nu gii hn này tn ti.
Chng I: Mt s kin thc m đu 11
c - B đ 1.1.
Nu hàm f (x) là hàm li kh vi trên C li. Khi đó ∀x∈ C và vi mi z sao cho x+z ∈ C
thì δf (x, z) tn ti và nghim đúng bt đng thc và đng thc sau:
i) δf (x, z) ≤ f (x +z) - f (x).

δ
δ
δ
δ
δ
δ
)(
,...,
)(
,
)(
21
gi là građient ca hàm f(x) ti x,
z = (z
1
, z
2
... z
n
)
1.2.8. Mt s tiêu chun nhn bit hàm li.
Cho x, z ∈IR
n
, đt hàm s ϕ (λ) = f(x+λz),
∀
λ ∈[0, 1], (1.8)
nh lý 1.3.
Hàm f(x) là li trên IR
n
khi và ch khi hàm s ϕ (λ) là li vi λ

1
< Px, x >, trong đó P = (p
ij
)
nxn
là ma trân đi
xng cp nxn, là mt hàm li khi và ch khi ma trân P là xác đnh không âm.
Chú ý.  ma trn P là xác đnh không âm thì điu kin cn và đ là tt c các đnh thc
con chính ca ma trn này không âm, ngha là:
Δ
1
= a
11
≥ 0 ; Δ
2
=
2221
1211
aa
aa
≥ 0, ..., Δ
n
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
........


Cách sn xut
Loi sn phm
I II III
A ≥ 75
3 6 7
B ≥ 58
5 9 3
C ≥ 64
2 8 4
Chi phí (đn v tin) 2 4 3
Hãy lp k hoch sn xut sao cho chi phí nh nht mà vn đt đc các yêu cu đt ra.
Bài 3. Mt Công ty có ba xí nghip cùng loi: A, B, C có kh nng sn xut đc 3 loi
sn phm: I, II, III. Bit rng nu đu t mt đn v tin vào xí nghip A trong mt nm s sn
xut đc 1200 sn phm loi I, 800 sn phm loi II và 1050 sn phm lo
i III. u t vào xí
nghip B mt đn v tin, đc 1000 sn phm loi I, 740 sn phm loi II, 900 sn phm loi III.
u t vào xí nghip C mt đn v tin thì sn xut đc 1100 sn phm loi I, 600 sn phm loi
II, 1000 sn phm loi III. nh mc tiêu hao nguyên liu và lao đng ca mi xí nghip trong sn
xut đc cho  bng 3. Nguyên li
u, lao đng hàng nm Công ty có th cung cp cho sn xut ba
loi sn phm này là 390.000 KG và 200.000 gi công. Theo k hoch phi sn xut ít nht là
23.000 đn v sn phm loi I, 18.000 đn v sn phm loi II, và 21.000 đn v sn phm loi III.
Hãy tìm mt phng án đu t sao cho thu đc các sn phm theo k hoch mà vn đu t ít
nht.
Bng 3

nh mc hao phí ng. liu (Kg/sn phm) và lao đng (g/sn phm)
I II III


Loi
V
Loi
VI
A 0, 01 0, 01 0, 01 0, 03 0, 03 0, 03
B 0, 02 0, 05
C 0, 02 0, 05
D 0, 03 0, 08
Giá 1 sn phm (đ/v tin) 0, 40 0, 28 0, 32 0, 72 0, 64 0, 60

Bài 5. Mt máy bay vn ti quân s có trng ti M. Cn ch n loi thit b bng máy bay.
Trng lng loi bu kin i, (i =
n,1 ) là α
i
, có giá tr β
i
. Hãy tìm phng án ch mi loi thit b
bao nhiêu đn v lên máy bay đ trng lng tng cng không vt quá ti trng ca máy bay mà
đt đc tng giá tr ln nht ? (Bài toán Qui hoch nguyên).
Chng II: Quy hoch tuyn tính 14
CHNG II: QUY HOCH TUYN TÍNH
2.1. MT S BÀI TOÁN THC T DN TI MÔ HÌNH QUY HOCH
TUYN TÍNH
2.1.1. Bài toán lp k hoch sn xut.
Gi s mt Công ty sn xut n loi sn phm và phi s dng m loi nguyên liu khác nhau.
Gi x
j

n
j 1
c
j
x
j
→ max
vi các điu kin:

∑
=
n
j 1
a
ij
x
j

≤ b
i
, i = m,1 ,
x
j
≥ 0, j =
n,1
Bài toán trên là mt bài toán Qui hoch tuyn tính.
2.1.2. Bài toán vn ti.
Có m kho hàng cùng cha mt loi hàng hoá, A
i
, i =

, (i =
m,1 ) đn đim thu B
j
, vi
(j =
n,1 ), thì ta có th mô hình toán hc bài toán thc t nh sau:
Tìm véc t x= (x
1
, x
2
,..., x
n+m
) ∈ IR
nxm
,sao cho:
F(x) =
∑∑
==
n
j
m
i 11
c
ij
x
ij
→ min
vi các điu kin:
Chng II: Quy hoch tuyn tính



∑
=
n
j 1
b
j
=
∑
=
m
i 1
a
i
(cân bng thu và phát).
ây là mt dng ca bài toán Quy hoch tuyn tính.
2.1.3. Bài toán ngi bán hàng (Bài toán cái túi).
Mt ca hàng cn phi vn chuyn mt lng hàng trên mt chuyn nng không đc quá
b kg. Có n loi đ vt mà ca hàng cn phi vn chuyn đi bán, mi đ vt loi j, (j =
n,1 ), có
khi lng a
j
kg. Và có giá tr là c
j
. Hãy xác đnh xem trong mt chuyn hàng, ca hàng cn đa
lên phng tin vn chuyn các đ vt nào đ tng giá tr các đ vt thu đc là ln nht.
Nu ta ký hiu x
j
là s đ vt loi j s đa lên phng tin vn chuyn, ta có mô hình toán
hc bài toán nh sau:

x
j
≥ 0, j = n,1
x
j
- nguyên, j =
n,1
ây là bài toán Qui hoch nguyên.
2.1.4. Bài toán lp k hoch đu t vn cho sn xut.
Cn phi đu t vn vào m xí nghip đ sn xut ra n loi sn phm. Do trang b k thut -
công ngh và t chc sn xut khác nhau nên hiu qu ca vn đu t vào các xí nghip cng
khác nhau. Qua phân tích, ngi ta bit rng khi đu t mt đn v tin vào xí nghip th i, i =
m,1 , trong mt nm s sn xut ra đc b
ij
đn v sn phm loi j, j = n,1 . Tng s nguyên liu
và lao đng hàng nm có th cung cp là A và C (tính theo gi/công). Hãy xác đnh mt k hoch
đu t sao cho đm bo sn xut đc ít nht B
j
đn v sn phm loi j mà tng s vn đu t nh
nht, bit rng các đnh mc hao phí v nguyên liu và lao đng khi sn xut ra mt đn v sn
phm loi j  xí nghip i, i =
m,1 , tng ng là a
ij
và c
ij
, i = m,1 , j = n,1 .
Chng II: Quy hoch tuyn tính 16

i 1
∑
=
n
j 1
a
ij
b
ij
x
i
.
Tng t, ta suy ra tng s lao đng s dng trong k hoch sn xut là:
∑
=
m
i 1
∑
=
n
j 1
c
ij
b
ij
x
i

Tng s vn đu t, theo bài toán đt ra, là
∑

i 1
x
i
→ min
vi điu kin:

∑
=
m
i 1
∑
=
n
j 1
a
ij
b
ij
x
i
≤ A

∑
=
m
i 1
∑
=
n
j 1

2
...x
i
,...x
n
) ∈IR
n
.
Sao cho: f(x) =
n
j 1=
Σ
C
j
x
j
→ max (min) (2.1)
Tha mãn điu kin:
n
j 1=
Σ
a
ij
x
j
(≤, = ≥ ) b
i
( i=
m,1 ) (2.2)
x

j
→ max, ta có mô hình bài toán:
Tìm x = ( x
1
, x
2
, ..., x
j
,... x
n
) ∈IR
n

Sao cho:
f (x) =
n
j 1=
Σ
(- C
j
) x
j
→ max (2.4)
Tho mãn điu kin:
n
j 1=
Σ
a
ij
x

vi hàm mc tiêu
f (x) =
n
j 1=
Σ
(-c
j
). x
j
→ max , thì:

f (x) ≤ f (x
*
) ( ∀x∈D - tp các phng án )
⇔
n
j 1=
Σ
(-c
j
). x
j
≤
n
j 1=
Σ
( - c
j
).
*

j 1=
Σ
c
j

*
j
x
= -
n
j 1=
Σ
(-c
j
)
*
j
x
= -
f
max
( đpcm )
Nh vy mi bài toán (2.1) - (2.3) vi f(x) → min có th chuyn
f (x) → max.
2.2.2. Dng chun tc
a- Dng đy đ
Tìm x = (x
1
,.... , x
j

i
+...+a
1n
x
n
≤ b
1

a
21
x
1
+...+ a
21
x
i
+...+a
2n
x
n
≤ b
2

------------------------------------
a
i1
x
1
+...+ a
ii

b. Dng rút gn.
f(x) =
n
j 1=
Σ
c
i
x
i
→ max

n
j 1=
Σ
a
ii
x
i
≤ b
i
( i=
m,1 )
x
i
≥ 0 ( δ =
n,1 )
Tính cht ca hàm mc tiêu (2.7) và dng bt phng trình ca h ràng buc (2.8) xut phát
t ý ngha thc tin ca bài toán đt ra. Chng hn nh bài toán lp k hoch sn xut đ hiu qu
kinh t tng cng ln nht, khi phi hn ch chi tit nguyên liu s dng.
Ngc li, trong bài toán xác đnh vn đu t cho sn xut phi khai thác t

n,1 ) (2.12)

b. Dng ma trn:
Gi ma trn hàng, gm các phn t là h s các n trong hàm mc tiêu là C:
C = [ c
1
c
2
...c
n
]
Ma trn ct:
B =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
m
b
b
b
2
1
, x =

⎢
⎢
⎣
⎡
mnm
n
n
aa
aa
aa
......
...............
......
......
1
221
111

Khi đó bài toán (2.10) ÷ (2.12) có dng ma trn:
Tìm X sao cho: f(x) = C.X → max
A.X = B
X

≥ 0
c. Dng véc t:
Gi véc t:
c = ( c
1
, c
2

a
a
a
2
1
( j =
n,1 )
Véc t ct lp bi h s t do  (3.5):
B =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
m
b
b
b
...
2
1

i

Có th đa v ràng buc:
n
j 1=
Σ
( -a
ij
) . x
j
≤ - b
i
⇔
n
j 1=
Σ
a'
ij
x
j
≤ b'
i
bng cách nhn
2 v ca (2.7) vi (-1) ri đt a'
ij
= - a
ij
, b’
i
= -b

j 1=
Σ
a
ij
x
j
≤ b
in
j 1=
Σ
(- a
ij )
x
j
≤ - b
i

n
j 1=
Σ
a'
ij
x
j
≤ b'
i


x'
n + j
= max { 0 ; - x
j
}
2.3.4. Mt ràng buc bt đng thc:
n
j 1=
Σ
a
ij
x
j
≤ b
i
có th đa v ràng buc đng thc, bng cách đa vào bin ph (hoc là
bin bù) x
n + i
≥ 0:

n
j 1=
Σ
a
ij
x
j
+ x
n + i
= b

n
j 1=
Σ
a
ij
x
j
+ x
n + i
= b
i

n
j 1=
Σ
a
ij
x
j
≤ b
i
x
n + i
≥ 0

n
j 1=
Σ
a
ij

2
, .... α
n
) nghim đúng bt phng trình:
n
j 1=
Σ
a
ij
.x
j

)(≥
≤
b
i
thì véc
t
X = (α
1
, α
2
, ... , α
n
, α
n + 1
) s nghim đúng phng trình:n

+ x
2
− 3x
4
+ 2x
6
= 5
2x
2
− 3x
3
+ x
4
+ x
5
≤ 4
3x
1
− x
2
+ 2x
3
− 2x
5
≥ 3
x
j
≥ 0 ( j = 1, 2, 5, 6)
Trc ht đa h ràng buc dng đng thc, bng cách đa vào 2 bin ph. x
7

+ x
7
= 4
3x
1
− x
2
+ 2x
3
− 2x
5
= 3
x
j
≥ 0 ( j: 1, 2, 5, 6, 7, 8)
Xét ràng buc du các n, ta thy x
3
, x
4
không ràng buc v du (không n), nên đt:
x
3
= x'
3
− x'
9
Vi x'
3
≥ 0 , x'
9

− x'
10
) + 2x
6
= 5
2x
2
− 3 (x'
3
−x'
9
) + x
4
+ x
5
+ x
7
= 4
3x
1
− x
2
+ 2 (x'
3
− x'
9
) − 2x
5
−x
8

4
+ 5x
5
= 22 (a)
x
1
+ x
2
+ x
3
+ 2x
4
+ 4x
5
= 25 (b)
x
1
+x
3
+x
5
= 9 (c)
x
j
≥ 0 ( j =
5,1 )
Áp dng các phép bin đi đi s h ràng buc:
Tr tng v ca (b) cho (a), ta có: x
3
+ x

4
+ 2x
5
= 6
x
1
+ x
2
+ x
3
+ 2x
4
+ 4x
5
= 25 x
2
+ 2x
4
+3x
5
= 16
x
1
+ x
3
+ x
5
= 9 x
3
+ x

Bài toán tng đng vi: f(x) = 4x
4
+ 2x
5
+ 28 → max

- x
4
+ 2x
5
≤ 6
2x
4
+ 3x
5
≤ 16
x
4
+ x
5
≤ 3
x
j
≥ 0 ( j = 4, 5)
ây là bài toán QHTT dng chun tc, đc rút gn hn.
Nh vy, mt bài toán QHTT  dng chun, bng phng pháp dùng bin ph, ta luôn đa
đc v bài toán  dng chính tc. i vi bài toán QHTT dng chính tc không gim tính tng
quát, ta gi thit rng:
i) H ràng buc (2.11) gm m phng trình đc lp:
Gi thit này luôn đc thc hin, vì nu ngc li thì trong h có m
23
Gi thit này đa ra nhm đm bo D ≠∅ ca bài toán QHTT, vì ngc li m ≥ n, thì h
ràng buc (2.11) luôn đa v h gm n, phng trình, n n tng đng s có nghim duy nht
(h tng thích) hoc h vô nghim (h không tng thích), trong c 2 trng hp đó, vic gii
bài toán là vô ngha.
Vy mi bài toán QHTT luôn đa v dng chính tc:
f (x) =
n
j 1=
Σ
c
j
x
j
→ max

n
j 1=
Σ
a
ij
.x
j
= b
i
(i =
m,1 )


1
, x
2
, ... , x
k
là

nhng phng
án cc biên ti u, thì mi t hp li ca chúng cng là phng án ti u.
nh lý 6.  phng án x = (x
1
, x
2
,... ,x
n
) ca bài toán QHTT chíng tc (2.10) ÷ (2.12)
là phng án cc biên, điu kin cn và đ là các véc t ct A
j
ca ma trn h s trong (2.12) ng
vi các thành phn x
j
> 0 lp thành h đc lp tuyn tính.
* Ta phân tích ý ngha đnh lý.
Xét bài toán (2.10) ÷ (2.12) dng véc t: