KHỐI ĐA DIỆN

CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1. sin =
α
AB
BC
(ĐỐI chia
HUYỀN) 2. cosα =
AC
BC
(KỀ
chia
HUYỀN)
3. tan = α
AB
AC
(ĐỐI
chia
KỀ) 4. cotα =
AC
AB
(KỀ
chia
ĐỐI)
A
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. BC
2

2
= a
2
+ c
2
– 2accosB 3. c
2
= a
2
+ b
2
– 2abcosC
IV. ĐỊNH LÍ SIN

abc
2R
sin A sin B sin C
===

V. ĐỊNH LÍ TALET

MN // BC
N
M
CB
A
a)
AM AN MN
AB AC BC
==

ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của
cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
Trang 1
a) S =
1
2
a
2
(2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a
25. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30
o
hoặc 60
o
60
o
30
o
C
B
A
b) BC = 2AB c) AC =
a3
2
d) S =

b) Đường chéo bằng a
2

10. Hình bình hành:
S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường tròn:
a) C = 2 R (R: bán kính đường tròn) π
b) S = π R
2
(R: bán kính đường tròn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến:
G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là
trọng tâm
b) * BG =
2
3
BN; * BG = 2GN; * GN =
1
3
BN
G
P
N
M
C
B
A


a) Có đáy là đa giác đều

b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
c) Chân đường cao trùng với
tâm
của đa giác đáy
d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp(
α
):
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(α ) Tức là: d
(α )
da;db
ab
a,b
⊥⊥
⎧
⎪
∩
⎨
⎪
⊂α
⎩
⇒
⊥
b)
⇒
d (α )
() ()
() () a

ϕ

ϕ
O
H
A
d'
d
α
5. Góc giữa 2 mp( ) và mp(
β
):
α
Nếu
() () AB
FM AB;EM AB
EM ( ),FM ( )
α∩β=
⎧
⎪
⊥⊥
⎨
⎪
⊂α ⊂β
⎩
thì góc giữa ( ) và (α
β

V =
1
Bh
3
(diện tích đáy là đa giác)
3. Tỉ số thể tích của khối chóp:

S.A B C
S.ABC
VSASBS
..
VSASBS
′′′
C
C
′ ′′
=

Trang 3
4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay:
S
xq
= Rlπ (R: bk đường tròn; l: đường
sinh)
5. Thể tích của khối nón tròn xoay:
V =
1
Bh
3
(diện tích đáy là đường tròn)

D
C

B
A

Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
HD: * Đáy là BCD đều cạnh a. H là trọng tâm của đáy
Δ
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
* Tính: V =
1
3
Bh =
1
3
S
BCD
. AH * Tính: S
BCD
=
2
3
4
a
(
Δ
BCD
đều cạnh a)
* Tính AH: Trong ABH tại H :

a
H
S

D
C
B
A
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
* Tính: V =
1
3
Bh =
1
3
S
ABCD
. SH * Tính: S
ABCD
= a
2
* Tính AH: Trong SAH tại H:
V
Δ
SH
2
= SA
2
– AH
2

a) Tính thể tích của khối lăng trụ
b) Tính thể tích khối tứ diện A
’
BB
’
C
HD: a) * Đáy A
’
B
’
C
’
là
Δ
đều cạnh a . AA
’
là đường cao
* Tất cả các cạnh đều bằng a
* = Bh = .AA
ABC.A B C
V
′′′
ABC
S
′′′
’

* Tính: =
ABC
S

3
ABC.A B C
V
′ ′′
ĐS:
3
3
12
a

( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)
C'

B'
A'

C

B
A
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a,
C
= 60
∧

’
A
’
)
• BA AC (vì
Δ
ABC vuông tại A)
⊥
• BA AA
⊥
’
(ABC.A
’
B
’
C
’
lăng trụ đứng)
+ = = 30
ϕ
BC A
∧
′
0
* Tính AC
’
: Trong
V
Δ
BAC

=
0
30
AB
tan
= AB
3

* Tính AB: Trong ABC tại A, ta có: tan60
V
Δ
0
=
AB
AC

AB = AC. tan60
⇒
0
= a
3
(vì AC = a). ĐS: AC
’
= 3a
b) = Bh = .CC
ABC.A B C
V
′′′
ABC
S

= 8a
2
CC
⇒
’
=
22a

ĐS: = a
ABC.A B C
V
′′′
3
6
Trang 5
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A
’


ABC.A B C
V
′′′
ABC
S
’
H
* Tính: =
ABC
S
2
3
4
a
(Vì ABC đều cạnh a)
Δ
* Tính A
’
H: Trong
V
Δ
AA
’
H tại H, ta có:
tan60
0
=
AH
AH
′

= 3a.
a

60
°
N

H

C'
B'

A'

C
B

A
Tính thể tích của lăng trụ
HD: * Đường cao lăng trụ là AA
’
= 3a
* Tính: = Bh = .AA
ABC.A B C
V
′′′
ABC
S
’
2a

ĐS: =
ABC.A B C
V
′′′
3
33
2
a

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A
’
B
’
C
’
D
’
có đáy là hình thoi cạnh a, góc
A
∧
= 60
0
. Chân đường
vuông góc hạ từ
B
’
xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB
’
= a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy

A'
D C
* Tính
ϕ
=
BB
: Trong BB
O
∧
′
V
Δ
’
O tại O, ta có:
Trang 6