Một số bi toán về tỷ số thể tích
Bi 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD l hình chữ nhật có AB=a; AD=b. Cạnh
SA=2a của hình chóp vuông góc với đáy. M l một điểm nằm trên cạnh SA với AM=x
(0x2a).
1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện l hình gì? Tính diện tích thiết
diện ấy. Tìm x để thiết diện ấy có diện tích lớn nhất.
2. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng
nhau.

Hd:
1. Thiết diện l hình thang vuông
MNCB, vuông tại B v M.
1
()
2
MNCB
SMNCB=+MB

* BM
2
=BA
2
+AM
2
BM=
22
ax+

* SMN đồng dạng SAD,

.(2)

2. Xét hm số
22
() (4 )
4
b
f xaxa
a
=+x
(0x2a)
22
22
24
'( )
4
bxaxa
fx
a
ax

+
=

+


f'(x)=0
1
(1 )
2
1

22
ab

ab++
f(
1
(1 )
2
a
)=
2
11 1
.(3 ) 1 (1 ) 0,96
4
22
ab ab++
[]
2
0;2
11 1
() . .(3 )1 (1 )
4
22
a
Max f x ab=++
khi
1

.. 2
SMBC
SABC
V
SM SB SC SM a x
VSASBSCSAa

===

V
SABC
=
2
11
.( ) .2
36
2
V
SAdt ABC a b==

2
22 (2)
..
222 3 6
SMBC
axV axab axab
aa

== =V


2
(2 ) (2 ) .
.
4312
ax ab axb
a

=

V
1
= V
SMNCB
=
2
(2 ) (2 )
612
a x ab a x b
+

Ycbt V
1
=
2
23
Vab
=

22
(2 ) (2 )

C
1
. Các mặt phẳng (ABC
1
) v
(A
1
B
1
C) chia lăng trụ thnh 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó.
Hd:
Gọi V
1
=
V
; V
1
.CMNC
1
=
V

11
.CMNBA
1
V
3
=
V
; V

43 12 3 12 4
VV VV
VV

V== ==
111111
32
3
4123
4
5
12
C ABC CMNC CA B C CMNC
VVVVVV
V
V
V
VVVVV
== =
=
= =

AB
C
M
N
B'
C'
A'
Vậy V

C
B
M
N
K
O
H
Vậy thiết diện cần tìm l tứ giác MNHK.
Ta có MN// OK // SA MN (ABCD); OK (ABCD)
S
td
=S
ht MKON
+ S
KOH
=
11
()...
22
MNKOON OKOH++

MN=BN=x; KO=SA/2; NH=
2
22 22 2
(2 )
2
a
IN IH x a a x ax+= +=+

Std=

SOECH
aa
VOKdtOECH

==



2
3
.
1
.( ) .
22 2 16
KOE MNB
aa a
VONdtMNB

==


=

33 3
12
51
24 16 48 48
aa a a
VVV=+= ==
3

Hd:
Đặt
(0 1)
SM
xx
SA
=<<

S
A
DC
B
N
M
Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD l V

2
.
.
.
.
..
(1)
..
..
(2)
..
SMNC
SABC
SMCD

SADC SABCD SABC
V
4
VV== =
VV

Ta có
2
3
.; .
44
SMNC SNCD
VV
Vx

Vx==
V
1
=V
SMNC
+V
SNCD
=
2
(3
4
V
)x x+

2

317
2
x
+
=

Bi 5: Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (
C
) đờng kính AB=2R.S l điểm nằm
trên đờng thẳng vuông góc với mp(P) tại A. Đặt SA=h. Mặt phẳng (Q) qua A v vuông
góc với SB tại K, C l điểm trên (
C
), SC cắt mp(Q) tại H.
Đặt

0
2
BAC



=<


<

1. Tính thể tích của tứ diện SAHK theo R, h v .
2. Chứng minh rằng thể tích đó đạt giá trị lớn nhất tại giá trị
0
của sao cho

(). .cos.sin.
36
Rh
dt ABC SA AB SA
sin2
3


==

*
25
22222
.sin2
3( 4 )( 4 cos )
SAHK
Rh
V
hRhR


=
++

2. Đặt P=
2222
sin 2
(22coshRR
)


hR






=

++
=
= <
+

2 tù >
4
B
C
H
K
KL: Vậy
0
=
4