Hình giải tích_HHKg
Câu 1(ĐH AN GIANG_00D)
Cho hình chóp tam giác OABC đỉnh O, dáy l tam giác đều ABC, AB=a, góc của
các cạnh bên OA, OB, OC với mặt phẳng đáy (ABC) bằng nhau v bằng .
o
45
1. CMR : OA=OB=OC.
2. Hãy tính thể tích của hình chóp theo a.
Câu 2(ĐH AN GIANG_01B)
Cho hình lập phơng có các cạnh bên v độ
di cạch AB=a. Cho các điểm M, N trên cạnh sao cho . Xét mặt
cầu (K) đi qua bốn điểm: A, ,M v N.
1111
ABCD.A B C D
111
AA ,BB ,CC ,DD
1
1
CC
1
CM MN NC==
1
B
1. CMR các đỉnh v B thuộc mặt cầu (K).
1
A
2. Hãy tính độ di của bán kính mặt cầu (K) theo a.
Câu 3(ĐH AN GIANG_01B)
Cho hình lập phơng ABCD.ABCD có độ di cạnh bằng 1. Các cạnh bên
AA, BB, CC ,DD. Đặt hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0),
A(0;0;1).

Câu 5(ĐH AN NINH_00A)
Cho góc tam diện Oxyz v
1
8
đờng tròn đơn vị
222
xyz1+ +=
x0,y0,z0
,
trong góc tam diện ấy. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với
1
8
mặt cầu ấy tại M, cắt Ox, Oy, Oz
lần lợt tại A, B, C sao cho OA=a>0, OB=b>0, OC=c>0. Chứng minh rằng:
1.
222
111
1
abc
++=
.
2. . Tìm vị trí điểm M để đạt dấu đẳng thức.
222
(1 a )(1 b )(1 c ) 64+++
Câu 5(ĐH AN NINH_01A)
Cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz. Trên các nửa trục toạ độ Ox, Oy, Oz lấy
các điểm tơng ứng A(2a;0;0), B(0;2b;0), C(0;0;c) với a>0, b>0, c>0.
1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo a, b, c.
2. Tính thể tích khối đa diện OABE trong đó E l chân đờng cao AE trong tam
giác ABC.

= +=


=

1. Tìm toạ độ các điểm thuộc (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó tới (P) bằng 1.
2. Gọi K l điểm đối xứng với I(2;-1;3) qua đờng thẳng (d). Hãy xác định toạ độ
K.
Câu 9(ĐH BK HN_99A)
Trong không gian với hệ toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho đờng thẳng (d) v
mặt phẳng (P) có phơng trình:

x1 y1 z3
(d):
12
(P):2x 2y z 3 0
+
==
2

+=

1. Tìm toạ độ giao điểm A của (d) v (P). Tính góc giữa (d) v (P).
2. Viết phơng trình hình chiếu vuông góc (d) của (d) trên mặt phẳng (P). lấy
điểm B nằm trên (d) sao cho AB=a, với a l số dơng cho trớc. Xét tỉ số
AB AM
BM
+
với điểm M di động trên mặt phẳng (P). CMR tồn tại một vị trí của M
để tỉ số đó đạt giá trị lớn nhất v tìm giá trị lớn nhất ấy.

3x y z 3 0
2x y 1 0
+ +=


+=


1. CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau. Tìm giao điểm I của chúng.
2. Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng () đi qua hai đờng thẳng () v
().
3. Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi () v ba mặt phẳng tọa độ.
Câu 12(PV BC TT_99A)
Cho hai đờng thẳng () v () có phơng trình sau đây:

x1 y1z2
():
231
x2 y2 z
('):
25
+
==
+
==
2

1. CMR hai đờng thẳng () v () chéo nhau.
2. Viết phơng trình đờng vuônmg góc chung của () v ().
Câu 13(ĐH CS NN_00A)

M(d),
)). Tìm toạ
độ của M,N v viết phơng trình tham số của đờng thẳng MN.
2
N(d
Câu 14(ĐH Cần Thơ_98B)
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD l hình chữ nhật. Lấy M,N lần lợt trên
các cạnh SB,SD,sao cho
SM SN
2
BM DN
==.
1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỉ số
SP
CP
.
2. Tính thể tích hình chóp SAMPN theo thể tích V của hình chóp SABCD
Câu 15(ĐH Cần Thơ_98D)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phơng trình x+y+z+1=0 v
đờng thẳng (d) có phơng trình
x1 y2 z1
123

==

Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P).
Câu 16(HV BCVT_98A)
Cho hình nón đỉnh S, đáy l đờng tròn C bán kính a, chiều cao h=3a/4
V cho hình chóp đỉnh S, đáy l một đa giác lồi ngoại tiếp C.
1. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp .

()
đối xứng với
2
()
qua

1
()
2. Xét mặt phẳng ( ) : x+y+z+3=0.
a) Viết phơng trình hình chiếu của
2
()
theo phơng lên mặt phẳng
( ) .
1
()

b) Tìm điểm M trên mặt phẳng (
) để
1
MM MM
+
2
uuuuur uuuuur
đạt đợc giá trị nhỏ
nhất, biết v .
1
M(3;1;1)
2
M(7;3;9)


Lập phơng trình đờng thẳng qua A, vuông góc với v cắt .
1
(d )
2
(d )
Câu 20(ĐH Dợc HN_99A)
Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;-
4;8).Tính độ di đờng cao của tứ diện xuất phát từ A.
Câu 21(ĐH Dợc HN_01A)
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S l điểm bất kì
trên đờng thẳng At vuông góc với (P) tai A.
1. Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD khi SA=2a.
2. M, N lần lợt l hai điểm di động trên các cạnh CB, CD(M

CB, N

CD) v đặt
CM=m, CN=n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m v n để các mặt phẳng (SMA)
v (SAN) tạo với nhau một góc .
o
45
Câu 22(ĐH Đ Lạt_99B)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với
đáy. Độ di các cạnh AB=a, AD=b, SA=2a. Gọi M l trung điểm của SA. Mặt phẳng
(MBC) cắt hình chóp theo thiết diện gì? Tính diện tích thiết diện ấy.
Câu 23(ĐH Đ Lạt_01D)
Cho hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 27, diện tích ton phần bằng 9a v các
cạnh lập thnh cấp số nhân.
1. Tính các cạnh của hình chữ nhật khi a=6.

Câu 26(ĐH GTVT_97A)
Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Trên đờng thẳng vuông góc với
(P) tại A lấy điểm S. Gọi H v K l các hình chiếu vuông góc của A lên SB v SC.
1. CMR các điểm A, B, C, H, K cùng nằm trên một mặt cầu.
2. Tình bán kính của mặt cầu trên biết AB=2, AC=3,

o
BAC 60=
.
Câu 27(ĐH GTVT_98A)
Viết phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu có phơng trình
v song song với mặt phẳng (P) có phơng trình
4x+3y-12z+1=0.
222
x2xy4yz6z2
++=
0
Câu 28(ĐH GTVT_99A)
Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho mặt phẳng (P) có phơng trình
.
16x 15y 12z 75 0
+=
1. Lập phơng trình mặt cầu (S) có tâm l gốc tọa độ v tiếp xúc với (P).
2. Tìm tọa độ tiếp điểm H của (P) với (S).
3. Tìm điểm đối xứng của gốc tọa độ O qua (P).
Câu 29(ĐH GTVT_00A)
Cho hình lập phơng ABCD.ABCD, các cạnh của nó có độ di bằng 1.
Trên các cạnh BB, CD, AD lần lợt lấy các điểm M, N, P sao cho:
BM=CN=DP=a(0<a<1). CMR:
1.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng:

12
x22t x1
():y 1t ():y1t
z1 z3t
=+ =


=+ =


==

+

1. Chứng tỏ rằng v chéo nhau. Viết phơng trình mặt phẳng
(
1
()
2
( )
)
chứa
v song song với .
1
()
2
()
2. Tính khoảng cách giữa v

1. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
2. Gọi O l trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
Câu 36(ĐH Huế _00D)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0),
C(0;0;3).
1. Viết phơng trình tổng quát của các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) v (ABC).
2. XĐ toạ độ tâm I của hình cầu nội tiếp tứ diện OABC.
3. Tìm toạ độ điểm J đối xứng với I qua (ABC).
Câu 37(ĐH Huế_01A)
Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau v
OA=OB=OC=a. Kí hiệu M, N, K lần lợt l trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi
E l điểm đối xứng của O qua K v I l giao điểm của CE với (OMN).
1. Chứng minh CE vuông góc với (OMN).
2. Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a.
Câu 38(ĐH Huế_01D)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình chữ nhật với AB=2a, BC=a. các
cạnh bên của hình chóp bằng nhau v bằng
a2
.
1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.
2. Gọi M, N, E, F lần lợt l trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh
SN vuông góc với (MEF).
3. Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Câu 39(ĐH KTQD_97A)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đờng cao SO=1 v đáy ABC có cạnh
bằng
26
. Điểm M, N l trung điểm của cạnh AC, AB tơng ứng. Tính thể tích của
hình chóp SAMN v bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó.
Câu 40(ĐH KTQD_98A)

Tính khoảng cách giũă hai cạnh đối SA v BC.
Câu 43(ĐH KTrúc_99A)
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho một hình tứ diện có bốn đỉnh
O(0;0;0), A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8).
1. Chứng minh SB vuông góc với OA.
2. CMR hình chiếu của SB lên (OAB) vuông góc với OA. Gọi K l giao điểm của
hình chiếu đó với OA. Hãy tìm tọa độ K.
3. Gọi P, Quyn lần lợt l điểm giữa các cạnh SO v AB. Tìm tọa độ điểm M trên
SB sao cho PQ v KM cắt nhau.
Câu 44(ĐH KTrúc_01A)
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho các điểm A(2;0;0), B(0;3;0),
C(0;0;3). Các điểm M, N lần lợt l trung điểm của OA v BC, P v Q l hai điểm trên
OC v AB sao cho
OP 2
OC 3
= v hai đờng thẳng MN, PQ cắt nhau. Viết phơng trình
mặt phẳng (MNPQ) v tìm tỉ số
AQ
AB
.
Câu 45(HV KTQS_97A)
Tam giác ABC có A(1;2;5) v phơng trình hai trung tuyến l:

12
x3 y6 z1 x4 y2 z2
(d ): (d ):
221 1 41

== ==


(d )
2
(d )
1
(d )
2
(d )
Câu 48(HV KTQS_01A)
Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho A(4;0;0), (với
) sao cho OB=8 v
oo
B(x ;y ;0)
oo
x,y 0>

o
AOB 60
=

1. Xác định C trên Oz để thể tích OABC bằng 8.
2. Gọi G l trọng tâm của tam giác OAB v điểm M trên AC có AM=x. Tìm M để
OM vuông góc với GM.
Câu 49(ĐH Luật HN_99A)
1. Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho mặt phẳng (P)
xyz3
++= v mặt cầu (C)

222
xyz12
+ +=



222
(C):x y z 2x 4y 6z 67 0
2x y z 8 0
():
2x y 3 0
(Q):5x 2y 2z 7 0
++=
+=



+=

++=
1. Viết phơng trình tất cả các mặt phẳng chúa
()
v tiếp xúc với (C).
2. Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của
()
lên (Q).
Câu 53(ĐH Mỏ Địa Chất_00A)
Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho tam giác ABC có C(3;2;3),
đờng cao AH nằm trên đờng thẳng có phơng trình:
1
(d )

1
x2 y3z3

vuông ABCD.
1. Tính diện tích của thiết diện của hình lập phơng cắt bởi mặt phẳng (P).
2. Mặt phẳng (P) chia hình lập phơng thnh hai khối đa diện, hãy tìm x để thể tích
của một trong hai khối đa diện đó gấp đôi thể tích của khối đa diện kia.
Câu 56(HVNgân Hng HCM_01D)
Cho tứ diện ABCD. Gọi A, B, C, D tơng ứng l trọng tâm của các tam
giác BCD, ACD, ABD, ABC. Gọi G l giao điểm của AA, BB.
1. Chứng minh rằng:
AG 3
AA' 4
=
.
2. Chứng minh rằng: AA, BB, CC, DD đồng quy.
Câu 57(ĐH Ngoại Ngữ_97D)
Cho hai đờng thẳng có phơng trình:

12
x22
xy2z0
(D ): (D ): y t
xyz10
z2t
t
= +

++ =


=


45
Câu 58(ĐH Ngoại Ngữ_00D)
Trong không gian cho hai đờng thẳng chéo nhau:

x13
2x 3y 1 0
(a): (b) y 2 2t
yz10
z1
t
= +

+=


=+

++=


=


Tính khoảng cách giữa A v B.
Câu 59(ĐH Ngoại Ngữ_01D)
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2a;0;0), C(0;2a;0), D(0;0;2a),
B(2a;2a;0), (a>0) .
1. Gọi E l trung điểm của đoạn BD, hãy tìm toạ độ giao điểm F của đoạn thẳng OE
với mặt phẳng (ACD).
2. Tính thể tích hình chóp D.OABC


(P):2x y 2z 2 0
+ +=
1. Lập phơng trình mặt cầu (C) có tâm nằm trên đờng thẳng (d), tiếp xúc với
mp(P) v có bán kính bằng 1.
2. Gọi M l giao điểm của (P) với (d), T l tiếp điểm của mặt cầu (C) với (P). Tính
MT.
Câu 63(ĐH Nông Lâm HCM_01A)
Cho hai đơng thẳng:

x13t
2x 3y 4 0
(d): (d'): y 2 t
yz40
z12
t
= +

+=


=+

+=


= +


1. CMR hai đơng thẳng (d) v (d) chéo nhau.

2. Giả sử M, N lần lợt l trung điểm của AB v BC. Hãy tính thể tích tứ diện
DDMN theo a, b, c.
Câu 69(HV QY_00A)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC l tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc
với đáy (ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC