Chương 4. Các tính chất cơ bản của hàm
chỉnh hình
Nguyễn Thủy Thanh

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 287-309.Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Định lý Liouville, Hàm chỉnh hình,
Chuỗi Taylor, Không điểm, Thác triển giải tích, Nguyên lý modun cực đại. Điểm
bất thường cô lập, Tập hợp mờ, Nguyên lý acgumen.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả. Chu
.

.
nh l´y gi´a tri
.
trungb`ınh ..............279
4.1.2 D
-
i
.
nhl´yLiouville ...................280
4.1.3 D
-
i
.
nh l´y Weierstrass vˆe
`
chuˆo
˜
i h`am hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
u ...284
4.1.4 T´ınh chˆa
´
tdi
.
aphu

a h`am chı
’
nh h`ınh . . . . . 310
4.2.1 Khˆong d
iˆe
’
m (0-diˆe
’
m) cu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh . . . . . 310
4.2.2 T´ınh chˆa
´
t duy nhˆa
´
tcu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh . . . . . . 313
4.2.3 Nguyˆen l´y th´ac triˆe
’
n gia
’
it´ıch............317
4.2.4 Nguyˆen l´y mˆod
un cu
.

˜
iLaurent ....................326
4.3.2 D
-
iˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng cˆo lˆa
.
pd
o
.
n tri
.
...........337
4.3.3 D´ang d
iˆe
.
ucu
’
a h`am ta
.
idiˆe
’
m vˆo c`ung . . . . . . . . 348

ncu
’
atˆa
.
pho
.
.
pmo
.
’
...........363
4.5 B`ai tˆa
.
p......................... 365
Trong chu
.
o
.
ng tru
.
´o
.
c, ta d
˜ach´u
.
ng minh d
i
.
nh l´y co
.

t l`a n´o cho ph´ep ta x´ac lˆa
.
pmˆo
´
i liˆen hˆe
.
nhˆa
´
tdi
.
nh gi˜u
.
a c´ac gi´a
tri
.
cu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh ta
.
ic´acd
iˆe
’
m trong cu
’
amiˆe
`
nchı
’

a Cauchy. D
´o l`a cˆong th´u
.
c trung tˆam cu
’
al´ythuyˆe
´
t h`am
chı
’
nh h`ınh.
4.1 C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy
O
.
’
mˆo
.
tm´u
.
cd

nh l´y gi´a tri
.
trung b`ınh
D´ol`adi
.
nh l´y sau dˆay.
D
-
i
.
nh l´y 4.1.1. Gia
’
su
.
’
f(z) l`a h`am liˆen tu
.
c trong h`ınh tr`on d
´ong S(R)=
{z ∈ C : |z − z
0
|  R} v`a chı
’
nh h`ınh trong h`ınh tr`on S(R). Khi d´o ta c´o
280 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´

.
cu
’
a h`am ta
.
i tˆam h`ınh tr`on b˘a
`
ng trung b`ınh cˆo
.
ng c´ac gi´a tri
.
cu
’
a
n´o trˆen d
u
.
`o
.
ng tr`on.
Ch´u
.
ng minh. Theo cˆong th´u
.
c t´ıch phˆan Cauchy ta c´o
f(z
0
)=
1
2πi

c
f(z
0
)=
1
2πi
2π

0
f(z
0
+ Re
it
)
Re
it
idt
Re
it
=
1
2π
2π

0
f(z
0
+ Re
it
)dt.

´
th˘a
`
ng sˆo
´
,t´u
.
cl`af (z) ≡ const ∀z ∈ C.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
|f(z)|  M<∞∀z ∈ C. Ta s˜e ´ap du
.
ng cˆong th´u
.
c
t´ıch phˆan Cauchy cho d
a
.
o h`am f

(z)v`ah`ınh tr`on S(R)v´o
.
i tˆam ta
.
id

T`u
.
d
´o
|f

(z)| 
1
2π
M
R
2
2πR =
M
R
·
Vˆe
´
tr´ai cu
’
abˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c n`ay khˆong phu
.
thuˆo

p c´ac h`am chı
’
nh h`ınh trong to`an m˘a
.
t ph˘a
’
ng v`a bi
.
ch˘a
.
nchı
’
gˆo
`
m c´ac h`am tˆa
`
mthu
.
`o
.
ng (c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
).
D
i
.
nh l´y Liouville v`u
.

.
n |f(z)  M|z|
n
, M<∞ v`a n l`a sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng th`ıd
´ol`ada
th´u
.
cbˆa
.
c khˆong cao ho
.
n n.
2
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
z
0
l`a diˆe
’

2πi

∂S(R)
f(z)
(z − z
0
)
n+2
dz, S(R)={z : |z − z
0
| <R}
v`a do d
´o
|f
(n+1)
(z
0
)| 
M|z|
n
R
n+1
(n + 1)!.
V`ı |z|  |z
0
| + R nˆen qua gi´o
.
iha
.
n khi R →∞ta thu d

(n)
(z
0
)=
z

z
0
f
(n+1)
(z)dz ≡ 0,
t´u
.
cl`af
(n)
(z) ≡ f
(n)
(z
0
) = const ... B˘a
`
ng c´ach lˆa
.
p luˆa
.
nnhu
.
vˆa
.
y, dˆe

282 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh
Di
.
nh l´y Liouville c`on c´o thˆe
’
ph´at biˆe
’
udu
.
´o
.
ida
.
ng
D
-

.
ng minh. V`ı h`am f chı
’
nh h`ınh ta
.
id
iˆe
’
m ∞ nˆen lim
z→∞
f(z)tˆo
`
nta
.
iv`ah˜u
.
u
ha
.
n. T`u
.
d
´o suy ra f(z)bi
.
ch˘a
.
n trong lˆan cˆa
.
n n`ao d´o U(∞)={z : |z| >R}
cu

|f(z)|  M
2
, z ∈ S(R). Nhu
.
ng khi d
´o
h`am f bi
.
ch˘a
.
n trong to`an m˘a
.
t ph˘a
’
ng: f(z)| <M= max(M
1
,M
2
) ∀ z ∈ C.
V`ı h`am f chı
’
nh h`ınh trˆen C nˆen theo d
i
.
nh l´y 4.1.2 ta c´o f ≡ const.
Bˆay gi`o
.
ta ´ap du
.
ng d

id
ath´u
.
cd
a
.
isˆo
´
bˆa
.
c m  1 v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
ph´u
.
cd
ˆe
`
u
c´o m nghiˆe
.
mnˆe
´
umˆo
˜
i nghiˆe
.

z
m
+ a
m−1
z
m−1
+ ···+ a
1
z + a
0
,a
m
=0,m 1.
Ta ch´u
.
ng minh b˘a
`
ng pha
’
nch´u
.
ng: gia
’
su
.
’
P
m
(z) khˆong c´o nghiˆe
.

m
(z)=∞ nˆen lim
z→∞
1
P
m
(z)
=0. T`u
.
d
´o ∃ R>0 sao cho ∀ z : |z| >R
ta c´o
|f(z)| < 1.
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 283
Trong h`ınh tr`on d´ong |z|  R h`am f(z) c´o mˆodun bi
.
ch˘a
.
n, t´u
.

`
ng P
m
(z
≡
const.
Nhu
.
ng d
iˆe
`
ud´o khˆong thˆe
’
xa
’
yrav`ı a
m
=0v`am  1.
Nhu
.
vˆa
.
ytˆo
`
nta
.
i gi´a tri
.
α
1

2
∈ C sao cho P
m−1
(z)=(z − α
2
)P
m−2
(z),
P
m−2
(α
2
) = 0. Nhu
.
vˆa
.
y
P
m
(z)=(z − α
1
)(z − α
2
)P
m−2
(z),...
Tiˆe
´
ptu
.

).
D
˘a
’
ng th´u
.
c n`ay ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng α
1
,α
2
,...,α
m
l`a nghiˆe
.
m v`a ngo`ai ch´ung ra da
th´u
.
c P
m
(z) khˆong c`on nghiˆe
.
m n`ao kh´ac. Thˆa
.
tvˆa

ng to
’
r˘a
`
ng mˆo
.
t trong c´ac th`u
.
asˆo
´
pha
’
ib˘a
`
ng 0, t´u
.
cl`a
β − α
i
=0,i=1, 2,...,m
⇐⇒ β = α
i
,i=1, 2,...,m.
Di
.
nh l´y v`u
.
ach´u
.
ng minh c`on c´o tˆen go

nh h`ınh
4.1.3 D
-
i
.
nh l´y Weierstrass vˆe
`
chuˆo
˜
i h`am hˆo
.
itu
.
dˆe
`
u
Trong 1.4 ta d˜a tr`ınh b`ay kh´ai niˆe
.
m chuˆo
˜
i h`am hˆo
.
itu
.
dˆe
`
u trong miˆe
`
n D v`a
hˆo

ˆe
`
u. Bˆay gi`o
.
ta ch´u
.
ng minh d
i
.
nh l´y quan tro
.
ng cu
’
a Weierstrass
vˆe
`
su
.
.
ba
’
o to`an t´ınh chı
’
nh h`ınh cu
’
atˆo
’
ng cu
’
a chuˆo

u.
D
-
i
.
nh l´y 4.1.5. (Weierstrass) Gia
’
su
.
’
:
1) u
n
(z) n ∈ N l`a nh˜u
.
ng h`am chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`
n D;
2) chuˆo
˜
i h`am
u
1
(z)+u
2
(z)+···+ u
n
(z)+... (4.1)

˜
i l`a h`am chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`
n D.
2) Chuˆo
˜
ic´othˆe
’
d
a
.
oh`amt`u
.
ng sˆo
´
ha
.
ng d
ˆe
´
ncˆa
´
pt`uy´y
u
(m)
1
(z)+u
(m)

n
D.
Ch´u
.
ng minh. 1) Lˆa
´
y h`ınh tr`on S(R)bˆa
´
tk`y b´an k´ınh R v´o
.
i biˆen γ(R) sao
cho
S(R) ⊂ D.Trˆendu
.
`o
.
ng tr`on γ(R)(γ(R) l`a tˆa
.
pho
.
.
pd
´ong n˘a
`
m trong D)
chuˆo
˜
i (4.1) hˆo
.
itu

.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 285
H`am n`ay bi
.
ch˘a
.
n trˆen γ(R). Do d´o chuˆo
˜
ithudu
.
o
.
.
c sau khi nhˆan (4.3) v´o
.
i
v(ζ)vˆa
˜
nhˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
u trˆen γ(R) v`a c´o thˆe

dζ + ···+
1
2πi

γ(R)
u
n
(ζ)
ζ − z
dζ + ...
T´ıch phˆan o
.
’
vˆe
´
tr´ai l`a t´ıch phˆan da
.
ng Cauchy. Do d
´ovˆe
´
tr´ai l`a h`am chı
’
nh
h`ınh trong h`ınh tr`on S(R). Ta k´y hiˆe
.
uh`amd
´ol`af
R
(z).
´

.
vˆa
.
y chuˆo
˜
id
u
.
o
.
.
c x´et hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
udˆe
´
n h`am f
R
(z)chı
’
nh h`ınh trong h`ınh
tr`on S(R). Nhu
.
ng trong S(R) h`am f
R
(z)tr`ung v´o

’
d´ung nˆe
´
umiˆe
`
n D khˆong ch´u
.
ad
iˆe
’
m ∞. Gia
’
su
.
’
miˆe
`
n D ∞. T a s ˜e x ´e t “ h `ınh tr`on” S
R
(∞)={z : |z| >R} v´o
.
i
b´an k´ınh R d
u
’
l´o
.
n sao cho to`an bˆo
.
biˆen ∂D d

˘a
’
ng th´u
.
c
f
R
(z)=[u
1
(z) − u
1
(∞)] + [u
2
(z) − u
2
(∞)] + ...
+[u
n
(z) − u
n
(∞)] + ...
hay l`a
f
R
(z)=[u
1
(z)+···+ u
n
(z)+...]
− [u

R
(z)+f (∞)=u
1
(z)+u
2
(z)+···+ u
n
(z)+...
286 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh
O
.
’
d
ˆay f
R
(z)+f(∞)=f(z) ∀ z ∈ S

(ζ − z)
m+1
,z∈ S(R)
bi
.
ch˘a
.
n trˆen γ(R) v`a t´ıch phˆan t`u
.
ng sˆo
´
ha
.
ng theo γ(R) th`ı thay cho (4.4) ta
thu d
u
.
o
.
.
cchuˆo
˜
i
f
(m)
R
(z)=u
(m)
1
(z)+u

.
nh l´y ta phu
’
tˆa
.
pho
.
.
pd
´ong t`uy ´y
E ⊂ D bo
.
’
ihˆe
.
c´ac h`ınh tr`on S

sao cho S

⊂ D.Nˆe
´
utˆa
.
pho
.
.
p E  z = ∞ th`ı
ta c´o thˆe
’
lˆa

.
uha
.
n
c´ac h`ınh tr`on. Ho
.
.
pmo
.
i h`ınh tr`on d
´ong n`ay du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aE
∗
. Gia
’
su
.
’
δ l`a
khoa
’
ng c´ach t`u
.
E

`
ng tˆam
v´o
.
i b´an k´ınh l´o
.
nho
.
n b´an k´ınh cu
’
a S

mˆo
.
tda
.
ilu
.
o
.
.
ng b˘a
`
ng
δ
2
(d
ˆo
´
iv´o

o
.
.
cx´et

n≥1
u
n
(z)hˆo
.
itu
.
dˆe
`
u trˆen
Γ, ngh˜ıa l`a
∀ ε>0, ∃ N ∈ N : ∀ n>N, ∀ p ∈ N, ∀ ζ ∈ Γ ⇒



n+p

k=n+1
u
k
(ζ)



<ε.

´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 287
h˜u
.
uha
.
n. Khi ζ ∈Lv`a z ∈ S

th`ı |ζ − z| 
δ
2
.Dod
´o



n+p

k=n+1
u
(m)
k
(z)



=


k
(ζ)



|ζ − z|
m+1
ds

m!
2π
·
ε

δ
2

m+1
2πR
∗
trong d´o R
∗
l`a b´an k´ınh cu
’
a h`ınh tr`on S tu
.
o
.
ng ´u
.


Rm!ε

δ
2

m+1
trong d´o

R l`a b´an k´ınh l´o
.
n nhˆa
´
t trong c´ac b´an k´ınh cu
’
a c´ac h`ınh tr`on S
cu
’
aphu
’
h˜u
.
uha
.
n. T`u
.
d
´o suy ra su
.
.

.
nh l´y tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
d
i
.
nh l´y
Weierstrass. Thˆa
.
tvˆa
.
y, trong gia
’
i t´ıch thu
.
.
c ta biˆe
´
tr˘a
`
ng tˆo
’
ng S(x)cu

’
vi. Ho
.
nthˆe
´
n˜u
.
anˆe
´
u ∃ S

(x) th`ı ho`an to`an khˆong nhˆa
´
t
thiˆe
´
t pha
’
ic´od
˘a
’
ng th´u
.
c S

(x)=

n1
u


.
n l`a S
n
(x)=f
n
(x). T`u
.
d
´omo
.
idiˆe
`
u kh˘a
’
ng di
.
nh vˆe
`
chuˆo
˜
i
d
ˆe
`
u c´o thˆe
’
ph´at biˆe
’
udˆo
´

nh h`ınh
D
-
i
.
nh l´y 4.1.6. (Weierstrass; vˆe
`
d˜ay h`am chı
’
nh h`ınh hˆo
.
itu
.
dˆe
`
u)
Nˆe
´
u d˜ay c´ac h`am

f
n
(z)

n1
chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`
n D hˆo

(m)
n
(z)

n1
; m =1, 2,... hˆo
.
itu
.
dˆe
`
utrˆen t`u
.
ng
comp˘a
´
ccu
’
a D d
ˆe
´
n h`am f
(m)
(z).
T`u
.
d
i
.
nh l´y Weierstrass 4.1.3 v`a di

.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y t´ıch phˆan v`a d
a
.
oh`amt`u
.
ng sˆo
´
ha
.
ng mˆo
.
tsˆo
´
lˆa
`
n t`uy ´y,
d
ˆo
`

o
.
ng cu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh.
Chuˆo
˜
i Taylor
Trong 2.1 ta d˜a c h ´u
.
ng minh r˘a
`
ng tˆo
’
ng cu
’
achuˆo
˜
il˜uy th`u
.
a l`a h`am chı
’
nh h`ınh
trong h`ınh tr`on hˆo
.
itu
.
cu

.
aphu
.
o
.
ng: mˆo
˜
i h`am chı
’
nh h`ınh trong h`ınh tr`on d
ˆe
`
ubiˆe
’
udiˆe
˜
n
d
u
.
o
.
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng tˆo

n D th`ı ta
.
i lˆan cˆa
.
ncu
’
amˆo
˜
id
iˆe
’
m
z
0
∈ D h`am f(z) biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
o
.
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng chuˆo

0
dˆe
´
nbiˆen ∂D
cu
’
amiˆe
`
n D (d = dist(z
0
,∂D).
3
B. Taylor (1685-1731) l`a nh`a to´an ho
.
c Anh
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 289
Ch´u
.
ng minh. Gia
’

0
,d):z ∈ S(z
0
,d). X´et h`ınh tr`on S(z
0
,δ)dˆo
`
ng tˆam v´o
.
i h`ınh tr`on S(z
0
,d)
v´o
.
i b´an k´ınh δ tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n0<δ<dsao cho diˆe
’
m z n˘a
`
m trong D.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u

D
ˆo
´
iv´o
.
id
iˆe
’
m z ∈ S(z
0
; δ)cˆo
´
di
.
nh ta c´o bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c



z − z
0
ζ − z
0



0
ζ − z
0
=

n0

z − z
0
ζ − z
0

n
. (4.7)
Chuˆo
˜
i (4.7) hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
u trˆen γ(ρ) nˆen ta c´o thˆe
’
thu
.
.
chiˆe
.

(z − z
0
)
n
=

n≥0
a
n
(z − z
0
)
n
, (4.8)
trong d
´o
a
n
=
1
2πi

γ(δ)
f(ζ)dζ
(ζ − z
0
)
n+1
,n=0, 1,... (4.9)
290 Chu

a h`am chı
’
nh
h`ınh ta c´o
a
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
; n =0, 1, 2,... (4.10)
V`ıd
ˆo
´
iv´o
.
imˆo
˜
id
iˆe
’
m z cˆo
´
di
.
nh thuˆo
.

khˆong phu
.
thuˆo
.
c
v`ao δ trong khoa
’
ng 0 <δ<dnˆen b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
R cu
’
achuˆo
˜
i

n0
a
n
(z−z
0
)
n
khˆong b´e ho
.
n d. Thˆa
.
tvˆa
.

i
.
nh l´y du
.
o
.
.
cch´u
.
ng
minh.
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 291
H`ınh IV.1
Chuˆo
˜
i (4.8) v´o
.
ihˆe
.
sˆo

triˆe
’
n Taylor ta
.
i lˆan cˆa
.
nd
iˆe
’
m z
0
cu
’
a h`am f(z).
Hˆe
.
qua
’
4.1.2. Mo
.
i chuˆo
˜
il˜uyth`u
.
ad
ˆe
`
u l`a chuˆo
˜
i Taylor cu

0
ta c´o f(z
0
)=a
0
,da
.
o h`am t`u
.
ng sˆo
´
ha
.
ng chuˆo
˜
i (4.11) rˆo
`
i thay
z = z
0
ta t`ım du
.
o
.
.
c f

(a)=a
1
.T´ınh da

(z
0
)=n!a
n
v`a do d´o a
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
.Dod
´ochuˆo
˜
i (4.11) l`a chuˆo
˜
i Taylor cu
’
a h`am f(z).
Hˆe
.
qua
’
4.1.3. Gia
’
su
.
’

trong d
´o r l`a sˆo
´
bˆa
´
tk`yb´eho
.
n b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i. C´ac bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c
(4.12) d
u
.
o
.
.
cgo

ba
’
ncu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh
Ch´u
.
ng minh. T`u
.
c´ac cˆong th´u
.
c (4.9) v`a (4.10) ta c´o
a
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
=
1
2πi

γ(r)
f(ζ)
(ζ − z

c
|a
n
| 
1
2π
·
M(r)
r
n+1
· 2πr =
M(r)
r
n
Dˆe
’
r´ut ra hˆe
.
qua
’
tiˆe
´
p theo ta nˆeu ra
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.1.1. 1) D
iˆe
’

m z = a du
.
o
.
.
cgo
.
il`ad
iˆe
’
mbˆa
´
t thu
.
`o
.
ng cu
’
a h`am f(z)nˆe
´
u n´o khˆong
l`a d
iˆe
’
mch´ınh quy dˆo
´
iv´o
.
i h`am f(z)nhu
.

i tˆam ta
.
id
iˆe
’
m z = a
b˘a
`
ng khoa
’
ng c´ach t`u
.
d
iˆe
’
m a dˆe
´
ndiˆe
’
mbˆa
´
t thu
.
`o
.
ng gˆa
`
n nhˆa
´
tcu

i
.
nh l´y Cauchy - Taylor b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i
Taylor thu d
u
.
o
.
.
c khˆong b´e ho
.
n khoa
’
ng c´ach d t`u
.
d
iˆe
’
m a dˆe
´
ndiˆe
’

ng c´ach d
´ov`ınˆe
´
u R>dth`ı c´o ´ıt nhˆa
´
tmˆo
.
tdiˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng cu
’
a h`am f
ro
.
i v`ao h`ınh tr`on hˆo
.
itu
.
,m`ad
iˆe
`
ud´o l a
.
i khˆong thˆe

.
ihˆe
.
sˆo
´
Taylor thu
.
`o
.
ng khˆong
tiˆe
.
nlo
.
.
i trong t´ınh to´an. Trong mˆo
.
tsˆo
´
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ta c´o thˆe
’
´ap du
.

.
csu
.
.
th`ı ta c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
nn´odu
.
´o
.
ida
.
ng tˆo
’
ng
h˜u
.
uha
.
n c´ac phˆan th´u
.
ctˆo
´
i gia
’
nda

´
psˆo
´
nhˆan, c`on phˆan th´u
.
c
1
(z − a)
k
(k>1) khai triˆe
’
n th`anh chuˆo
˜
ithudu
.
o
.
.
cb˘a
`
ng ph´ep d
a
.
o h`am liˆen tiˆe
´
p k − 1
lˆa
`
n chuˆo
˜

α
,... (go
.
i l`a c´ac
khai triˆe
’
nba
’
ng)thud
u
.
o
.
.
cb˘a
`
ng c´ach t´ınh tru
.
.
ctiˆe
´
p c´ac d
a
.
o h`am cu
’
a c´ac h`am
ˆa
´
y.

(−1)
n−1
n
z
n
, |z| < 1
V.
(1 + z)
α
=1+

n1

α
n

z
n
=1+αx +
α(α − 1)
2
z
2
+ ...
+
α(α − 1)···(α − n +1)
n!
z
n
+ ..., α∈ R, |z| < 1,

n0
z
n
, |z| < 1
VI
2
.
1
1+z
=

n0
(−1)
n
z
n
, |z| < 1.
..........
294 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’

`
ud´ob˘a
`
ng mˆo
.
tsˆo
´
v´ıdu
.
sau dˆay.
V´ı d u
.
1. Khai triˆe
’
n h`am
f(z)=
1
(1 − z
2
)(z
2
+4)
th`anh chuˆo
˜
i Taylor ta
.
i lˆan cˆa
.
nd
iˆe


=
1
5

1
1 − z
2
+
1
4

1+
z
2
4


·
Bˆay gi`o
.
´ap du
.
ng khai triˆe
’
nVI
1
1
1 − t
=

· cos z.
Gia
’
i. Ta
.
i lˆan cˆa
.
nd
iˆe
’
m z =0tac´othˆe
’
nhˆan hai chuˆo
˜
iv´o
.
i nhau. Tuy
nhiˆen, trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay, tiˆe
.
nlo
.
.
iho

[e
(1+i)z
+ e
1−i)z
].
V`ı1+i =
√
2 · e
i
π
4
;1− i =
√
2 · e
−i
π
4
nˆen ´ap du
.
ng khai triˆe
’
n (II) ta c´o:
e
z
· cos z =

n0
2
n
2

t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 295
V´ı du
.
3. Khai triˆe
’
n h`am f(z)=
1
1+z
+ e
−z
th`anh chuˆo
˜
i Taylor v´o
.
i tˆam
a = 0 v`a chı
’
ra b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu

z
n
n!
+ ...
T`u
.
d
´ob˘a
`
ng c´ach cˆo
.
ng c´ac chuˆo
˜
i ta thu du
.
o
.
.
c
f(z)=[1− z + z
2
−···+(−1)
n
z
n
+ ...]
+

1 − z +
z

1
(n − 1)!

z
n−1
+ ...
=

n1
(−1)
n−1

1+
1
(n − 1)!

z
n−1
.
D
iˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng gˆa
`

(2z +5)
th`anh chuˆo
˜
i Taylor v´o
.
i tˆam ta
.
id
iˆe
’
m a =0v`achı
’
ra b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
a
chuˆo
˜
ithud
u
.
o
.
.
c.
Gia
’

´
i gia
’
n:
f(z)=
1
2z +5
+
2
(z − 3)
2
·
296 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh
Tiˆe
´
p theo ta c´o

’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng gˆa
`
ngˆo
´
cto
.
ad
ˆo
.
nhˆa
´
tnˆen b´an k´ınh hˆo
.
i
tu
.
R
1
cu
’
a chuˆo
˜
ithudu

ng hˆe
.
qua
’
cu
’
ad
i
.
nh l´y Weierstrass. Ta c´o

2
z − 3


= −
2
(z − 3)
2
2
z − 3
= −
2
3
·
1
1 −
z
3
= −2

ng c´ac chuˆo
˜
ithud
u
.
o
.
.
ctac´o
f(z)=

n0

(−1)
n
2
n
5
n+1
+
2(n +1)
3
n+2

z
n
, |z| <
5
2
·

chˆe
´
t ta cˆa
`
n x´ac d
i
.
nh nh´anh n`ao (trong vˆo sˆo
´
nh´anh cu
’
a h`am
logarit) l`a nh´anh tho
’
am˜and
iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a b`ai to´an. Ta c´o
ln z = ln[2 + (z − 2)] = ln

2

1+
z − 2
2


+2πi
l`a nh´anh cˆa
`
n t`ım. Nh´anh n`ay chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`
n
C\R
−
.V`ı dist (2; ∂D)=
2 nˆen trong h`ınh tr`on {z : |z − 2| < 2} theo IV nh´anh d
u
.
o
.
.
ccho
.
n khai triˆe
’
n
d
u
.
o
.
.
c th`anh chuˆo
˜

−8=−2 th`anh chuˆo
˜
i Taylor trong
lˆan cˆa
.
nd
iˆe
’
m a = −8.
Gia
’
i. Nhu
.
trong v´ıdu
.
5 ta c´o
3
√
z =
3

−8+(z +8)=
3
√
−8

1 −
z +8
8


1
3
n


1
8
n
(z +8)
n

V`ı z =0l`ad
iˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng cu
’
a h`am gˆa
`
nd
iˆe
’
m a = −8 nhˆa
´
tnˆenR =

’
ng f(z):
f(z)=

k1
u
k
(z) (4.13)
298 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh
Khi d´oc´achˆe
.
sˆo
´
Taylor a
n
(f) cu

.
cl`a
a
n
(f)=

k1
a
n
(u
k
). (4.14)
Ch´u
.
ng minh. T´ınh chı
’
nh h`ınh cu
’
a h`am tˆo
’
ng f(z)d
u
.
o
.
.
c suy ra t`u
.
d
i

(n)
k
(a)
n!
hay l`a
a
n
(f)=

k1
a
n
(u
k
).
Ta x´et v´ıdu
.
sau dˆay.
Ta x´et tˆo
’
ng cu
’
a chuˆo
˜
i h`am
F (z)=

n0
z
n

o
.
nd
o
.
nvi
.
.
Ta cˆa
`
nch´u
.
ng minh r˘a
`
ng chuˆo
˜
id
˜a c h o h ˆo
.
itu
.
dˆe
`
u trˆen t`u
.
ng comp˘a
´
ccu
’
a

o
.
nvi
.
th`ı
|z|  1 − δ = ρ<1 ∀z ∈ K.
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 299
Do d´o



z
n
1 − z
n




ρ

`
u trˆen K.
D
ˆe
’
x´ac di
.
nh hˆe
.
sˆo
´
Taylor cu
’
a z
k
trong khai triˆe
’
n Taylor cu
’
a h`am f(z)ta
cˆa
`
ncˆo
.
ng c´ac hˆe
.
sˆo
´
Taylor cu
’

n
l`a A
k
(σ
n
). Ta c´o
A
k
(σ
n
)=



1, nˆe
´
u k chia hˆe
´
tchon,
0, nˆe
´
u k khˆong chia hˆe
´
tchon.
Do d
´o h ˆe
.
sˆo
´
cˆa

.
ctu
.
.
nhiˆen cu
’
asˆo
´
k.Nˆe
´
utak´yhiˆe
.
u ϕ(k) l`a sˆo
´
d
´o, th`ı ϕ(1) = 1; ϕ(2) = 2;
ϕ(3) = 2; ϕ(4) = 3,... v`a ta c´o
F (z)=

k1
ϕ(k)z
k
D´o l`a khai triˆe
’
nmuˆo
´
n t`ım. H`am F (z)chı
’
nh h`ınh trong h`ınh tr`on do
.

a z
f(z)=F [ϕ(z)] = F (w),w= ϕ(z)
v`a c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
nsaudˆay du
.
o
.
.
c tho
’
a m˜an
1
+
. h`am w = ϕ(z) chı
’
nh h`ınh trong lˆan cˆa
.
ndiˆe
’
m z = a;
2
+
. h`am F (w) chı
’
nh h`ınh trong lˆan cˆa
.

`
ng
ph´ep thˆe
´
chuˆo
˜
i theo l˜uy th`u
.
acu
’
a z − a d
ˆo
´
iv´o
.
i h`am ϕ(z) v`ao chuˆo
˜
i theo l˜uy
300 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’

`
ng c´ach thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep nhˆan chuˆo
˜
iv`acˆo
.
ng c´ac hˆe
.
sˆo
´
cu
’
a
c´ac l˜uy th`u
.
ac`ung bˆa
.
c.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
ϕ(z)=b +

Do d
´o khi |z| <ρ,diˆe
’
m w = ϕ(z) thuˆo
.
c h`ınh tr`on hˆo
.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i (4.16).
V`ı F (w)chı
’
nh h`ınh trong h`ınh tr`on |w − b| <R, c`on ϕ(z)chı
’
nh h`ınh trong
h`ınh tr`on |z − a| <ρv`a gi´a tri
.
cu
’
a n´o thuˆo
.
ch`ınh tr`on |w− b| <Rnˆen h`am
ho
.
.
p

a chuˆo
˜
id
´o.
X´et khai triˆe
’
n
f(z)=F [ϕ(z)] =

n0
A
n
[ϕ(z) − b]
n
=

n0
A
n


m1
a
m
(z − a)
m

n
(4.17)
hˆo

’
a n´o ta thay ρ bo
.
’
isˆo
´
khˆong l´o
.
nho
.
n
n´o l`a 0 <ρ

 ρ sao cho trong h`ınh tr`on |z − a| <ρ

th`ı
|ϕ(z) − b| <
R
2
·
V`ı chuˆo
˜
i (4.16) hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
u khi |w − b| <

.
o
.
.
cb˘a
`
ng c´ach lˆa
´
ytˆo
’
ng c´ac hˆe
.
sˆo
´
c`ung sˆo
´
hiˆe
.
u trong khai triˆe
’
ncu
’
amˆo
˜
i
h`am u
n
(z)=A
n
[ϕ(z) − b]

v´o
.
ich´ınh n´o. Chuˆo
˜
i

n0
u
n
(z)hˆo
.
itu
.
dˆe
`
uv`agˆo
`
mt`u
.
c´ac h`am chı
’
nh h`ınh nˆen c´o thˆe
’
´ap du
.
ng d
i
.
nh
l´y 4.1.6. T`u

.
cch´u
.
ng
minh.
V´ı d u
.
. T`ım bˆo
´
nsˆo
´
ha
.
ng dˆa
`
u tiˆen cu
’
a khai triˆe
’
n h`am f(z)=e
sin z
th`anh
chuˆo
˜
i Taylor v´o
.
i tˆam a =0.
Gia
’
i. Thay t = sin z v`ao d

1!
+
sin
2
z
2!
+ ···+
sin
n
z
n!
+ ...
T`u
.
d
´o ta c´o
e
sin z
=1+

z −
z
3
3!
+ ...

+
1
2!
