Mặt biến phức và Hàm biến phức

Chương 1. Mặt phẳng phức và hàm biến phức
Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 10-104.Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Mặt phẳng phức, Khai căn số phức,
Môđun, Acgumen, Topo trên mặt phẳng phức, Phần trong và phần ngoài, Điểm
tụ, Điểm biên, Tập compact, Tập liên thông, Phép đồng luân, Ánh xạ đơn diệp,
Tính liên tục, Tính liên tục đều, Chuỗi trong miền phức, Hàm argz.


.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c........ 11
1.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c ................. 12
1.1.2 Da
.
ng da
.
isˆo
´
cu
’
asˆo

1.1.7 Da
.
ng m˜u cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c ................ 29
1.1.8 Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
m˘a
.
t ph˘a
’
ng mo
.
’
rˆo
.
ng ......... 30
1.1.9 Khoa
’
ng c´ach trˆen C ................. 33
1.2 C´ac kh´ai niˆe
.
m tˆopˆo co
.

´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 11
1.2.4 Biˆen cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p................... 40
1.2.5 Tˆa
.
pho
.
.
p comp˘a
´
c ................... 41
1.2.6 Tˆa
.
pho
.

c.................... 59
1.3.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa h`am biˆe
´
nph´u
.
c ............. 59
1.3.2 C´ac v´ı du
.
vˆe
`
´anh xa
.
do
.
ndiˆe
.
p............ 62
1.3.3 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
ah`am .................. 64
1.3.4 T´ınh liˆen tu
.

.
c v`a su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
an´o......... 75
1.4.3 D˜ay v`a chuˆo
˜
ih`am .................. 79
1.4.4 Chuˆo
˜
il˜uyth`u
.
a.................... 85
1.4.5 Su
.
.
hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
u trˆen t`u

a h`am arg z ....... 98
1.6 B`ai tˆa
.
p......................... 100
1.1 Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
tph˘a
’
ng ph´u
.
c
Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c c´o hai cˆa

u,
12 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
t´u
.
c l`a m˘a
.
t ph˘a
’
ng). Do d
´otˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´

.
p
ho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c.
1.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c
Ta x´et phu
.
o
.
ng tr`ınh
x
2
+1=0.
R˜o r`ang l`a phu
.
o

ul`aC) tho
’
a
m˜an c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
n sau dˆay:
1. C l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng;
2. R ⊂ C;
3. Phu
.
o
.
ng tr`ınh x
2
+ 1 = 0 c´o nghiˆe
.
m trong C.
V`ıtˆa
.
pho
.

.
ctacˆa
`
nd
`oi ho
’
ir˘a
`
ng khi ´ap du
.
ng cho
c´ac sˆo
´
thu
.
.
c c´ac ph´ep to´an d
´odu
.
ala
.
ikˆe
´
t qua
’
nhu
.
kˆe
´
t qua

ng
du
.
ng trong c´ac vˆa
´
nd
ˆe
`
cu
’
a gia
’
i t´ıch th`ı ta cˆa
`
nd`oi ho
’
ir˘a
`
ng c´ac ph´ep to´an co
.
ba
’
nd
u
.
o
.
.
cd
u

˜
ic˘a
.
psˆo
´
thu
.
.
c c´o th´u
.
tu
.
.
(a, b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R d
u
.
o
.
.
c
go
.
i l`a mˆo
.
t sˆo
´
ph´u
.
c nˆe
´

I. (a, b)=(c, b) ⇔



a = c
b = d.
II. Ph´ep cˆo
.
ng: (a, b)+(c, d)
def
=(a + c, b + d)
1
v`a c˘a
.
p(a + c, b + d)du
.
o
.
.
c
go
.
il`atˆo
’
ng cu
’
a c´ac c˘a
.
p(a, b)v`a(c, d).
1

def
=(ac − bd, ad + bc) v`a c˘a
.
p(ac − bd, ad + bc)
d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`at´ıch cu
’
a c´ac c˘a
.
p(a, b)v`a(c, d).
IV. C˘a
.
p(a, 0) d
u
.
o
.
.
cd
ˆo
`
ng nhˆa
´

.
vˆa
.
ymo
.
i phˆa
`
ncu
’
ad
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
cd
ˆe
`
udu
.
o
.
.
c ph´at biˆe
’
ub˘a
`
ng ngˆon
ng˜u

mb˘a
`
ng nhau, tˆo
’
ng v`a t´ıch c´ac sˆo
´
ph´u
.
c.
Do d
´oviˆe
.
cdˆo
´
i chiˆe
´
u c´ac tiˆen dˆe
`
d´ov´o
.
i nhau s˜e khˆong dˆa
˜
nd
ˆe
´
nbˆa
´
tc´u
.
mˆau

ng nhau, tˆo
’
ng v`a t´ıch c´ac sˆo
´
thu
.
.
cc´o´y
ngh˜ıa ho`an to`an x´ac d
i
.
nh v`a do d´onˆe
´
u c´ac kh´ai niˆe
.
m n`ay khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch
v´o
.
inh˜u
.
ng kh´ai niˆe
.
md
u
.
o

.
c pha
’
i loa
.
itr`u
.
tiˆen d
ˆe
`
IV.
Do d
´o ta cˆa
`
ndˆo
´
i chiˆe
´
u tiˆen dˆe
`
IV v´o
.
i c´ac tiˆen d
ˆe
`
I, II v`a III.
1) I - IV. Gia
’
su
.

`
Itac´o
(a, 0) = (b, 0) ⇔ a = b,t´u
.
cl`anˆe
´
uch´ung b˘a
`
ng nhau theo ngh˜ıa thˆong thu
.
`o
.
ng.
2) II - IV. Theo tiˆen d
ˆe
`
II, tˆo
’
ng hai sˆo
´
thu
.
.
c a v`a c d
u
.
o
.
.
cx´et nhu

ng tˆo
’
ng a + c theo ngh˜ıa thˆong thu
.
`o
.
ng.
3) III - IV. Theo tiˆen d
ˆe
`
III, t´ıch c´ac sˆo
´
thu
.
.
c a v`a b d
u
.
o
.
.
cx´et nhu
.
nh˜u
.
ng
c˘a
.
p(a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘a
`

= ac
t´u
.
cl`ad
ˆo
`
ng nhˆa
´
tb˘a
`
ng t´ıch a v´o
.
i c theo ngh˜ıa thˆong thu
.
`o
.
ng.
Nhu
.
vˆa
.
y tiˆen d
ˆe
`
IV tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.

m(a, b)=(m, 0)(a, b)=(ma − 0 · b, mb +0· a)
=(ma, mb).
Nˆe
´
u m ∈ N th`ı theo II ta c´o
(a, b)+(a, b)=(2a, 2b);
(2a, 2b)+(a, b)=(3a, 3b),...
t´u
.
cl`a(ma, mb)l`akˆe
´
t qua
’
cu
’
a ph´ep cˆo
.
ng liˆen tiˆe
´
p m sˆo
´
ha
.
ng b˘a
`
ng (a, b).
D
iˆe
`
ud´oph`uho

.
i ph´ep cˆo
.
ng m sˆo
´
ha
.
ng b˘a
`
ng nhau.
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng c´ac tiˆen d
ˆe
`
II v`a III l`a tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i nhau v`a c´ac
quy luˆa
.
t thˆong thu
.

.
o
.
ng nhiˆen pha
’
ic˘a
´
tbo
’
mo
.
i quy luˆa
.
tc´o
quan hˆe
.
t´o
.
idˆa
´
u >).
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.2. Gia
’
su
.
’

o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`a
z:
z =(a,−b).
Ta c´o d
i
.
nh l´y sau dˆay:
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 15
D
-

’
i v´o
.
it´ınh chˆa
´
t i
2
= −1; phˆa
`
ntu
.
’
i n`ay d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`a
d
o
.
nvi
.
a
’
o.
Ch´u

’
-
khˆong cu
’
a C l`a c˘a
.
p(0, 0) v`ı r˘a
`
ng (a, b)+(0, 0) = (a +0,b+0)=(a, b).
D
ˆe
’
ch´u
.
ng to
’
C l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng ta chı
’
cˆa
`
nkiˆe
’
m nghiˆe
.

imˆo
.
t tru
.
`o
.
ng l`a hiˆe
’
n
nhiˆen). Gia
’
su
.
’
z =(a, b) =(0, 0) (t´u
.
cl`aa
2
+ b
2
> 0). Ta s˜e t`ım z

=(a

,b

)
sao cho
(a, b)(a


= −
b
a
2
+ b
2
.Nhu
.
vˆa
.
y
z

=

a
a
2
+ b
2
,−
b
a
2
+ b
2

,
v`a r˜o r`ang l`a
z · z

2

=(1, 0).
Vˆe
`
sau phˆa
`
ntu
.
’
nghi
.
ch d
a
’
o z

cu
’
a z thu
.
`o
.
ng d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe

ng con cu
’
a C.Tax´et ´anh xa
.
t`u
.
R v`ao R

a → (a, 0).
16 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng nˆe
´

´
ugi˜u
.
a R v`a R

v`a ph´ep d˘a
’
ng cˆa
´
u n`ay
cho ph´ep ta xem R nhu
.
l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng con cu
’
a C.
3. Phu
.
o
.
ng tr`ınh x
2
+ 1 = 0 c´o nghiˆe
.
m trong C,t´u

.
ng:
(a, b)(a, b)+(1, 0) = (0, 0),
hay l`a
a
2
− b
2
+1=0,
2ab =0.
T`u
.
d
´or´ut ra a =0,b =1v`aa =0,b = −1. Ta k´y hiˆe
.
u hai nghiˆe
.
md´ol`a
i =(0, 1) v`a −i =(0,−1).
1.1.2 Da
.
ng da
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u

ng
z =(a, b)=a + ib.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o
z =(a, b)=(a, 0)+(b, 0)(0, 1) = a + ib.
Ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b)du
.
´o
.
ida
.
ng a + ib d
u
.
o
.
.

n thu
.
.
c cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 17
z v`a k´y hiˆe
.
ul`aa =Re[z], sˆo
´

.
t sˆo
´
thuˆa
`
na
’
o.V´o
.
i quan d
iˆe
’
m c´ac ph´ep to´an trong tru
.
`o
.
ng c´ac sˆo
´
ph´u
.
c, sˆo
´
thuˆa
`
n
a
’
o bi c´o thˆe
’
hiˆe

ng cu
’
asˆo
´
thu
.
.
c a v´o
.
isˆo
´
thuˆa
`
na
’
o ib.
Do d
´o trong c´ach xˆay du
.
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c n`ay ta d
˜asu
.
’
du
.

.
i.
Hˆe
.
qua
’
. Gia
’
su
.
’
z = a + ib ∈ C. Khi d
´osˆo
´
ph´u
.
cliˆen ho
.
.
p
z c´o thˆe
’
biˆe
’
u diˆen
du
.
´o
.
ida

ph´ep lˆa
´
y liˆen ho
.
.
p.
D
-
i
.
nh l´y 1.1.3. Gia
’
su
.
’
z, z
1
v`a z
2
∈ C. Khi d´o
1.
z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
;

2
= a
2
+ ib
2
. Khi d´o
z
1
+ z
2
=(a
1
+ a
2
) − i(b
1
+ b
2
)
=(a
1
− ib
1
)+(a
2
− ib
2
)=z
1
+ z

=(a
1
− ib
1
)(a
2
− ib
2
)=z
1
· z
2
.
3. Hiˆe
’
n nhiˆen.
2
C´ac k´y hiˆe
.
u Re v`a Im xuˆa
´
thiˆe
.
n do viˆe
.
cviˆe
´
tt˘a
´
t c´ac t`u

.
ctr`ung v´o
.
isˆo
´
liˆen ho
.
.
pv´o
.
i n´o khi v`a chı
’
khi n´o l`a sˆo
´
thu
.
.
c.
Dˆe
˜
thˆa
´
y ´anh xa
.
t`u
.
tˆa
.
pho
.

.
.
d
˘a
’
ng cˆa
´
ucu
’
a C (Ba
.
ndo
.
c h˜ay tu
.
.
kiˆe
’
m tra !).
1.1.3 Ph´ep tr`u
.
v`a ph´ep chia sˆo
´
ph´u
.
c
C´ac ph´ep to´an tr`u
.
v`a chia d
u

.
nh l´y 1.1.4. Gia
’
su
.
’
z
1
v`a z
2
∈ C. Khi d´otˆo
`
nta
.
imˆo
.
t v`a chı
’
mˆo
.
tsˆo
´
ph´u
.
c
z sao cho z
1
+ z = z
2
,cu

y z =(−z
1
)+z
2
tho
’
am˜and`oi ho
’
icu
’
adi
.
nh l´y.
2. Ngu
.
o
.
.
cla
.
i, nˆe
´
u z
1
+ z = z
2
th`ı (−z
1
)+(z
1

.
c z =(−z
1
)+z
2
du
.
o
.
.
cgo
.
il`ahiˆe
.
u cu
’
a c´ac sˆo
´
ph´u
.
c z
2
v`a z
1
. Thˆong
thu
.
`o
.
ng hiˆe

z = z
2
− z
1
=(a
2
− a
1
)+i(b
2
− b
1
).
D
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep chia ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 1.1.5. Gia
’
su
.
’
z
1

z
1
.
Ch´u
.
ng minh. 1. Nˆe
´
u z = z
−1
2
z
1
th`ı z
2
z = z
2
(z
−1
2
z
1
)=z
1
.
2. Nˆe
´
u z
2
z = z
1

.
ysˆo
´
z
−1
2
z
1
l`a thu
.
o
.
ng cu
’
a ph´ep chia z
1
cho z
2
.
Sˆo
´
thu
.
o
.
ng thu
.
`o
.
ng d

, z
2
= a
2
+ ib
2
. Khi d´o ta c´o thˆe
’
viˆe
´
t:
z =
z
1
z
2
=
z
1
· z
2
z
2
· z
2
=
(a
1
+ ib
1

1
− a
1
b
2
a +2
2
+ b
2
2
·
Nhu
.
vˆa
.
y
z =
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2
2
+ b
2

.
c
hiˆe
.
nd
u
.
o
.
.
c.
1.1.4 M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c
Gia
’
su
.
’
trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng R
2
cho hˆe

Descartes vuˆong g´oc tr`ung nhau
khi v`a chı
’
khi ch´ung c´o ho`anh d
ˆo
.
b˘a
`
ng nhau v`a tung dˆo
.
b˘a
`
ng nhau. Do d´o
ta c´o thˆe
’
x´ac lˆa
.
pmˆo
.
tph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
o
.
n tri
.

´
ph´u
.
c z = x+iy ∈ C s˜e
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v`o
.
id
iˆe
’
m ho`an to`an x´ac di
.
nh M(x, y) ∈ R
2
v`a ngu
.
o
.
.
cla
.
imˆo
˜
id
iˆe

ng ´u
.
ng
R
2
 (x, y) → x + iy ∈ C
l`a d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t. T`u
.
d
´o ta thˆa
´
yr˘a
`
ng mo
.
isˆo
´
ph´u
.
cd
ˆe

ph´u
.
c z”v`a“d
iˆe
’
m z”
d
u
.
o
.
.
cd`ung nhu
.
nh˜u
.
ng t`u
.
d
ˆo
`
ng ngh˜ıa.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.3. M˘a
.
t ph˘a
’

.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
nhu
.
d
˜a m ˆo t a
’
o
.
’
trˆen d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`am˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a c˜ung d
u

’
sˆo
´
ph´u
.
cgo
.
i l`a m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c. C´ac sˆo
´
thu
.
.
cd
u
.
o
.
.
c mˆo ta
’
bo
.
’
i c´ac

.
c
mˆo ta
’
bo
.
’
i c´ac d
iˆe
’
m trˆen tru
.
c Oy nˆen tru
.
c Oy du
.
o
.
.
cgo
.
il`atru
.
ca
’
o.
Ta c˜ung c´o thˆe
’
x´ac lˆa
.

.
cu
’
a vecto
.
v´o
.
igˆo
´
c, ch˘a
’
ng ha
.
n, ta
.
igˆo
´
cto
.
ad
ˆo
.
.Su
.
.
tu
.
o
.
ng ´u

ng d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t. Do d
´o s ˆo
´
ph´u
.
c z c`on c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
nbo
.
’
imˆo
.
t vecto
.
v´o
.
igˆo

.
ng thuˆa
.
tng˜u
.
d
ˆo
`
ng ngh˜ıa.
Nh`o
.
c´ach minh ho
.
a vecto
.
d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac sˆo
´
ph´u
.
c, vˆe
`
m˘a
.
th`ınh ho
.

.
c
Bˆay gi`o
.
ta x´et c´ac to
.
ad
ˆo
.
cu
.
.
ccu
’
ad
iˆe
’
mbiˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c z b˘a
`
ng c´ach cho
.
n

c.
Nhu
.
ta biˆe
´
t, c´ac to
.
ad
ˆo
.
cu
.
.
ccu
’
ad
iˆe
’
mgˆo
`
m c´o b´an k´ınh vecto
.
cu
’
a n´o (b˘a
`
ng
khoa
’
ng c´ach t`u

a tru
.
ccu
.
.
c v`a vecto
.
d
it`u
.
cu
.
.
cd
ˆe
´
ndiˆe
’
m z.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.4. D
ˆo
.
d`ai cu
’
a b´an k´ınh-vecto
.

.
ul`a|z|.
R˜o r`ang l`a nˆe
´
u z = a + ib th`ı
|z| =
√
zz =(a
2
+ b
2
)
1/2
.
D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z ∈ C bˆa
´
tk`y mˆod
un cu
’
a n´o x´ac di
.

ˆo
´
icu
’
a n´o.
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 21
D
-
i
.
nh l´y 1.1.6. Mˆodun cu
’
asˆo
´
ph´u

Ch´u
.
ng minh. 1. D
u
.
o
.
.
c suy t`u
.
d
i
.
nh ngh˜ıa.
2. Ta c´o |z
1
z
2
|
2
= z
1
z
2
· z
1
z
2
= z
1

2
=(z
1
+ z
2
)(z
1
+ z
2
)=|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
+ 2Re(z
1
z
2
).
Do d
´o, dˆe
’
´ydˆe
´
nbˆa
´
td˘a

|
2
+2|z
1
z
2
| =(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
)
2
th`anh thu
.
’
|z
1
+ z
2
|  |z
1
| + |z
2
|
Nhˆa
.

v`a z
2
v`a da
.
ilu
.
o
.
.
ng |z| l`a d
ˆo
.
d`ai cu
’
a b´an
k´ınh-vecto
.
z.
Hˆe
.
qua
’
a) |z
1
− z
2
|  |z
1
| + |z
2

|


;
e) |z
1
− z
2
| 


|z
1
|−|z
2
|


.
22 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe

2
|.
b) D
ˆe
’
ch´u
.
ng minh b) ta ´ap du
.
ng a) cho
z
1
=(z
1
+ z
2
) − z
2
.
Ta c´o
|z
1
|  |z
1
+ z
2
| + |z
2
|⇒|z
1

|−|z
2
| v`a |z
1
+ z
2
|  |z
2
|−|z
1
|.Dod´o
−|z
1
+ z
2
|  |z
1
|−|z
2
|  |z
1
+ z
2
|⇔


|z
1
|−|z
2

.
T`u
.
bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c tam gi´ac, dˆe
˜
d`ang suy ra r˘a
`
ng



n

k=1
z
k




n

k=1

|−|z
2
|−···−|z
n
|. (1.2)
C´o thˆe
’
xem c´ac bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c (1.1) v`a (1.2) nhu
.
nh˜u
.
ng bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c
tˆo
’
ng qu´at d
ˆo

.
c z = a + ib =0.
Ta d
˘a
.
t r = |z| =
√
a
2
+ b
2
.V`ı a
2
 r
2
, b
2
 r
2
nˆen



a
r



 1v`a


imo
.
i x ∈ [0, 1] tˆo
`
nta
.
imˆo
.
t v`a chı
’
mˆo
.
tsˆo
´
y ∈

0,
π
2

sao
cho sin y = x.T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng tˆo
`
nta
.

+

b
r

2
=1
nˆen
a
r
= ± cos α
0
,
b
r
= ± sin α
0
.
D
˘a
.
t α = α
0
.Nˆe
´
u a<0 th`ı thay α b˘a
`
ng π − α.Nˆe
´
u b<0 th`ı thay α

i
.
nh ngh˜ıa 1.1.5. Sˆo
´
thu
.
.
c α tho
’
a m˜an hˆe
.
(1.3) d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aacgumen cu
’
a
sˆo
´
ph´u
.
c z v`a d
u
.
o

.
o
.
ng cu
’
a tru
.
c thu
.
.
cv´o
.
i vecto
.
z nhˆa
.
nhu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.
.
cchiˆe
`
u kim
d
ˆo

´
t c´o acgumen khˆong x´ac d
i
.
nh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, z =0⇔ Re z =Imz =0,
do d
´ot`u
.
(1.3) suy ra arg 0 khˆong x´ac d
i
.
nh.
Acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
cd
u
.
o
.
.
c x´ac d
i

tcu
’
a acgumen cu
’
a z du
.
o
.
.
c t´ınh theo hu
.
´o
.
ng
du
.
o
.
ng. Sau khi thu
.
.
chiˆe
.
nmˆo
.
tsˆo
´
v`ong quay to`an phˆa
`
n vecto

n gia
’
n nhˆa
´
tcu
’
a acgumen theo
24 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
hu
.
´o
.
ng ˆam s˜e l`a −(2π− ϕ
0
)=ϕ
0

’
c´ac gi´a tri
.
c´o thˆe
’
c´o cu
’
a acgumen cu
’
a
z s˜e d
u
.
o
.
.
cchobo
.
’
i cˆong th´u
.
c ϕ = ϕ
0
+2kπ, k ∈ Z.Nhu
.
vˆa
.
y, mo
.
isˆo

.
tbˆo
.
i nguyˆen cu
’
a2π.
Tac´othˆe
’
tr´anh d
u
.
o
.
.
ct´ınhd
a tri
.
cu
’
a acgumen nˆe
´
ud˘a
.
t thˆem diˆe
`
ukiˆe
.
n
d
ˆe

a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
nv`u
.
anˆeud
u
.
o
.
.
cgo
.
il`agi´a
tri
.
ch´ınh cu
’
a acgumen v`a d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
u l`a arg z. Thˆong thu
.

ph´u
.
c z bˆa
´
tk`y luˆon luˆon tˆo
`
nta
.
i gi´a
tri
.
duy nhˆa
´
tcu
’
a acgumen tho
’
am˜and
iˆe
`
ukiˆe
.
nv`u
.
a nˆeu.
T`u
.
d
i
.

+ π, khi a<0,b 0,
arctg
b
a
− π, khi a<0,b<0.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, v`ı gi´a tri
.
ch´ınh cu
’
a arctg
b
a
thuˆo
.
c khoa
’
ng

−
π
2
,
π
2

.
th´u
.
II (a<0,b 0) th`ı
−
π
2
< arctg
b
a
 0
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 25
v`a
arg z = arctg
b

π
2
< arctg
b
a
<
π
2
l`a nh˜u
.
ng gi´a tri
.
ch´ınh th`ı tu
.
o
.
ng tu
.
.
ta c´o
arg(a + ib)=










´
ph´u
.
c ta c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
co
.
’
mˆo
.
tda
.
ng kh´ac tiˆe
.
nlo
.
.
iho
.
n trong viˆe
.
c thu

cgo
.
il`ada
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z.
D
-
i
.
nh l´y 1.1.7. Mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =0d
ˆe
`
u c´o thˆe

.
.
sai
kh´ac mˆo
.
tsˆo
´
ha
.
ng bˆo
.
i nguyˆen cu
’
a 2π.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
z = a + ib = 0. Khi d
´o
z = a + ib = |z|

a
|z|
+ i
b
|z|

z l`a: r(cos α
1
+ i sin α
1
)=r(cos α
2
+
i sin α
2
)th`ı khi z = 0 ta c´o r =0v`adod´o cos α
1
= cos α
2
v`a sin α
1
= sin α
2
.
Do d
´o
α
1
= α
2
+2kπ, k ∈ Z.
Vˆe
`
sau, thay v`ıviˆe
´
t α

.
’
z
1
= ρ
1
(cos ϕ
1
+i sin ϕ
1
) v`a z
2
= ρ
2
(cos ϕ
2
+i sin ϕ
2
).
Khi d
´o
1. z
1
= z
2
⇔ ρ
1
= ρ
2
v`a ϕ

2
[cos(ϕ
1
− ϕ
2
)+i sin(ϕ
1
− ϕ
2
)], z
2
=0.
Ch´u
.
ng minh. Ph´ep ch´u
.
ng minh d
u
.
o
.
.
c suy tru
.
.
ctiˆe
´
pt`u
.
cˆong th´u

1
z
2



=
|z
1
|
|z
2
|
,
arg
z
1
z
2
≡ arg z
1
− arg z
2
(mod 2π).
B˘a
`
ng phu
.
o
.

uha
.
n n th`u
.
asˆo
´
.Cu
.
thˆe
’
ta c´o
|z
1
z
2
···z
n
| = |z
1
|·|z
2
|···|z
n
|,
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo

z
1
= z
2
= ··· = z
n
= z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). Khi d´o
dˆe
˜
thˆa
´
y l`a: |z
n
| = |z|
n
, arg(z
n
) ≡ narg z(mod2π)[ρ(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
=
ρ
n
(cos nϕ + i sin nϕ). Khi ρ = 1 ta thu du
.
o
.
.
c cˆong th´u
.
c Moivre:

(cos ϕ + i sin ϕ)
k
= (cos ϕ + i sin ϕ)
−n
=
1
(cos ϕ + i sin ϕ)
n
=
1
(cos nϕ + i sin nϕ)
=
(cos nϕ − i sin nϕ)
(cos
2
nϕ + sin
2
nϕ)
= cos(−nϕ)+i sin(−nϕ) = cos kϕ + i sin kϕ.
Nhu
.
vˆa
.
y cˆong th´u
.
c Moivre d
´ung v´o
.
imo
.

cdˆa
˜
nvˆe
`
ph´ep quay vecto
.
z
1
xung quanh gˆo
´
cto
.
adˆo
.
mˆo
.
t g´oc b˘a
`
ng
arg z
2
v`a tiˆe
´
pdˆe
´
n l`a ph´ep gi˜an |z
2
| lˆa
`
n(nˆe

1
v´o
.
i1/z
2
. Bˆay gi`o
.
ta
nˆeu ra su
.
.
gia
’
i th´ıch h`ınh ho
.
cph´ep to´an w =1/z.
Gia
’
su
.
’
|z| < 1. T`u
.
d
iˆe
’
m z ta ke
’
du
.

´
p tuyˆe
´
nv´o
.
id
u
.
`o
.
ng
tr`on d
o
.
nvi
.
v`a gia
’
su
.
’
tiˆe
´
p tuyˆe
´
nd
´oc˘a
´
t tia Oz ta
.

.
d
iˆe
’
m z dˆe
´
n
d
iˆe
’
m1/z du
.
o
.
.
cgo
.
il`aph´ep d
ˆo
´
ix´u
.
ng qua d
u
.
`o
.
ng tr`on d
o
.

.
c thu
.
.
c.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p |z| > 1 th`ı ph´ep du
.
.
ng d
˜a mˆo ta
’
cˆa
`
ntiˆe
´
n h`anh theo
th´u
.
tu
.
.
ngu
.

n sang x´et ph´ep khai c˘an c´ac sˆo
´
ph´u
.
c. D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c
z ∈ C cho tru
.
´o
.
c, ta gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh z = w
n
.Tˆa
.
pho
.

.
c z.
D
-
i
.
nh l´y 1.1.9. Gia
’
su
.
’
z ∈ C v`a n ∈ N. Khi d
´otˆo
`
nta
.
id´ung n gi´a tri
.
cu
’
a
c˘an bˆa
.
c n cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c kh´ac 0: z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). C´ac gi´a tri

thiˆe
´
t k nhˆa
.
n c´ac gi´a tri
.
, ch˘a
’
ng ha
.
n 0, 1, 2,...,n− 1.
Ch´u
.
ng minh. 1. Ta s˜e t`ım w du
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac w = r(cos α + i sin α).
Khi d
´od˘a
’
ng th´u
.

⇒





r =
n
√
ρ,
α ≡
ϕ +2kπ
n
,k∈ Z.
Do d
´o c´ac c˘an bˆa
.
n n cu
’
asˆo
´
z tˆo
`
nta
.
iv`adu
.
o
.
.

= w
k
2
⇔ k
1
≡ k
2
(mod n). Thˆa
.
tvˆa
.
y
w
k
1
= w
k
2
⇔
ϕ +2k
1
π
n
=
ϕ +2k
2
π
n
+2πm, m ∈ Z.
Nhu

1
− k
2
n
= m ∈ Z ⇒ k
1
= k
2
(mod n).
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 29
Nhu
.
vˆa
.
y

.
cho sˆo
´
b´e) b´e ho
.
n n v`a do d
´o khˆong chia hˆe
´
tchon.Dod´o ta t`ım
d
u
.
o
.
.
ctˆa
´
tca
’
c´ac gi´a tri
.
kh´ac nhau cu
’
a w
k
nˆe
´
u k =0, 1,...,n− 1.
V´ı du
.

= cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,k=0, 1,...,n− 1. (1.7)
Vˆe
`
phu
.
o
.
ng diˆe
.
n h`ınh ho
.
c, c´ac d
iˆe
’
m w
0
,w
1
,...,w
n−1
ch´ınh l`a c´ac dı
’
nh cu
’

, k =0, 1,...,n− 1dˆe
`
ub˘a
`
ng nhau v`a khi chuyˆe
’
nt`u
.
w
k
dˆe
´
n w
k+1
acgumen du
.
o
.
.
c t˘ang lˆen 2π/n. Sau n lˆa
`
n chuyˆe
’
nnhu
.
thˆe
´
ta tro
.
’

’
asˆo
´
ph´u
.
c
Dˆe
’
do
.
n gia
’
n c´ach viˆe
´
t c´ac sˆo
´
ph´u
.
ctad
˘a
.
t
cos ϕ + i sin ϕ
def
= e
iϕ
. (1.8)
(D
ˆe
’

su
.
.
d
´ung d˘a
´
ncu
’
a cˆong th´u
.
c
(1.8)).
T`u
.
(1.8) ta c´o
z = ρe
iϕ
. (1.9)
D
´ol`ada
.
ng sˆo
´
m˜u cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c.

’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
1. z
1
z
2
= ρ
1
ρ
2
e
i(ϕ
1
+ϕ
2
)
2.
z
1
z
2
=
ρ
1

.
(1.8) v`a (1.9) v`a b˘a
`
ng c´ach thay ϕ bo
.
’
i −ϕ ta c´o
cos ϕ =
1
2
(e
iϕ
+ ie
−iϕ
),
sin ϕ =
1
2i
(e
iϕ
− e
−iϕ
).





(1.10)
C´ac cˆong th´u

ihˆe
.
to
.
ad
ˆo
.
Descartes vuˆong g´oc (ξ, η, ζ)
ta x´et m˘a
.
tcˆa
`
uv´o
.
i tˆam ta
.
id
iˆe
’
m

0, 0,
1
2

v´o
.
i b´an k´ınh b˘a
`
ng

igˆo
´
cto
.
ad
ˆo
.
v`a tru
.
c thu
.
.
ccu
’
am˘a
.
t
ph˘a
’
ng z tr`ung v´o
.
i tru
.
c {η =0,ζ =0}, c`on tru
.
ca
’
o th`ı tr`ung v´o
.
i tru

’
m z ∈ C v´o
.
icu
.
.
cb˘a
´
c P b˘a
`
ng d
oa
.
n th˘a
’
ng. D
oa
.
n th˘a
’
ng n`ay c˘a
´
t
m˘a
.
tcˆa
`
u S ta
.
id

.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
cta
.
id
iˆe
’
m z.Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng
d
´o l `a m ˆo
.
tph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
o
.
n tri
.
mˆo

.
ng
π : C  z → A(z) ∈ S
nhu
.
d
˜a mˆo ta
’
o
.
’
trˆen d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aph´ep chiˆe
´
unˆo
’
i v´o
.
icu
.
.
cta
.

i
.
nh l´y 1.1.10. Trong ph´ep chiˆe
´
unˆo
’
i
π : C  z → A(z) ∈ S
d
iˆe
’
m x = x + iy ∈ C s˜etu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
id
iˆe
’
m A(z) ∈ S c´o to
.
adˆo
.
l`a
ξ =
x
1+|z|

Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, v`ıbad
iˆe
’
m P (0, 0, 1), A(z)=(ξ, η, ζ)v`az =(x, y, 0)
c`ung n˘a
`
m trˆen mˆo
.
td
u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng nˆen c´ac to
.
ad
ˆo
.
cu
’
ach´ung pha
’

’
´yr˘a
`
ng
|z|
2
=
ξ
2
+ η
2
(1 − ζ)
2
v`a ξ
2
+ η
2
+

ζ −
1
2

2
=
1
4
ta thu d
u
.

.Thˆe
´
gi´a tri
.
ζ v`ao (1.12) ta t`ım du
.
o
.
.
c
ξ =
x
1+|z|
2
,η=
y
1+|z|
2
·
Hiˆe
’
n nhiˆen trong ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i π,diˆe
’
m P (0, 0, 1) khˆong tu
.
o

.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c C b˘a
`
ng c´ach thˆem cho n´o d
iˆe
’
m xa vˆo c`ung
duy nhˆa
´
t (go
.
it˘a
´
t d
iˆe
’
mvˆoc`ung)tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´

.
o
.
.
cgo
.
il`am˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
cmo
.
’
rˆo
.
ng v`a k´yhiˆe
.
ul`a
C.
Nhu
.
vˆa
.
y
C = C∪{∞} v`a C khˆong pha
’
il`amˆo
.

n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
tgi˜u
.
a c´ac
d
iˆe
’
mcu
’
a C v`a c´ac diˆe
’
mcu
’
a S \{P}.
Hiˆe
’
n nhiˆen khi |z|→∞th`ı d
iˆe
’
m A(z)s˜edˆa
`
ndˆe
´
ndiˆe
’

nd
´o t a r ´ut ra kˆe
´
t luˆa
.
nr˘a
`
ng ph´ep chiˆe
´
unˆo
’
i π : C → S \{P}
c´o thˆe
’
th´ac triˆe
’
n v`ao
C th`anh
π
∗
: C → S
b˘a
`
ng c´ach d
˘a
.
t
π
∗
