Nguyễn Tăng Vũ 1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2008 – 2009
Trường Phổ Thông Năng Khiếu MÔN THI: TOÁN
Lớp 11. Thời gian: 90 phút

(Đề thi chung cho các lớp 11 Tin, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh, A, D)

Câu 1. a)Tính
2
2
2
56
lim
616
x
xx
xx
→
−+
+−

b) Tính
()
()
()
2
41
lim 2

;4
M
Mx −

Câu 3. a) Tính đạo hàm của hàm số
2
cos
31
2
x
yx
x
=+−
+

b) Chứng minh phương trình
3
510xx−+=
có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.
Câu 4. Cho hình chóp
.SABCD
,
( ) ( )
SAB ABC
⊥
. Tam giác
ABS
đều có tâm
I
,


Hướng dẫn giải
Câu 1.
a) Ta có
( )( )
()()
2
2
22 2
23
56 323 1
lim lim lim
616 2 8 828 10
xx x
xx
xx x
xx x x x
→→ →
−−
−+ − −
====−
+− − + + +

b) Ta có

()
()
()
()( )
()( )

xx
→−∞ →−∞
→−∞ →−∞ →−∞
++
+
+=−=
−+
−+
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
++ ++
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
++
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠
=− =− =− =−
−
⎛⎞ ⎛⎞
−−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Câu 2.
31
2
x
y
x
−
=
+


−
−∈ ⇒−= ⇒ =−
+

Ta có
()
()
2
7
17
12
y
′
−= =
−+
.
Vậy phương trình đường thẳng
( )
d
tiếp xúc với
( )
C
tại
( )
1; 4
M
− −
là:
( )
714

x xxx x
y
xx
xx
−+−
++
′
=− =+
++
++

b)
( )
3
51f xx x=−+
. Ta có
f
là hàm số liên tục trên
\

Ta có
( )
13
f
=−
và
( )
313
f
=

S
C
F

a) Vì tam giác
SAB
đều và
I
là tâm tam giác đều nên
SI AB⊥
.
Ta có
()( )
()( )
()
SAB ABC
AB SAB ABC
SI AB
SI ABC
⊥⎧
⎪
=∩
⎨
⎪
⊥
⎩
⇒⊥

Gọi
D

()
2
22 2
32
SC DC SD a a a=+= +=

Tam giác
SAC
có
2SA SC a==
nên cân tại
S

b)
Tam giác
ABC
vuông cân tại
C
có
D
là trung điểm
AB
nên
1
2
CD AB DB DA===
Vì
D
là hình chiếu của
I

( )
ABC
nên góc giữa
SC
và mặt phẳng
()
ABC
là
n
SCD .
Ta có
n n
0
33
sin 60
22
SD a
SCD SCD
SC a
== =⇒ =

Vậy góc giữa
SC
và mặt phẳng
()
ABC
bằng
0
60


a
DF CD FCD a===

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng
SC
và
AB
là
3
2
a

d) Gọi
E
là trung điểm
AC
, ta có
SE AC⊥
(do tam giác
SAC
cân tại
S
)
Trong tam giác
ABC
có DE là đường trung bình nên
//
DE CB DE AC⇒⊥
.
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng

là
0
67 47
′