Chuyên đề đại số ồ Văn Hoàng
1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Chuyển vế :
 a + b = c  a = c – b; ab = c 
0
0
/
b c
b
a c b
 










;
 a/b = c 
0
a bc
b









;
0
b a
a b
a
 

 




0, 0
0
/
;
0
/
b c
b
a c b
a b c a c b ab c
b
a c b
 


p
G
x a p q
x b G
q
G





 

 

 
 












a < x < b(neáu a < b)


0)
* S = x
1
+ x
2
= – b/a ; P = x
1
x
2
= c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức
g(x
1
,x
2
) = 0 không đối xứng, giải hệ pt:
1 2
1 2
0
.
g
S x x
P x x



 








;  x
1
< x
2
< 0 
0
0
0
P
S
 







6. Phương trình bậc 3 : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
a. Viet : A = x
1

là 3 nghiệm phương trình : x
3
– Ax
2
+ Bx – C = 0
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :
 x =   f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a  0) :
3 nghiệm phân biệt 
0
( ) 0f

 




2 nghiệm phân biệt 
0 0
( ) 0 ( ) 0f f
 
   
 

 
 
 
1 nghiệm 
 

a b c
abc
 

. Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
 Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)
2
 (a
2
+ b
2
).(c
2
+ d
2
); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
8. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và
(d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x  I, lập BBT của f với x  I.
9.Tìm m để bpt vô nghiệm, luôn có nghiệm, có nghiệm xI
Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x  I
f(x)  m : (C) dưới (d) (hay cắt); f(x)  m : (C) trên (d) (hay cắt)
ủ đề : Hệ phương trình phương trình đại số
1. Hệ phương trình bậc 1 :
' ' '
ax by c
a x b y c
 

 0 : VN
D = D
x
= D
y
= 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
2. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ĐK : S
2
– 4P  0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S
2
– 4P  0;
Thế S, P vào pt : X
2
– SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
(, ) là nghiệm thì (, ) cũng là nghiệm;
Nghiệm duy nhất   =   m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
3. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương
trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
4. Hệ phương trình đẳng cấp :
2 2
2 2
' ' ' '
ax bxy cy d
a x b xy c y d


hpt
p s
5; 6
5; 6
  
 
s p
hay p s
.
ĐS: (2; 3);(3;2);(1;5);(5;1)
Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng
2
2)
2 2
3 3
30
5; 6 :(2;3); (3;2)
35

 

  

 


x y xy
hpt s p KQ
x y
4 4 2 2

 

 

   

 





p s
hpt s s p
s sp
x y y x
HD x y s x y p x y
x x y y
5) Cho:
5( ) 4 4
1
  


   

x y xy
x y xy m
a) Tìm m để hpt có nghiệm. (HD: Giải hệ S; P ta được S = 4m;
P = 5m −1;ĐK: S


 

P S m
S m P m S m P m
P S m m
ĐS: hệ S
1
, P
1
vn;
2 2
2 2
4 ( 1) 0   S P m
.Vậy Hệ có nghiệm m
b) Hệ có nghiệm duy nhất 
2
2 2
4 0 S P

2
( 1) 0 m
1 m
. Suy ra x = y = 1 Vậy : (1;1).
2. Hệ đối xứng II
3
3
3 8
1)
3 8

2 3 2
2 3 2

  


  


x x y
y y x
HD:1)
2 2
3
3
( )( 5) 0
.
3 8
3 8


    



 
 
 





 


x
y x
y
x y
3. Hệ nửa đối xứng
VD. Giải hệ
3
1 1
2 1

  



 

x y
x y
y x
2 2
3
3
. 0
1 1
0



 

x y
x y xy
y x
3
4
. 0
. 0
1
( ) ( )
2 1 0
2 0






 
   
 
 
  


  


  

 

 


x y
x y
x y I x y
x x
x y
+ Ta có II) :
2 2 2
. 0
1
( )
1 1 3
( ) ( ) 0;( )
2 2 2






 





  


 


t y ty y m
y ty

2 2
2
( 4 1)
(1 3 ) 4

  


 


y t t m
y t

2
2
4 1
1 3 4
(1 3 ) 4


 

t t
t
y t
. kq : (1 ; 4), (-1 ; -4).
b) Ta có :(I) 
2
2
4( 4 1) (1 3 )
(1 3 ) 4

   


 


t t m t
y t

2
2
4 (16 3 ) 4 0 (*)
(1 3 ) 4

    


 

3 4

  


 


x xy m
y xy

2
4 2 2
4
2 (8 ) (4 ) 0 (*)

 




    

x m
y
x
x m x m
(x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4).
Với m  4 đặt : f(t) = 2t
2

  

a
x y
x y a
HD: Lấy (1) − (2) có (x − y)(2 + 4/xy ) = 0
 y = x ; y = −2/x
 y = x : (1;1) ; (-1;-1) ;
 y = -2/x :
( 2; 2);( 2, 2) 
Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng
3
Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
3) Tìm m để hệ có nghiệm
2 2
2 2
1
3 2

  


  


x xy y
x xy y m
4)
2 2
2 2

3











y
y
x
x
x
y
(B 2003)
Bài 3:
2 2
3 3
2 15
8 35

 


 


2
2

 




 


a
x y
y
a
y x
x
HD:
3 2 2
2



 

x y
x x a
xét
3 2
( ) 2 f x x x

Bài 8:
2
2
10 20 (1)
5 (2)

  


 


xy x
xy y
HD : Rút ra
2
5 5
  
y
x y
y y
. Cô si
5
2 5  x y
y
.
2
20x
theo (1)
2

HD: từ (1) đặt
1, 2   u x v y
được hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2
nghiệm trái dấu.
Bài 10:
1)
3 3
2 2
7( )
2

  


   


x y x y
x y x y
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
2)
2
3 3
( ) . 2
19

 



x y x y
đổi biến theo v,u từ ph trình số (1)
5)
3 3 3
2 2
1 19
6

 


  


x y x
y xy x
Đặt x =1/z thay vào được hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
Chủ đề:Phương trình và bất phương trình phương trình
đại số
1) Bất phương trình bậc hai ;
Định lý về dấu của tam thức bậc hai;
Phương pháp hàm số.
2) Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
2 2
2 2
0
;
;



 







   


  

B
A hayB
A B A B
A B
A B
A
A B C B
A B AB C
* Bất phương trình chứa căn thức:
2 2
2 2
0 0
* 0 * 0
0 0
0 0
* *
0 0

A B A B
B B
A B A B
Ví dụ 1
1)
2
2 4 3   x x x
. Hd : chia khoảng .
2)
1
3
2
1 3

 

x
x
. HD:
1 ; 0 3: 2; 4      x t t t x
3)
2 2
2 6 8 1 30    x x x
4) 3x
2
-
3x
> 9x –2.Chia hai trường hợp : x>3 ; x< 3 .
5) Giải
2



  






4 2
0
1 1
1
2 0
1 5
2
x
x
x
x x x
x
b)pt:
5 1 3 2 1 0.     x x x
ĐK: x ≥ 1
Chuyển vế, bình phương 2 vế : x = 2; x = 2/11( loại ). Vậy x = 2
c)
9 5 2 4x x   
ĐK x ≥ − 2
Bình phương hai lần ta có :ĐS x = 0 .
d)

1
1 ; 0
2
t
t x x t x x

      
pt  t
2
− 3t +2 = 0  t =1 V t = 2 Vn. t =1 <. x = 0 V x = 1 .
c)
2
2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x       
1;x  
2 3 1 0t x x    
2 2
3 4 2 2 5 3t x x x     
5 3.pt t x   
d)
2 2 2
7 2 3 3 19x x x x x x       
.
Đặt
2
2 7 / 4.t x x   
5 3 13 4. : 1; 2pt t t t t KQ x x         
Ví dụ 4:
1 3 ( 1)(3 )x x x x m      
a) Giải pt khi m=2 . b) Tìm m để pt có nghiệm .
ĐK: −1 ≤ x ≤ 3. Đặt

(9 ) 0 9 / 2x x t   
KsHS
2
9 9
( ) 2 9; 0 . KQ: 10
2 4
f t t t t m        
2)
4
4 4
4 4 6x x m x x m     
Đặt :
4
4 2
3
4 0; : 6 0
2
t l
t x x m pt t t
t
 

       



4
4 4
4 2 4 16x x m m x x       
Lập BBT : m >19 VN; m =19: 1 ngh; m< 19 2 ngh.

3
9
u v uv
u v

 




3
2
u v
uv

    1; 2. KQ: 1; 6u v x x
2)
3
2 1 1x x   
.ĐK : x
1
3
3 2
1
2
0;1; 2; 1;0;3.
1
1; 0
KQ: 1;2;10
u v

2
8 6 1 4 1 0x x x    
2)
4 1 1 2x x x    
ĐS: x = 0
3)
2 2
2( 2 ) 2 3 9 0x x x x     
ĐS:
1 5x  
4)
2 2
1 1 2x x x x     
tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải
5)
2 2
( 3 ) 3 2 0x x x x   
KD 2002
Bài 4: Tìm m để hệ có nghiệm
2
2
10 9 0
2 1 0
x x
x x m

  


   

x
x
 
 
HD Xét 2 trường hợp chú ý ĐK x ≥ −1
Trong trường hợp x ≥4 tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT
Bài 8: Tìm m để ptrình
2
9 9x x x x m     
có nghiệm
HD Bình phương 2 vế chú ý ĐK .
Đặt t= tích 2 căn t.Tìm ĐK t. Sử dụng BBT suy ra KQ
Bài 9: Giải bất ptrình
2
2( 16)
7
3
3 3
x
x
x
x x


  
 
(KA 2004)
Bài tập áp dụng
1)
2 2

6)
3
2 1 ( 2) 1
2
x
x x x x

     
7) Cho phương trình
4 4 4x x x x m      
a) Giải phương trình khi m=6.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
8) a)
2
51 2
1
1
x x
x
 


. b)
2
3 4 2 3 2 0x x x     
Chủ đề:PHƯƠNG TRÌNH − BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ, LÔGARIT
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa và lôgarit
2. Tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit

R
 Với mọi số thực m và 0 < a

1 thì:
 log
a
x = m

x = a
m
 log
a
x > m 
; 1
0 ; 0 1
m
m
x a a
x a a

 

   

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1) Phương pháp đưa về cùng cơ số
Với 0 < a

1 thì:  a
f(x)

 log
a
f(x) > log
a
g(x)









( ) 0
( ) 0
( ) ( )
f x
g x
f x g x
; nếu a > 1
 log
a
f(x) > log
a
g(x)





3
(2x+1) -
1
3
log (1 )x
(2)
Đkiện 2x+1 > 0 và 1- x > 0
  
1
1
2
x
. (2) log
3
(2x+1)=

1
3
1
log
1 x

 

1
2 1
1
x
x
   

x
+64 < 0  4 < 2
x
< 16  2< x < 4.
Ví dụ 4. Giải BPT:
1
1
1
( 5 2) ( 5 2)
x
x
x



  
(4)
LG: Do
1
5 2 ( 5 2)

  
, (4) 
 
1
1
1
5 2 ( 5 2)
x
x

rồi đặt t =
7
.
2
x
 
 
 
7
2
: log 3KQ x  
Ví dụ 6. Giải PT:
5
x
-
3
5
x
= 20 (6)
LG: Đkiện x

0, do phương trình chứa căn, đặt t =
5 1
x

(5) t −
125
t
− 20 = 0 t
2


 
 
. BPT

2
2
0
t t
t
 

Với đkiện t > 0 ta có 0 < t < 2

2
5
2
0 2 log 2
5
x
x
 
   
 
 
,
(Chú ý do cơ số < 1).
Ví dụ 8. Giải BPT:
2
2

   
  

 


 


;
Suy ra tập nghiệm của (8) là :
 
3
1 1
; 1;4 .
2
2
 

 
 
* Dạng
 
   
( )
( )
( )
f x
f x
A a b B a b c

x

(9)
LG: Đkiện x

-2 . Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có
3
3 3
2log 2
3
log 2 1 log 2 ( 1) 1 0
2 2
x
x x
x x
 
      
 
 
 
 x = 1 hoặc x = − (1+log
3
2).
Ví dụ 10. Giải BPT:
2
log 4
32
x
x



f(x) > b >0
0<a<1, thì a
f(x)
> a
b

f(x)<b ; log
a
f(x) > log
a
b

0<f(x) < b
Ví dụ 11. Giải PT: 3
x
= 3 – log
5
x (11)
LG: Ta có x = 1 là một nghiệm của phương trình (11)
Với x > 1 thì 3
x
> 3
1
= 3 và - log
5
x < log
5
1 = 0


+ 2
x
– 3x+2 ta có : f’(x) = 3
x
ln3 + 2
x
ln2 – 3
f’’(x) = 3
x
ln
2
3 + 2
x
ln
2
2 > 0 R  hàm số đồng biến trên R.
Mặt khác hàm số f’(x) liên tục trên R và f(-1).f(1) < 0

PT
f’(x)=0 có nghiệm duy nhất x
0
(-1; 1). Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta
có phương trình có không
quá 2 nghiệm.
Vậy nghiệm của phương
trình là: x = 0; x = 1.
5) Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và lôgarit
Chú ý : Ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình , hệ
bất phương trình như đối với hệ hữu tỉ đã biết và kết hợp với các


HPT có hai nghiệm là (1 ; 1) và (2; 2).
Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT:
3 2
1
2 5 4 (1)
4 2
(2)
2 2
x
x x
x
y y
y


 





 
LG: Từ PT(2)

2
x
= y, y > 0;
Thế vào PT(1) ta được PT :y
3

x = 2.
Ví dụ 16. (ĐH KA-2002). Cho PT:
2 2
3 3
log log 1 2 1 0x x m    
(16) (m là tham số)
1. Giải PT khi m =2.
2. Tìm m để PT (16) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
 
 
Đk x > 0, Đặt t =
2
3
log 1x 

1 ta có PT

t
2
+t-2m-2 = 0 (*)
(16) có nghiệm thuộc
3
1;3
 
 

(*) có nghiệm thuộc [1; 2].
Xét hàm số f(t) = t