1.3. Định lý Kakutani 35
với mọi y K.Vì
p, y x 0 y K
nên ta có
(3.7) p (T
K
(x))

= N
K
(x).
Vì K là miền vững của F , nên tồn tại
v F (x) T
K
(x).
Do đó, lu ý đến (3.7) ta có
(3.8) C
F
(p, x) p, v 0.
Đặt
I(x)={i {1,...,s} :
i
(x) > 0}.
Vì
s

i=1

i
(x)=1và
i

(x)C
F
(p
j(i)
, x)
< 0.
Điều này mâu thuẫn với (3.8). Định lý đã đợc chứng minh.
Nhận xét 1.3.3 (xem Aubin và Frankowska (1990), tr. 84). Định lý 1.3.3 vẫn
đúng khi X là một không gian tuyến tính tôpô, lồi địa phơng, Hausdorff.
Định lý điểm bất động Kakutani:
Định lý sau là dạng mở rộng của định lý điểm bất động Kakutani (xem Định
lý 1.3.5 dới đây) từ trờng hợp các không gian hữu hạn chiều sang trờng hợp
không gian vô hạn chiều.
Định lý 1.3.4 (Định lý điểm bất động Ky Fan, 1972). Cho K là tập lồi, compắc,
khác rỗng trong không gian Banach X. Cho G : K K là ánh xạ đa trị hêmi
liên tục trên ở trong K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó, tồn tại x K
sao cho x G(x).
Chứng minh. Đặt F (x)=G(x) x. Từ các giả thiết đặt trên G suy ra rằng
F : K X là ánh xạ đa trị hêmi liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng.
Ngoài ra, ta có
(3.9) F (x)=G(x) x K x T
K
(x)
36 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
với mọi x K.VìF (x) = với mọi x K, nên từ (3.9) suy ra tập lồi K là
miền vững của F . Theo Định lý 1.3.3, tồn tại x K sao cho 0 F (x). Tức là
tồn tại x K sao cho x G(x).
Kết quả sau đây suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3.4 và Mệnh đề 1.3.1.
Định lý 1.3.5 (Định lý điểm bất động Kakutani, 1941). Cho K IR
n

{x +
1
2
} nếu 0 x<
1
2
{0, 1} nếu x =
1
2
{x
1
2
} nếu
1
2
<x 1,
G
3
(x)=

(x, 1) nếu 0 x<1
(0, 1) nếu x =1,
G
4
(x)=



[
1


B
IR
2
là hình tròn đơn vị trong IR
2
. Cho F :
K IR
2
là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trong K, có giá trị lồi, đóng,
khác rỗng. Chứng minh rằng nếu
x K y F (x) sao cho x, y =0,
ởđóK :=
K \ int K ký hiệu biên của K, thì tồn tại x K thỏa mãn
0 F (x).
1.4 Các quá trình lồi
á
nh xạ đa trị có đồ thị là một hình nón lồi có nhiều tính chất tơng tự nh các
tính chất của toán tử tuyến tính. Lớp các ánh xạ đa trị có đồ thị là một hình nón
lồi đã đợc S. M. Robinson nghiên cứu khá kỹ trong những năm 1972-1976.
Định nghĩa 1.4.1.
á
nh xạ F : X Y ,ởđóX và Y là các không gian định
chuẩn, đợc gọi là một quá trình lồi
9
nếu gph F là một hình nón lồi trong không
gian tích X ì Y . Nếu gph F là một hình nón lồi đóng trong X ì Y thì F đợc
gọi là một quá trình lồi đóng
10
.

Các tập hợp sau đây là những hình nón trong C[a, b] (không gian gồm các hàm
số f :[a, b] IR liên tục trên đoạn [a, b] IR):
K
3
= {f C[a, b]:f(t) 0 t [a, b]},
K
4
= {f C[a, b]:f(t) > 0 t [a, b]}{0}.
Bài tập 1.4.1. Chứng minh rằng gph F là một hình nón khi và chỉ khi
0 F (0) và F (x)=F (x) với mọi x X và >0.
9
TNTA: convex process.
10
TNTA: closed convex process.
38 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.4.2. Cho F : X Y là một quá trình lồi đóng. Chuẩn F của
F là số thực suy rộng đợc cho bởi công thức
(4.1) F =sup
x(dom F )\{0}
d(0,F(x))
x
,
ởđód(a, M):= inf
xM
a x là khoảng cách từ a đến M.
Trong phần còn lại của mục này, nếu không nói gì thêm thì X, Y đợc giả
thiết là các không gian Banach.
Từ Định nghĩa 1.4.1 suy ra rằng nếu F là quá trình lồi đóng thì F
1
cũng

Để thiết lập (4.2) dới giả thiết quá trình lồi đóng F là ánh xạ đa trị tràn
(tức là rge F = X), chúng ta cần sử dụng kết quả sau.
Định lý 1.4.2 (Định lý Robinson-Ursescu). Cho F : X Y là ánh xạ đa trị
lồi, đóng. Giả sử rằng y F (x) và y int(rge F ). Khi đó tồn tại >0 và
>0 sao cho với mỗi y

B(y, ) tồn tại x F
1
(y) thỏa mãn
(4.3) x x y y.
Chứng minh. Chứng minh đầy đủ của định lý này khá phức tạp (xem Ursescu
(1975), Robinson (1976a), Aubin và Ekeland (1984)). Chúng ta sẽ chỉ xét trờng
hợp X là không gian Banach phản xạ. Đặt
(4.4) (y)=d(x, F
1
(y)) (y Y ).
Khẳng định 1: là hàm lồi.
Thật vậy, do F là ánh xạ đa trị lồi nên F
1
cũng là ánh xạ đa trị lồi. Do
đó, với mọi y,y

Y và với mọi t (0, 1) ta có
F
1
((1 t)y + ty

) (1 t)F
1
(y)+tF


x [(1 t)u + tv] : u F
1
(y),v F
1
(y

)

inf

(1 t)(x u) + t(x v) : u F
1
(y),v F
1
(y

)

=(1 t)inf
uF
1
(y)
x u + t inf
vF
1
(y

)
x v

không gian Banach phản xạ, các hình cầu đóng trong X là compắc yếu (Định lý
Banach-Alaoglu). Với mỗi k, F
1
(y
k
) là tập lồi đóng khác rỗng. Theo Bổ đề
Mazur (Tập lồi đóng trong không gian định chuẩn là tập đóng yếu), F
1
(y
k
)
là tập lồi đóng yếu, khác rỗng. Do đó tồn tại x
k
F
1
(y
k
) sao cho
(4.5) x
k
x =inf
xF
1
(y
k
)
x x.
Thật vậy, lấyx M, ởđóM := F
1
(y

rằng x
k
w
x

B(x, ).Do(x
k
,y
k
) gph F , (x
k
,y
k
)
w
(x, y), và gph F là
tập lồi đóng yếu, ta có (x, y) gph F .Dođóx F
1
(y).Vìx
k
x
với mọi k IN,tacóx x . Suy ra
(y)=d(x, F
1
(y)) x x .
40 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Vậy ta có y lev

().
Khẳng định 3: là liên tục ở trên int(rge F ).

,)

.
Thật vậy, lấy y

B(y
0
,) rge F .Do(y) IR, tồn tại k IN để (y) k.
Khi đó, y lev

(k). Để tiếp tục chứng minh, chúng ta cần sử dụng Định lý
Baire: Nếu M là một không gian mêtric đủ, thì M không thể biểu diễn đợc
dới dạng hợp của một số đếm đợc các tập đóng có phần trong rỗng. Do X
là không gian Banach,

B(y
0
,) là không gian mêtric đủ. Do định lý Baire và
do (4.6), tồn tại

k IN sao cho
int

lev

(

k)

B(y


) (y)|
0
y

yy,y



B(y, )
(xem Ioffe và Tihomirov (1979)). Suy ra
(4.7) |(y) (y)|
0
y yy

B(y, ).
Đặt =2
0
và lu ý rằng (y)=0vì y F (x). Với mỗi y

B(y, ),do
(4.7) tồn tại x F
1
(y) sao cho (4.3) nghiệm đúng. Định lý đã đợc chứng
minh.
1.4. Các quá trình lồi 41
Bài tập 1.4.2. Cho hàm số thực suy rộng : X IR {+},ởđóX là
không gian định chuẩn. Chứng minh rằng là nửa liên tục dới ở trong
X khi và chỉ khi các tập mức lev


1
(y

) và x ty

. Đặt x

=
1
t
x,tacó
x

F
1
(y

) và x

y

.
Cố định hai điểm y
1
,y
2
Y . Lấy tùy ý x
1
F
1

F
1
(y
2
). Thật vậy, do u F
1
(y
2
y
1
), x
1
F
1
(y
1
),vàdo
F
1
là quá trình lồi đóng, ta có
1
2
x
1
+
1
2
u
1
2

(
1
2
y
2
)=
1
2
F
1
(y
2
).
Từ đó suy ra x
1
+ u F
1
(y
2
), hay x
2
F
1
(y
2
). Do (4.8), tồn tại v

B
X
sao cho x

tập F (U)=
xU
F (x) là mở trong Y .
Chứng minh. Giả sử F thỏa mãn giả thiết của mệnh đề. Giả sử U X là tập
mở. Lấy y F (U) và giả sử x U là điểm thỏa mãn bao hàm thức y F (x).
Do rge F = Y ,tacóy int(rge F ). Theo Định lý 1.4.2, tồn tại >0 và >0
để với mỗi y

B(y, ) tồn tại x F
1
(y) sao cho (4.3) nghiệm đúng. Chọn


(0,) đủ bé để có
(4.9)

B(x,

) U.
42 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Khi đó, với mỗi y

B(y,

) tồn tại x F
1
(y) thỏa mãn
x x y y

.

Sách, và nhiều kết quả khác. Các kết quả trong Khanh (1986, 1988, 1989) đã
thu hút đợc sự chú ý của nhiều chuyên gia trong ngành.
Nhận xét 1.4.2. Trong Chơng 5 của giáo trình này có trình bày một định lý ánh
xạ mở địa phơng (xem Định lý 5.4.1) và định lý hàm ngợc (xem Định lý 5.4.2)
cho ánh xạ đa trị có dạng đặc biệt: F (x)=f(x)+K,ởđóF : IR
n
IR
m
là
ánh xạ đơn trị và K IR
m
là tập lồi.
Nhận xét 1.4.3. Các tác giả Huỳnh Thế Phùng và Phạm Huy Điển (xem Phung
và Dien (1991)) đã chỉ ra rằng điểm cân bằng (không điểm) của một ánh xạ
đa trị lồi đóng, nếu tồn tại, có thể tính đợc bằng một thuật toán gồm hữu hạn
bớc.
Bài tập 1.4.3. Cho A : X Y là toán tử tuyến tính. Chứng minh rằng A
là liên tục khi và chỉ khi ánh xạ F cho bởi công thức F (x)={Ax} (x
X) là ánh xạ đóng.
Bài tập 1.4.4. Chứng minh rằng Định lý ánh xạ mở Banach Cho A :
X Y là toán tử tuyến tính liên tục. Nếu A(X)=Y thì A là ánh xạ
mở (tức là với mọi tập mở U X, A(U ) là tập mở trong Y ) là hệ quả
của Mệnh đề 1.4.1.
1.4. Các quá trình lồi 43
Ví dụ 1.4.1 (Quá trình lồi đóng). Cho K Y là hình nón lồi đóng và cho
f C
1
(X, Y ). Với mỗi x
0
X ta đặt F

= {x X : F (x) = }
= dom F.
Do giả thiết dom F = X,tacórgeF
1
= X.
á
p dụng Định lý 1.4.1 cho ánh
xạ F
1
, ta tìm đợc hệ số >0 sao cho
(4.10) (F
1
)
1
(x

) (F
1
)
1
(x)+x

x

B
Y
(x, x

X).
Với mọi x X,

=0và lu ý rằng 0 F (0),tacó
0 F (x)+x

B
Y
(x X).
Khi đó, với mọi x X \{0}, tồn tại y F (x) và v

B
Y
sao cho
0=y + xv.
Suy ra
y xv x.
Vậy
d(0,F(x))
x

x
x
= x X \{0}.
44 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Từ đó ta có
F =sup
x=0
d(0,F(x))
x
.
Mệnh đề đã đợc chứng minh.
Ví dụ 1.4.2. Đặt F (x)={y IR : y x

số >0 và >0 thỏa điều kiện (4.12).
1.4. Các tính chất Lipschitz của ánh xạ đa trị 45
1.5 Các tính chất Lipschitz của ánh xạ đa trị
Trong mục này, nếu không nói gì thêm thì X, Y là các không gian định chuẩn
tùyývàF là ánh xạ đa trị từ X vào Y .
Định nghĩa 1.5.1. Giả sử x int(dom F ). Ta nói F là Lipschitz địa phơng
11
tại (hoặc ở gần) x, nếu tồn tại >0 và >0 sao cho
(5.1) F (x
2
) F (x
1
)+x
2
x
1


B
Y
với mọi x
1
,x
2


B(x, ). Trong trờng hợp F (x)={f(x)} là ánh xạ đơn trị,
bao hàm thức (5.1) trở thành
f(x
2

Nếu tồn tại >0 và >0 sao cho tính chất đó nghiệm đúng với mọi x

B(x, ), thì ta nói ánh xạ đơn trị f là Lipschitz trên địa phơng tại x.
Định nghĩa 1.5.3 (Robinson (1981)). Cho X = IR
n
, Y = IR
m
. Ta nói F :
X Y là ánh xạ đa trị đa diện
13
nếu tồn tại một số hữu hạn các tập lồi đa
diện
1
,
2
,...,
s
trong không gian tích IR
n
ì R
m
sao cho
gph F =
s

i=1

i
.
Định lý 1.5.1 (Robinson (1981)). Nếu F : IR

Y
với mọi x
1
,x
2


B(x, ).
Nhận xét 1.5.1. Nếu F là giả-Lipschitz ở gần điểm (x, y) gph F , thì ta phải
có x int(dom F ).
Nhận xét 1.5.2. Tính chất giả-Lipschitz của ánh xạ đa trị có vai trò quan
trọng giải tích phi tuyến và lý thuyết tối u (xem Rockafellar và Wets (1998),
Mordukhovich (2006a,b)). Để ghi công của J.-P. Aubin trong việc đề xuất khái
niệm này, Donchev và Rockafellar (1996) đề nghị gọi tính chất giả-Lipschitz
là tính liên tục Aubin (Aubin continuity). Trong Chơng 5 chúng ta sẽ đara
những điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm của một hệ bất đẳng thức phụ thuộc tham
số là liên tục Aubin theo tham số. Sử dụng kết quả đó, cũng trong Chơng 5,
ta sẽ đa ra điều kiện đủ để hàm giá trị tối u của một bài toán quy hoạch toán
học phụ thuộc tham số là Lipschitz địa phơng.
Bài tập 1.4.5. Cho x X. Chứng minh rằng nếu F : X Y là giả-
Lipschitz ở gần mỗi điểm (x, y) {x}ìF (x) thì F là nửa liên tục dới
tại x. Khẳng định ngợc lại có đúng không?
14
TNTA: pseudo-Lipschitz.
Chơng 2
Đạo hàm của ánh xạ đa trị
Tay nào cầm đợc khói sơng
Mới mong giữ nổi yêu thơng cho mình
(Trần Mạnh Hảo, Ru em Thúy Kiều)
Chơng này giới thiệu các khái niệm cơ bản và một số định lý chính về đạo

d(x,x).
Chứng minh. Trong chứng minh này chúng ta sẽ sử dụng kiểu thứ tự bộ phận
do Bishop và Phelps đa ra năm 1963. Với mỗi >0, ta định nghĩa thứ tự


trong tích X ì IR nh sau:
(1.2) (x
1
,y
1
)

(x
2
,y
2
) y
2
y
1
+ d(x
1
,x
2
) 0.
Thứ tự

là phản xạ, phản xứng và bắc cầu.
Tính phản xạ: Hiển nhiên ta có (x, y)


). Do (1.2),
(x
1
,y
1
)

(x
2
,y
2
) d(x
1
,x
2
)
y
1
y
2

.
Theo giả thiết,
(1.3) d(x
1
,x
2
)
y
1

.Do
đó (x
1
,y
1
)=(x
2
,y
2
).
Tính bắc cầu: Giả sử rằng (x
1
,y
1
)

(x
2
,y
2
) và (x
2
,y
2
)

(x
3
,y
3

,x
3
)
y
1
y
3

.
Do d(x
1
,x
3
) d(x
1
,x
2
)+d(x
2
,x
3
), nên ta có
d(x
1
,x
3
)
y
1
y

,y
k
}X ì IR thỏa mãn
(x
1
,y
1
)

(x
k
,y
k
)(k =2, 3, 4,...)
và x
k
x, y
k
y.Dod(x
1
,x
k
) (y
1
y
k
)/ với mọi k IN, nên ta có
d(x
1
,x) (y

1
) M ta xây dựng dãy {(x
k
,y
k
)} nh sau: Giả sử (x
k
,y
k
)
đã đợc xác định. Đặt
M
k
= {(x, y) M :(x
k
,y
k
)

(x, y)}.
Theo Khẳng định 1, M
k
là tập đóng. Ngoài ra, vì (x
k
,y
k
) M
k
nên M
k

k
= y
k
thì đặt (x
k+1
,y
k+1
)=(x
k
,y
k
). Giả sử
k
<y
k
.Do
k
< (
k
+
y
k
)/2, tồn tại (x, y) M sao cho
k
y<(
k
+ y
k
)/2. Đặt (x
k+1

,y

)) = d(x, x

)+|y y

|. Với mọi k,ta
có
k

k+1
y
k+1
và
|y
k+1

k+1
|
1
2
|y
k

k
| 2
k
|y
1
|.

k+1

k+1
| ... 2
k
|y
1

1
| 2
k
|y
1
|).
50 2. Đạo hàm của ánh xạ đa trị
Với mọi (x, y) M
k+1
ta có
|y
k+1
y| |y
k+1

k+1
| 2
k
|y
1
|.
Vì (x

diam M
k+1
:= sup{d((x, y), (x

,y

)) : (x, y) M
k+1
, (x

,y

) M
k+1
}0
khi k . Vậy {M
k
} là dãy tập đóng lồng nhau, có đờng kính giảm tới 0.
Vì X ìIR là không gian mêtric đủ, nên tồn tại duy nhất phần tử (x, y) X ìIR
thỏa mãn


k=1
M
k
= {(x, y)}.
Do (x, y) M
1
,tacó(x, y) M và (x
1

(x, y) / M,tacó(x) > y. Lấy

0
,
(x)y
2

.Vì là nửa liên tục dới
tại x, tồn tại lân cận mở U của x sao cho
(x) (x) x U.