2.3. Đạo hàm 75
Bài tập 2.3.3.
(a) Phát biểu Định lý 2.3.2 cho trờng hợp F = f là ánh xạ đơn trị khả
vi Fréchet liên tục trong một lân cận của điểm x X.
(b) Cho X = Y = IR, F (x)={f(x)}, f(x)=x
4
. Hãy tìm tất cả những
điểm x IR sao cho Định lý 2.3.2 áp dụng đợc với z := (x, f(x)).
Những quy tắc tính (nói đúng hơn là các ớc lợng) đạo hàm của hàm hợp
sau đây cho thấy mỗi loại đạo hàm của ánh xạ đa trị xét trong mục này đều có
vai trò riêng: đạo hàm Clarke tham gia trong điều kiện chính quy, đạo hàm kề
tham gia trong công thức tính đạo hàm contingent của hàm hợp
22
.
Định lý 2.3.3 (Đạo hàm của hàm hợp; xem Aubin và Frankowska (1990), tr.
198-199). Giả sử X, Z là các không gian Banach, Y là không gian định chuẩn
hữu hạn chiều, F : X Y, G : Y Z, y F (x), z G(y). Giả sử F và G
là các ánh xạ đóng. Nếu điều kiện sau thỏa mãn
rge

CF
(x,y)

dom

CG
(y,z)

= Y
thì
(i) D

F (x)={

|x|},G(y)={z : z y
3
},vàx =y =z =0. Trong trờng
hợp này, các bao hàm thức trong các khẳng định (i)(iii) có trở thành các
đẳng thức hay không?
22
Không rõ là quy tắc (i) trong Định lý 2.3.3 có còn đúng không nếu nh ánh xạ D
b
G
(y,x)
ở
vế trái của bao hàm thức đợc thay bằng ánh xạ DG
(y,x)
- là ánh xạ có đồ thị lớn hơn.
76 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ
Chơng 3
Tích phân của ánh xạ đa trị
Hỏi tên, rằng Biển-Dâu-Ngàn
Hỏi quê, rằng Xứ Mơ Màng, đã quên
(Bùi Giáng)
Chơng này trình bày khái niệm tích phân Aumann (tích phân đa trị). Vì lát
cắt đo đợc là cơ sở để xây dựng tích phân Aumann, nên chúng ta sẽ tìm hiểu
kỹ các định lý về sự tồn tại lát cắt đo đợc của ánh xạ đa trị. Ngoài ra, trong
chơng có giới thiệu các kết quả của Nguyễn Huy Chiêu (2004, 2006a) về tích
phân Aumann của ánh xạ dới vi phân Clarke. Các kết quả trong Chieu (2006c)
về tích phân Aumann của ánh xạ dới vi phân Mordukhovich và dới vi phân
Mordukhovich của phiếm hàm tích phân sẽ đợc giới thiệu trong mục cuối của
chơng sau.

tập thuộc A.
Từ (i)-(iii) suy ra rằng Avà giao của một họ tùy ý gồm một số đếm
đợc các tập thuộc A là một tập thuộc A.
Trong định nghĩa sau và trong các khẳng định ở các bài tập 3.1.13.1.3 ta
không cần giả thiết Y là không gian mêtric đủ, khả li, mà chỉ cần giả sử Y là
không gian tôpô
3
. Khi đó, B vẫn ký hiệu -đại số sinh ra bởi các tập mở của
Y . Hiển nhiên B chứa tất cả các tập đóng của Y .
Định nghĩa 3.1.1 (
á
nh xạ đơn trị đo đợc; xem Aubin và Frankowska (1990),
tr. 307, và Rudin (1987), tr. 8).
á
nh xạ đơn trị f : X Y đợc gọi là đo
đợc nếu ta có f
1
(V ):={x X : f (x) V } là tập thuộc A với mỗi tập
mở V Y .(
ả
nh ngợc của mỗi tập mở là tập đo đợc.)
Dễ thấy rằng hàm số thực : X IR là đo đợc khi và chỉ khi với mọi
IR tập hợp

1
((,)) := {x X : (x) <}
là đo đợc.
Bài tập 3.1.1. Chứng minh rằng ánh xạ đơn trị f : X Y là đo đợc
khi và chỉ khi với mọi tập đóng C Y ta có f
1

(x) x X.
Chứng minh rằng f là ánh xạ đo đợc. (Gợi ý
:DoY là khả li, tồn tại tập
điểm {y
i
: i N} trù mật trong Y . Khi đó, với mỗi tập mở V Y ta có
f
1
(V )
= {x X : f(x) V }
=

j1

i1

x X : B

y
i
,
1
j

V, f(x) B

y
i
,
1


j1

i1

1

p1

kp

x X : B

y
i
,
1
j

V, f
k
(x) B

y
i
,
1
2j

1

dụ một ánh xạ đa trị không đo đợc F : X Y .(Gợi ý
: Lấy K (0, 1)
là một tập không đo đợc theo Lebesgue (xem Rudin (1987), tr. 53-54)
và đặt F (x)={1} với mọi x K, F (x)={0} với mọi x [1, 2]\ K.)
4
Xem Rudin (1987) và Hoàng Tụy (2003).
80 3. Tích phân của ánh xạ đa trị
Bài tập 3.1.7. Chứng minh rằng:
a) Nếu F : X Y là ánh xạ đa trị đo đợc, thì dom F A;
b) Nếu F : X Y là ánh xạ đa trị đo đợc, thì với mọi y Y ta có
F
1
({y}) A.(Gợi ý: Hãy biểu diễn {y} dới dạng giao của một số
đếm đợc các hình cầu mở.)
c) Nếu F : X Y là ánh xạ đa trị (không nhất thiết có giá trị đóng) thỏa
mãn tính chất F
1
(V ) Avới mọi tập mở V Y , thì

F : X Y ,ở
đó

F (x)=
F (x) với mọi x X, là ánh xạ đa trị đo đợc.
Hình 12
Nhận xét 3.1.1. Tính chất c) trong bài tập trên cho thấy rằng việc xây dựng
khái niệm ánh xạ đa trị đo đợc chỉ cho các ánh xạ nhận giá trị đóng không là
quá cực đoan.
Cần lu ý rằng đối với các ánh xạ đa trị, tính đo đợc theo Định nghĩa 3.1.2
(gọi là tính đo đợc yếu

i
,
i
):i IN,
i
Q,
i
> 0} là đếm đợc. Với mỗi
y V , tồn tại = (y) > 0 sao cho B(y,) X. Chọn i IN sao cho
y
i
B(y, /4), sau đó chọn
i
Q,
i
> 0, sao cho /4 <
i
</2.
Khi đó y B(y
i
,
i
) V .)
Hình 13
Bài tập 3.1.9. Cho V Y là tập mở trong không gian mêtric khả li.
Chứng minh rằng V biểu diễn đợc dới dạng hợp của một số đếm đợc
các hình cầu đóng trong Y .(Gợi ý: Để ý rằng, trong các ký hiệu ở bài
tập trên, ta cũng có y

B(y

F
1


B(y
j
,
j
)

.)
Định nghĩa 3.1.3 (Lát cắt).
á
nh xạ đơn trị f : X Y thỏa mãn điều kiện
f(x) F (x) với mọi x X đợc gọi là một lát cắt của F. Nếu f là ánh xạ
82 3. Tích phân của ánh xạ đa trị
đo đợc, thì ta nói nó là một lát cắt đo đợc của F . Nếu X là tập con trong
không gian định chuẩn và nếu f là ánh xạ liên tục hoặc Lipschitz địa phơng,
thì ta nói nó là một lát cắt liên tục hoặc lát cắt Lipschitz địa phơng của F .
Định lý 3.1.1 (von Neumann, 1949). Cho (X,A) là không gian đo đợc, Y là
không gian mêtric đủ, khả li, và F : X Y là ánh xạ đa trị đo đợc, có giá
trị đóng, khác rỗng. Khi đó, tồn tại lát cắt đo đợc f : X Y của F .
Chứng minh. Giả sử
Y
0
= {y
i
: i IN}
là một tập con đếm đợc trù mật trong Y . Ta sẽ xây dựng dãy ánh xạ đo đợc
f

f
1
0
(y
i
)={x X : F (x) B(y
i
, 1) = }

{x X : F (x) B(y
j
, 1) = j =1, 2,...,i 1}
= F
1
(B(y
i
, 1))


X \
i1

j=1
F
1
(B(y
j
, 1))

là tập hợp thuộc A do F là ánh xạ đa trị đo đợc. Với mọi tập mở V Y ,từ

: X Y (k =0, 1,...,m)
nhận giá trị trong Y
0
sao cho
(1.4) d(f
k
(x),F(x)) < 2
k
(x X, k {0, 1,...,m})
và
(1.5) d(f
k
(x),f
k+1
(x)) < 2
(k1)
(x X, k {0, 1,...,m 1})
Đối với m =0, vì (1.3) nghiệm đúng nên ta có (1.4). Tính chất (1.5) đợc thỏa
mãn vì lúc này tập chỉ số {0, 1,...,m 1} là rỗng. Với mỗi i IN, ta đặt
S
i
= {x X : f
m
(x)=y
i
}.
Các tập {S
i
}
iIN

j
.
Khi đó, lấy y là một phần tử thuộc tập hợp ở vế trái của (1.7), ta có
d(f
m
(x),f
m+1
(x)) = d(y
i
,y
j
) d(y
i
,y)+d(y
j
,y)
2
m
+2
(m+1)
< 2
(m1)
.
Ngoài ra, từ (1.7) suy ra rằng
d(f
m+1
(x),F(x)) < 2
(m+1)
.
Vậy ta đã xây dựng đợc ánh xạ đo đợc (xem Bài tập 3.1.10) f

k
(x))
2
(k+p2)
+2
(k+p3)
+ ...+2
(k1)
2
k+2
84 3. Tích phân của ánh xạ đa trị
với mọi k IN và p IN.VìY là không gian mêtric đủ, nên tồn tại giới hạn
lim
k
f
k
(x) Y . Ký hiệu phần tử giới hạn đó là f(x). Từ (1.8) suy ra rằng dãy
{f
k
} hội tụ đều đến f. Cho k = m và lấy giới hạn trong bất đẳng thức ở (1.4)
khi m , ta nhận đợc
d(f(x),F(x)) = 0 x X.
Vì F (x) là tập đóng với mọi x X, từ đó suy ra
f(x) F (x) x X.
Vậy f là lát cắt đo đợc của F .
Bài tập 3.1.11. Chứng minh rằng ánh xạ f
m+1
đợc xây dựng trong chứng
minh trên là đo đợc. (Gợi ý: Lập luận tơng tự nh khi chứng minh f
0

k
(x):k IN} (x X).
Nh vậy, với mỗi x X, tập giá trị {f
k
(x):k IN} của các lát cắt là trù
mật trong tập F (x). Khi tính chất (1.9) nghiệm đúng, thì ngời ta nói {f
k
} là
7
Charles Castaing là nhà toán học Pháp gốc Việt, giáo s toán học ở Université de Montpellier
II (Montpellier, Pháp), thành viên Ban cố vấn của tạp chí Acta Mathematica Vietnamica.
3.1.
á
nh xạ đa trị đo đợc, lát cắt đo đợc 85
họ đếm đợc các lát cắt đo đợc trù mật
8
; xem Aubin và Frankowska (1990),
tr. 310.
Định lý sau đây vừa chỉ ra sự tồn tại họ đếm đợc các lát cắt đo đợc trù
mật của ánh xạ đa trị đo đợc, vừa khẳng định rằng tính chất đó cũng đặc trng
cho tính đo đợc của các ánh xạ đa trị.
ở
đây cũng sẽ chứng tỏ rằng ta có thể
đặc trng tính đo đợc của ánh xạ đa trị thông qua tính đo đợc họ hàm khoảng
cách
x d(y,F(x)) (y Y ).
Định lý 3.1.2 (C. Castaing, 1967). Cho (X,A) là không gian đo đợc, Y là
không gian mêtric đủ, khả li, và F : X Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng,
khác rỗng. Khi đó, các khẳng định sau là tơng đơng:
(a) F là ánh xạ đa trị đo đợc;

i,k
là ánh xạ cắt gọn của F. Để ý thêm rằng bán kính của các
hình cầu B(y
i
,k
1
) càng nhỏ khi k càng lớn.) Rõ ràng

F
i,k
: X Y ,ởđó

F
i,k
(x):=F
i,k
(x), là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng, và

F
i,k
(x) F (x) x X.
Ngoài ra,

F
i,k
là ánh xạ đa trị đo đợc. Thật vậy, giả sử V Y là tập mở bất
kỳ cho trớc. Vì

F
1



(X \ F
1
(B(y
i
,k
1
))) F
1
(V )

8
TNTA: dense countable family of measurable selections.
86 3. Tích phân của ánh xạ đa trị
và F là đo đợc, nên

F
1
i,k
(V ) A. Điều đó chứng tỏ rằng

F
i,k
là ánh xạ đa
trị đo đợc.
Theo Định lý 3.1.1,

F
i,k

,k
1
) = . Do vậy,
F
i,k
(x)=F (x) B(y
i
,k
1
).
Vì f
i,k
(x)

F
i,k
(x), từ đó ta có f
i,k
(x)

B(y
i
,k
1
). Vậy
d(f
i,k
(x),y) d(f
i,k
(x),y

thuộc A. Điều đó chứng tỏ rằng, với mỗi k IN, d(y,f
k
(ã)) là hàm số thực đo
đợc. Vì vậy, theo Định lý 1.14 trong Rudin (1987), hàm số
x inf
kIN
d(y,f
k
(x))
là đo đợc. Do (1.9) ta có
inf
kIN
d(y,f
k
(x)) = d(y, F(x)).
Suy ra hàm số x d(y, F(x)) là đo đợc.
(c) (a). Giả sử rằng với mỗi y Y hàm số x d(y, f
k
(x)) là đo đợc.
Khi đó, với mỗi IR ta có {x X : d(y,F(x)) <} là tập đo đợc. Vì
{x X : d(y, F(x)) <}
= {x X : F (x) B(y, ) = }
= F
1
(B(y, )),
3.1.
á
nh xạ đa trị đo đợc, lát cắt đo đợc 87
nên F
1

Bài tập 3.1.14. Xét ánh xạ đa trị F trong Ví dụ 3.1.1 và lấy y = 3.Vẽ
đồ thị của hàm số x d(y,F(x)). Giải thích tại sao hàm số đó là đo
đợc.
Bài tập 3.1.15. Không sử dụng Định lý von Neumann, hãy đa ra chứng
minh trực tiếp cho khẳng định (a) (c) của Định lý 3.1.5. Chứng minh
đó có cần dựa vào các giả thiết
(i) X là không gian mêtric khả li,
(ii) X là không gian mêtric đủ,
hay không?
Nhận xét 3.1.2. Sự tồn tại chứng minh trực tiếp khá đơn giản cho khẳng định
(a) (c) của Định lý 3.1.2 cho thấy rằng việc sử dụng hàm khoảng cách
9
là
một kỹ thuật hiệu quả giúp chứng minh sự tơng đơng giữa (a) và (b).
Phần cuối của mục này đợc dành để chứng minh Định lý đặc trng cho
ánh xạ đa trị đo đợc. Ngoài sự tơng đơng (a) (b) (c) đã thu đợc ở
trên, các đặc trng khác sẽ đợc chứng minh dới giả thiết phụ (khá rắc rối!)
sau đây: A là -đại số tơng ứng với một độ đo dơng, -hữu hạn à của X,và
A là à-đủ. (Trong Định lý von Neumann và Định lý Castaing, A là một -đại
số tùy ý của X.)
Định nghĩa 3.1.4 (Độ đo; không gian có độ đo; độ đo đủ; độ đo -hữu hạn).
9
Hàm khoảng cách chính là một dạng hàm giá trị tối u (hàm marginal) đóng vai trò quan
trọng trong một số chứng minh và cấu trúc toán học. Cho đến nay, các tính chất vi phân của hàm
khoảng cách vẫn là đối tợng đợc ngời ta quan tâm nghiên cứu; xem Mordukhovich và Nam
(2005b, 2006) và các tài liệu đợc trích dẫn trong đó.
88 3. Tích phân của ánh xạ đa trị
1.
á
nh xạ à : A[0, +] đợc gọi là một độ đo dơng trên -đại số

A

A, thì ta nói rằng đại số A là àđủ (tức là đủ theo độ đo à).
5. Bộ ba (X,A,à) đợc gọi là một không gian có độ đo đủ, -hữu hạn
11
nếu à là độ đo dơng hữu hạn và A là àđủ.
Ví dụ 3.1.2. Cho X = IR
n
, A là đại số các tập con đo đợc theo Lebesgue
của IR
n
, à là độ đo Lebesgue trên IR
n
.Tacó(X,A,à) là một không gian có
độ đo đủ, -hữu hạn.
Cho (X,A) là không gian đo đợc, Y là không gian mêtric. Nh đã quy
ớc từ đầu mục này, B ký hiệu đại số Borel của Y . Ta xét đại số sinh ra
bởi họ tập
(1.12) {A ì B X ì Y : A A,BB},
và ký hiệu nó bởi AB.Nh vậy, ABlà đại số nhỏ nhất trong X ì Y
chứa họ tập (1.12).
Để chứng minh Định lý đặc trng, chúng ta phải dựa vào hai bổ đề sau.
Bổ đề 3.1.1 (xem Castaing và Valadier (1977)). Cho (X,A,à) là không gian
có độ đo đủ, -hữu hạn, Y là không gian mêtric đủ, khả li. Nếu M AB,
thì
pr
X
(M):={x X : y Y, (x, y) M}
là tập thuộc A. (Hình chiếu lên X của một tập đo đợc theo AB là đo đợc
theo A.)

Ta đặt
g
k
(x, y)=g(x, y
i
).
Do (1.13) và do tính liên tục của ánh xạ g(x,ã) ta có
lim
k
g
k
(x, y) = lim
k
g(x, y
i(k)
)=g(x, y)
với mọi (x, y) X ì Y . Ta chỉ còn phải chứng minh rằng g
k
là đo đợc theo
AB. Đặt
Y
i,k
:= B(y
i
,k
1
) \

i1


là đo đợc theo AB. Thật vậy, giả sử W Z là
tập mở tùy ý. Ta có
g
1
k
(W )={(x, y) X ì Y : g
k
(x, y) W}
=


i=1
{(x, y) X ì Y
i,k
: g(x, y
i
) W}
=


i=1

(g(ã,y
i
))
1
(W ) ì Y
i,k

là tập thuộc AB.

Theo khẳng định b) ở Bài tập 3.1.7, ta có gph F AB.
(d) (f). Giả sử rằng gph F ABvà giả sử B Y là tập Borel bất kỳ.
Dễ thấy rằng
F
1
(B)=pr
X
(gph F (X ì B)).
Vì gph F ABvà X ì B AB,từđótacóF
1
(B) Atheo Bổ đề
3.1.1.
Định lý đặc trng cho ta hệ quả sau đây về sự tơng đơng giữa tính đo
đợc (còn gọi là tính đo đợc yếu) và tính đo đợc mạnh của ánh xạ đa trị.
Hệ quả 3.1.1. Cho X = IR
n
, A là đại số các tập đo đợc theo Lebesgue
của IR
n
, à là độ đo Lebesgue trên IR
n
. Cho Y là không gian mêtric đủ, khả
li, và F : X Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng. Khi đó, F là đo
đợc khi và chỉ khi F
1
(C) Avới mọi tập đóng C Y .
Bài tập 3.1.16. Cho X = IR
n
, A là đại số các tập đo đợc theo
Lebesgue của IR