Chng 3 : iu khin bn vng
Hc kì 1 nm hc 2005-2006 Chng 3

IU KHIN BN VNG
3.1 Gii thiu
3.1.1 Khái nim điu khin bn vng
H thng điu khin bn vng làm cho cht lng ca sn phm n đnh,
không ph thuc vào s thay đi ca đi tng cng nh ca nhiu tác đng
lên h thng.Mc đích ca điu khin bn vng là cht lng vòng kín đc
duy trì mc dù có nhng s thay đi trong đi tng. P
0
:Mô hình chun (mô hình danh
đnh)
Δ
P :Mô hình thc t vi sai lch
Δ so vi mô hình chun Hình 3.1 : Mô hình điu khin bn vng

Cho tp mô hình có sai s
Δ

Δ
P
3.1.2 Chun ca tín hiu
3.1.2.1 Khái nim chun
Trong điu khin nói riêng cng nh trong các công vic có liên quan đn
tín hiu nói chung,thông thng ta không làm vic ch riêng vi mt tín hiu
hoc mt vài tín hiu đin hình mà ngc li phi làm vic vi mt tp gm
rt nhiu các tín hiu khác nhau. Khi phi làm vic vi nhiu tín hiu khác
nhau nh vy chc chn ta s gp bài toán so sánh các tín hiu đ chn lc
ra đc nhng tín hiu phù hp cho công vic.
Các khái nim nh tín hiu x
1
(t) tt hn tín hiu x
2
(t) ch thc s có ngha
nu nh chúng cùng đc chiu theo mt tiêu chun so sánh nào đó. Cng
nh vy nu ta khng đnh rng x
1
(t) ln hn x
2
(t) thì phi ch rõ phép so
sánh ln hn đó đc hiu theo ngha nào, x
1
(t) có giá tr cc đi ln hn ,
có nng lng ln hn hay x
1
(t) cha nhiu thông tin hn x
2
(t)…..Nói mt
cách khác ,trc khi so sánh x

2
2
|)(|||)(|| . (3.5)
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 3
Bình phng chun bc hai chính là giá tr đo nng lng ca tín hiu x(t).
-Chun bc p:
p
p
p
dttxtx
∫
∞
∞−
= |)(|||)(|| vi p
∈ N (3.6)
- Chun vô cùng: |)(|sup||)(|| txtx
t
=
∞
(3.7)
đây là biên đ hay đnh ca tín hiu
Khái nim chun trong đnh ngha trên không b gii hn là ch cho mt tín
hiu x(t) mà còn đc áp dng đc cho c vector tín hiu gm nhiu phn
t và mi phn t li là mt tín hiu.
Xét mt vector tín hiu:
x(t) =
⎟
⎟
⎟

=
=
n
i
i
xx
1
2
2
(3.9)

- Chun vô cùng ca vector x:

ni
i
xx
,...,2,1
max
=
∞
= (3.10)
3.1.2.3 Quan h ca chun vi nh Fourier và nh Laplace:
 phc v mc đích s dng khái nim chun vào điu khin ,ta cn quan
tâm ti mi liên quan gia chun tín hiu x(t) là ||x(t)|| vi nh Fourier
X(j
ω
) cng nh nh Laplace X(s) ca nó. PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 4

sbsbb
sA
sB
sX
+++
+++
==
.....
.....
)(
)(
)(
10
10
vi m < n (3.12)
nh lí 3.2: Xét tín hiu nhân qu causal x(t) có X(s) dng (3.12) . chun
bc 1 ca x(t) là mt s hu hn ||x(t)||
1
= K <
∞ thì điu kin cn và đ là tt
c các đim cc ca X(s) phi nm bên trái trc o (có phn thc âm) .
3.1.3 i s ma trn
3.1.3.1 Mt s ma trn thng gp:
- Mt ma trn A=(a
ij
) có s hàng bng s ct đc gi là ma trn vuông.
ng chéo ni các phn t a
ii
trong ma trn vuông đc gi là đng chéo
chính .ng chéo còn li đc gi là đng chéo ph.

ij
= 0 khi i ≠ j ,tc là các phn t không
nm trên đng chéo chính đu bng 0, đc gi là ma trn đng chéo. Ma
trn đng chéo đc ký hiu bi:
A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nn
a
a
a
A
BBBB
A
A
00
00
00
22
11

= 0 khi i > j (hoc i < j) đc gi là ma trn
tam giác
+ Ma trn tam giác di
A=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nnnn
aaa
aa
a
A
BBBB
A
A
21
2221
11
0
00
(3.15)

- Phép cng / tr: Cho hai ma trn A=(a
ij
) và B=(b
ij
) cùng có m hàng và n
ct .Tng hay hiu A ± B = C =(c
ij
) ca chúng đc đnh ngha là mt ma
trn cng có m hàng và n ct vi các phn t
c
ij
= a
ij
+ b
ij
i=1,2,…..,m và j=1,2,…..,n.
- Phép nhân vi s thc: Cho ma trn A=(a
ij
) có m hàng và n ct và mt s
vô hng thc(phc) x tùy ý .Tích B = xA = Ax = (b
ij
) đc hiu là ma trn
cng có m hàng và n ct vi các phn t

B
ij
= x.a
ij
i=1,2,….m và j=1,2,…..,n
- Phép chuyn v: Ma trn chuyn v ca ma trn A=(a

=
p
k
kjik
ba
1

Mt ma trn vuông A
nn
R
×
∈ đc gi là ma trn trc giao nu A
T
A=AA
T
=I
3.1.3.3 Hng ca ma trn:
Cho n vector v
i
i=1,2,…,n Chúng s đc gi là đc lp tuyn tính nu đng
thc a
1
v
1
+a
2
v
2
+…….+a
n

ij
là nhng s thc
(hoc phc),nói cách khác A ∈ R
m
×
n
(hoc A ∈ C
m
×
n
).Nu tn ti mt ma
trn B tha mãn :
AB = BA = I (ma trn đn v) (3.21)
Thì ma trn B đc gi là ma trn nghch đo ca A và ký hiu là B = A
-1
.
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 7
Do phi tn ti c hai phép nhân AA
-1
và A
-1
A cho ra kt qu có cùng kiu
nên ma trn A phi là mt ma trn vuông,tc là phi có m = n.Hn na do
det(I) = 1 ≠ 0 nên:
det(A)det(A
-1
) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A
-1
) ≠ 0. (3.22)

A
dc
ba
A
)det(
1
1
(3.25)
- (AB)
-1
= B
-1
A
-1

(3.26)
- (A
-1
)
T
= (A
T
)
-1
(3.27)
- Nu A = diag(a
i
) và không suy bin thì A
-1
= diag

n
×
n
không suy bin . Nu U ∈ R
n
×
m
và V ∈ R
n
×
m
là
hai ma trn làm cho (I+V
T
A
-1
U) cng không suy bin thì
(A+UV
T
)
-1
= A
-1
– A
-1
U(I+V
T
A
-1
U)

4
– A
3
A
1
-1
A
2
cng không suy bin thì

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
−

(3.31)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 8

Nu A
4
không suy bin và C = A
1
– A
2
A
4
-1
A
3
cng không suy bin thì
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

AACC
AA
AA
A
(3.32)
3.1.3.5 Vt ca ma trn:
Cho ma trn vuông A=(a
ij
) ,i,j=1,2,……,n kiu (nxn).Vt ca A đc hiu
là tng giá tr các phn t trên đng chéo chính ca A và đc ký hiu
bng trace(A):
trace=
∑
=
m
i
ii
a
1
(3.33)
Vt ca ma trn có các tính cht:
a. trace(AB) = trace(BA) (3.34)
b. trace(S
-1
AS) = trace(A) vi S là ma trn không suy bin bt kì (3.35)
3.1.3.6 Giá tr riêng và vector riêng:
S thc
λ
đc gi là giá tr riêng và vector x đc gi là vector riêng bên
phi ng vi giá tr riêng

c. Nu A không suy bin thì AB và BA có cùng các giá tr riêng ,tc là:
det(AB-
λ
I)=det(BA-
λ
I) (3.40)
d. Nu A là ma trn đi xng (A
T
=A) thì các vector riêng ng vi nhng giá
tr riêng khác nhau s trc giao vi nhau
Trong Matlab ,s dng hàm eig(A) đ tìm ma trn riêng và vector riêng.
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 9
3.1.3.7 Tính toán ma trn:
Cho ma trn X = (x
ij
) ∈ C
m
×
n
là mt ma trn thc (hoc phc) và F(X) ∈ C
là mt vô hng thc hoc phc ca X .o hàm ca F(X) đi vi X đc
đnh ngha

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

T
Trace AXB A B
X
Trace X k X
X
Trace XBX XB B B
X
XAX AX AX
X
Trace AX B BA
X
−
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
==
∂
∂
=+
∂
∂
=
∂

3.1.3.8 Chun ca ma trn:
Ngi ta cn đn chun ca ma trn là nhm phc v vic kho sát tính gii

≤≤
= (3.48)
- Chun vô cùng ca ma trn A
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 10 ∑
=
≤≤
∞
=
n
j
ij
mi
aA
1
1
max
(3.49)
- Chun Euclide ca ma trn A (chun Frobenius)

)(
2
AAtraceaA
T
ij
ij
F
==

js =
)0( ∞<≤
ω
, thì tr suy bin ca )(
ω
jA là mt hàm ca
ω
và đc gi là
đ li chính ca A(s).  đây chúng ta gi s rng
i
σ
đc sp xp theo th
t sao cho
1+
≥
ii
σσ
. Nh vy,
1
σ
là tr suy bin ln nht và
k
σ
là tr suy
bin nh nht. Ký hiu
σ
là tr suy bin ln nht và
σ
là tr suy bin nh
nht.

⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
7
8
4
2
6
9
;
>> S =svd(A)
S =
[14.9359
5.1883]
S: vector ca các giá tr suy bin ca ma trn A
)(A
σ
=14.9359
σ
(A)=5.1883
3.1.5 n đnh ni
n đnh ni là yêu cu c bn đi vi mt h thng hi tip thc. Ý ngha
ca n đnh ni là khi đu vào h thng bng không thì tt c các trng thái
h thng đu phi v không t mi giá tr ban đu. Mi h thng t đng
đu phi bo đm n đnh ni mi hot đ
ng đc.


PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 12

iu kin n đnh ni cht hn điu kin n đnh da trên hàm truyn vào-
ra thông thng, vì nó tránh vic kh các cc và zero không n đnh gia
các khâu liên tip nhau. Khi thành lp hàm truyn vào-ra, có th xy ra hin
tng kh cc và zero không n đnh ca các khâu liên tip nhau. Nh vy,
điu kin n đnh ni bo đm các tín hiu bên trong h thng đu h
u hn
khi tín hiu vào là hu hn.
Ví d, ta kho sát điu kin n đnh ni ca h thng hình 3.2:
2
1
1
1
2
212122
2
1
1
1
1
121211
)()(
)()(
wGKIGwGKIe
GKeGwwGewe
KwKGIwKGIe
KGeKwwKewe
−−
−−

()
−
−I KG ,
1
()
−
−I KG K ,
1
()
−
−
I GK G ,
1
()
−
−I GK đu n đnh.
3.1.6 nh lý đ li nh (Small Gain Theorem)
Cho h thng đc biu din nh hình 3.3: Gi λ
i
là tr riêng ca G

Hình 3.3 : H thng hi tip vòng kín
nh lý đ li nh đc phát biu nh sau:
Gi thit rng G(s) n đnh, ρ(G(jω)) là bán kính ph ca G(jω). H thng
vòng kín n đnh nu
( )
1max))(( <=
i
jG
λωρ

h thng vòng kín s n đnh bn vng vi mi Δ
)1)(( ≤Δ
σ
nu và ch nu
khi mt trong các điu kin sau tha mãn:
a. )1(,0))(( ≤Δ∀∀≠Δ−
σωω
jMIDet (3.54)
b.
)1(,1))(( ≤Δ∀∀<Δ
σωωρ
jM (3.55)
c.
ωωσ
∀<=
∞
1))(( jMM (3.56)

v
M
Δ
w
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 14 3.1.7.2 iu kin n đnh bn vng đi vi sai s cng:
Vi
ωωσδ
∀≤ΔΔ=Δ 1))((),()()( jsss
AA

δ
(3.60)

Kt lun: H thng vòng kín hình 3.5 n đnh bn vng khi và ch khi:

)(
ωσ
j =||M(s)||
∞
=

1
)]()([
)()(
<
+
∞
sGsKI
ssK
A
δ
(3.61) K
v
-
G
+
Δ

=− + (3.64)
vy

)()(
)()()(
sKsGI
ssKsG
M
O
+
−=
δ
(3.65)
Kt lun: H thng vòng kín hình 3.6 n đnh bn vng khi và ch khi:

1
)()(
)()()(
<
+
∞
sKsGI
ssKsG
O
δ
(3.66)
K

Ngõ ra y là ngõ ra hi tip và đo đc. Ngõ ra z là điu khin đc. Tín hiu
nhiu w là nhiu h thng và v là nhiu đo .
Tín hiu v và w là nhng quá trình nhiu trng .Trng thái ban đu ca x(0)
đc gi s là mt vector ngu nhiên .
Nhiu s gi s khác nhau đnh ngha trng thái x(t) t
∈R và ngõ ra điu
khin đc z(t),t
∈
R là nhng quá trình ngu nhiên .Biu thc sai s toàn
phng :
0)()()()( ≥+ ttRututQztz
TT
(3.68)
là mt quá trình ngu nhiên.
Vn đ ca điu khin h thng là giá tr mong đi ca tích phân :

dttRututQztzE
T
TT
])()()()([
0
∫
+
(3.69)
là nh. ây là vn đ điu khin tuyn tính nhiu lon. Khong thi gian [0
T] là xác đnh nhng tht s chúng ta xem xét trng hp T
∞→ . Ti bt
k thi gian t toàn b tín hiu đo đc  quá kh y(s) s t
≤ đc gi s có
giá tr cho hi tip. Hình (3.7) làm rõ trng hp này :

Tín hiu )(
ˆ
tx là mt c lng ca trng thái x(t).Nó tha mãn phng trình
vi phân trng thái ca h thng (3.70) vi thành phn thêm vào
L)](
ˆ
)([ txCty − .L là ma trn đ li quan sát cn đc la chn phù hp. Sai
s quan sát y(t)
)(
ˆ
txC−
là s khác nhau gia ngõ ra đo đc thc t y(t) và
ngõ ra )(
ˆ
)(
ˆ
txCty = .Thành phn thêm vào L )](
ˆ
)([ txCty
− cung cp mt s
điu chnh ch đng ngay khi sai s ca s quan sát là khác 0. SYSTEM
CONTROLLER
w
v
u
+
+

~
(0). Vì vy
)()(
ˆ
txtx
t
⎯⎯→⎯
∞→
(3.74)
Trng thái c lng hi t v trng thái thc.
Trong Matlab dùng hai lnh acker và place đ tính ma trn L ca khâu
quan sát trng thái :
L= acker(A’,C’,p)
L= place(A’,C’,p)
A’ : Chuyn v ca ma trn A
C’ : Chuyn v ca ma trn C
p : Khai báo các đim cc mong mun

SYSTEM
SYSTEM
MODEL
L
y
ˆ

y
z
x
ˆ


giao qua li vi nhau.
Hình 3.9 : B quan sát trng thái ca Kalman
y
ˆ

B
∫

L
γ
C
C
A
B
A

()
ˆˆ
x Ax Bu L y y
yCx
=++ −
=
$
(3.77)
Mc tiêu ca thit k b lc Kalman : Tìm đ li c lng L đ có s c
lng ti u trong s hin din ca nhiu w(t) và v(t)
Sai s c lng: )(
ˆ
)()(
~
txtxtx −= (3.78)
 li L s đc chn sao cho giá tr trung bình ca sai s c lng toàn
phng là bé nht .
3.2.3.2 C s toán hc:
Lý thuyt xác sut:
T phng trình (3.75) đc thêm vào bi nhiu quá trình, trng thái x(t)
bây gi cng là mt quá trình ngu nhiên nh là y(t).  kho sát nhng
đc tính thông thng ca quá trình ngu nhiên cn nhc li mt s khái
nim lý thuyt xác sut (Papoulis 1984). Mc dù w(t) và v(t) là nhng đi
lng ngu nhiên không bit đc, nhng cn bit mt vài đc đim đ h
tr vic thit k các b đi
u khin. Chng hn nh có th bit đc giá tr
trung bình hoc tng nng lng ca chúng.
Cho vector ngu nhiên z
∈R
n

∞−
ξ
ƒ
z
(
ξ
)d
ξ
(3.80)
đc ký hiu bng
z . Chú ý rng z
∈
R
n
.
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 21
Hip phng sai ca z đc cho bi
P
z
=E
{ }
T
zzzz ))(( −− (3.81)
Chú ý rng P
z
là ma trn hng n×n
Phn quan trng ca vector ngu nhiên đc đc trng bi Gaussian hoc
nomal PDF
ƒ

2
1
)(
−−
Π
=
ξ
ξ
(3.83)
đc minh ha  hình 3.10 .Vì vy nhng vector ngu nhiên ly giá tr gn
vi
z có xác sut ln nht và xác sut s gim khi ly giá tr xa z .Nhiu
bin ngu nhiên là Gaussian.
Nu vector ngu nhiên là mt hàm ca thi gian đc gi là mt quá trình
ngu nhiên đc tng trng là z(t). Khi đó PDF có th thay đi theo thi
gian và chúng ta vit là ƒ
z
(
ξ
,t). iu đó có th tng tng rng PDF 
hình 3.10 thay đi theo thi gian. Trong tình hung này, giá tr mong đi và
ma trn hip phng sai là nhng hàm thi gian vì th chúng có th biu
hin
z (t) và P
z
(t).

Hình 3.10 : Gaussian PDF
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 22


2
t ).
Trong nhiu trng hp tnh, giá tr mong mun ca hàm hai bin g(z,x)
đc xác đnh bi:
E
{
))(),((
21
txtzg
}
=
∫
+∞
∞−
g(
ξς
,)ƒ
zx
(
ξς
,,t
1
- t
2
)d
ς
d
ξ
(3.84)
Ma trn tng quan chéo đc xác đnh bi

(
τ
)=E
{ }
)()( tztz
T
τ
+ (3.87)
Hàm t tng quan đem đn cho ta vài thông tin quan trng v quá trình
ngu nhiên z(t). Thí d nh :
trace
[]
)0(
z
R =trace
{ }
[ ]
)()( tztzE
T
=E
{ }
)(tz (3.88)
tng đng vi tng nng lng ca quá trình z(t).
Nu
0)(
=
τ
zx
R (3.89)
Chng 3 : iu khin bn vng

0
) , có th biu din nó nh sau :

x (0)
≈
(x
0
,P
0
) (3.91)
gi s w(t) và v(t) có tr trung bình bng 0 và gi s rng nhiu quá trình và
nhiu đo là nhiu trng quá trình đ:
R
w
(
τ
)=E
{ }
)()()(
τδτ
Wtwtw
T
=+ (3.92)
R
v
(
τ
)=E
{ }
)()()(

w
(3.97)
có nhiu trng ngõ vào là n(t) và ngõ ra là w(t). Chúng đc gi là các b
lc nn nhiu . Nhng đc tính đng này có th kt hp vi phng trình
ca đi tng (3.75), (3.76) đ có đc đc tính đng đc hiu chnh nh
sau.
n
B
D
u
B
x
x
A
CA
x
x
w
w
w
w
w
w
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+

(3.98)
y=
[]
v
x
x
C
w
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
(3.99)
c tính đng có nhiu trng quá trình n(t). Mt th tc tng t có th làm
theo các bc nh th nu v(t) không phi là nhiu trng. Do đó, có th mô
t mt h thng không có nhiu trng di dng mt h thng điu chnh
vi nhiu trng và nhiu đo lng .
Xác đnh h thng (3.96), (3.97) miêu t nhiu không phi là nhiu trng
w(t) (ho
c v(t)) da trên phân tích mt đ ph ca nhiu w(t). Chi tit xem
Lewis (1986 )
Bây gi thit k b c lng cho h thng (3.75), (3.76) di nhng gi s
đã đc lit kê. Cho b quan sát có dng nh sau:
)
ˆ
(

ˆ
(t) (3.103)
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 25
S dng( 3.75) và (3.100) sai s h thng là :
x
$
~
=(A-LC) x
~
+
γ
w-Lv
≡A
0
x
~
+
γ
w-Lv (3.104)
chú ý rng sai s h thng xy ra khi có s tham gia ca nhiu quá trình và
nhiu đo lng . Ngõ ra ca sai s h thng có th đc cho bi =y- y
ˆ
đ:
=C x
~
(3.105)
Hip phng sai ca sai s đc cho bi:
P(t)=E
{ }

0
$
(3.107)
Vì th
dt
d
E
{}
x
~
=A
{ }
xE
~
0
(3.108)
Do đó, E
{}
x
~
là lng bin đi theo thi gian tuân theo phng trình vi phân
vi ma trn h thng A
0
.Nu A
0
=A-LC là n đnh thì E
{ }
x
~
luôn bn vng