ĐIềU KHIểN PHÂN cặP

TS. Nguyễn Văn Giáp

KS. Phạm Thị Thúy Ngọc
Bộ môn Cơ Điện tử, Khoa Cơ khí
Đại học Bách khoa Tp Hồ Chí Minh
Email: [email protected]

Tóm tắt
Các hệ nhiều ngõ vào/nhiều ngõ ra (MIMO- Multi Input Multi Output) rất khó có thể điều khiển chính xác vì
chỉ cần một ngõ vào thay đổi sẽ tác động đến nhiều, nếu không muốn nói là tất cả các ngõ ra. Bài báo này
giới thiệu về kỹ thuật điều khiển phân cặp, một phơng pháp điều khiển giúp hệ ban đầu hoạt động theo cách
dễ điều khiển hơn, trong đó tác động của các ngõ vào đợc phân cặp dẫn đến mỗi ngõ ra chỉ chịu ảnh hởng
duy nhất của một ngõ vào.

Abstract
Multi-input/multi-output system are usually difficult for human operator to control directly, since changing
any one input generally affects many, if not all, outputs of the system. Decoupling is a control method that
make the original system behave in the way easier to control manually where the input actions are
decoupled, each output is therefore affected by only one input signal.

1. giới thiệu

Trong lĩnh vực điều khiển, việc thiết kế bộ điều khiển cho các hệ MIMO đòi hỏi tốn nhiều
thời gian và công sức. Thêm vào đó, việc điều khiển các hệ này rất khó mang lại sự chính
xác do các ngõ vào và ngõ ra có mối liên hệ phức tạp, chỉ cần một ngõ vào thay đổi cũng có
thể dẫn đến sự thay đổi của nhiều ngõ ra. Để đơn giản hơn trong việc điều khiển các hệ
MIMO, ngời ta thiết kế các bộ bù nhằm làm cho hệ sau khi bù sẽ có khuynh hớng ở dạng
đờng chéo. Nếu hệ sau khi bù có dạng chéo thì có thể xem hệ là một tập hợp của các hệ
một ngõ vào/ một ngõ ra (SISO), nh vậy việc điều khiển sẽ trở nên đơn giản hơn. Một

Hình 2.1: a) Hồi tiếp ngõ ra hằng
b)Hồi tiếp trạng thái tuyến tính

Đầu tiên, nghiên cứu việc phân cặp đờng chéo một hệ vuông bằng cách sử dụng hồi tiếp
trạng thái. Cần tìm một ma trận truyền sao cho tích của nó với ma trận hàm truyền hở của
hệ là một ma trận truyền vòng kín có dạng đờng chéo. Bất kỳ một hệ vuông nào có ma
trận hàm truyền hạng đầy đủ đều có thể đợc phân cặp đờng chéo. Hệ không thỏa mãn
điều kiện này, tức là không có các ngõ ra độc lập tuyến tính, thì không thể phân cặp bằng
bất kỳ dạng điều khiển nào.
Điều kiện cần và đủ để một hệ có thể phân cặp đờng chéo bằng hồi tiếp trạng thái là tồn
tại ma trận hằng số B* không suy biến. Ma trận này đợc thiết lập nh sau:
Với hệ đợc biểu diễn bằng không gian trạng thái:
Xét hệ liên tục
,BuAxx +=
&

Hàng
i
này sẽ trở thành hàng
i
của
B*
.
Ví dụ 2.1 Cho hệ có








=








=





6116
100
010
DCBA

G B

C
A
H
r
u
x
&
x y
G B

C
A
F
r
u
x
&
x y
a)
r
b)
r
Tất cả các hàng của D bằng 0. Do vậy tìm f


Với hệ đợc biểu diễn bằng ma trận hàm truyền: Giả sử T(s) và T(z) là ma trận hàm
truyền của hệ liên tục và hệ rời rạc (s là biến của biến đổi Laplace, z là biến của biến đổi z).
D(s) là ma trận dờng chéo, D(s) = diag
(
i
f
s
), {
f
i

}
là các số nguyên thỏa mãn tất cả các
hàng của
()()
sTsD
s
lim

là hằng số và khác
0.
Các số nguyên
f
i

là các chỉ số phân cặp.

()()
*lim BsTsD

s
s
ss
sT









=
80
21
*B
vụựi f
1
= 1, f
2
= 0.
H
ệ này có thể phân cặp đơng chéo.
3.
Phân cặp dạng đờng chéo và độ ổn định

Hệ sau khi phân cặp có ổn định nội không, tức là có sự khử ẩn lẫn nhau giữa các cực và
zero không ổn định không? Những dạng mất ổn định nh thế rất nguy hiểm cho hệ vì
không thể phát hiện tra khi kiểm tra hàm truyền. Để có thể phân cặp đờng chéo và đảm

,,
. Thực tế
*

BD =
, nếu
*
B
đã đợc giả sử có hạng đầy đủ nghĩa là tồn tại ma
trận giả phải của
()
sT

. Giả sử hệ đã cho là vuông, ta có:

() ( )
11
*,

*

==
BGCBF
(3.1)

á
p
dụng vào hệ
,BuAxx
+=

Ma trận hồi tiếp trạng thái F ấn
định n giá trị riêng vòng kín tại n zero của
( )
sT

; tức là zero của T(s) và D(s). Các vectơ
riêng của hệ vòng kín đợc gán giá trị tơng ứng nhằm loại bỏ tất cả các zero để
() ()
pGF
IsTsD
=
,
. Thay
D
(
s
)
bằng
( ) ( ){ }
spdiagsD
i
=

với
( )
sp
i
là các đa thức ổn định bậc
i
f

. Với hồi tiếp
trạng thái, ta có hệ sau ổn định
() () ( )
{ }
spdiagsDsT
iGF
11
,

==
(3.3)
Ví dụ 3.1
()
()















+

==


Ta thấy hệ có
*B
hạng đầy đủ nên có thể áp dụng phân cặp đờng chéo dùng hồi tiếp
trạng thái u = Fx + Gr. Hệ có một zero truyền tại -1 và không có zero ghép cặp đờng chéo,
vì vậy có thể phân cặp với độ ổn định nội.
()








+
+
==
20
01

s
s
sD

() ()()
sTsDsT


=











=
313
021

1
0
0
0
1
0
001
000
010
CBA

dựa vào (3.1) và (3.3) ta có:
()


01
*
1
BG
() ()












+
+
==

2
1
0
0
1
1

1
,

i
ngõ vào
và i ngõ ra sao cho

= pp
i
.
Các hệ thỏa mãn điều kiện phân cặp đờng chéo thì cũng có thể phân cặp khối, tuy nhiên
chỉ nên áp dụng phơng pháp này khi không thể chéo hóa hoàn toàn, nghĩa là khi
B*
suy
biến. Điều này tơng tự với điều kiện là tất cả các hàng của
()()
sTsD
s

lim
là hữu hạn và
khác 0, trong đó có một số hàng phụ thuộc tuyến tính vào các hàng trớc đó. Tức là có thể
cộng tích các hàng từ 1, 2, ..., i-1 vào i để kết quả bằng 0, tức là làm cho vectơ hệ số chính
hàng này của
()()
sTsD
s

lim

bằng 0. Nếu hệ số chính mới của hàng này trong D(s)T(s) có
bậc s
-k

lim
là hữu hạn và hạng đầy đủ.
X
T
(
s
) có thể tìm từ hệ có dạng ma
trận hàm truyền hay không gian.
Một hệ vuông chỉ có thể phân cặp khối nếu và chỉ nếu bộ tác động của nó có cùng dạng cấu
trúc đờng chéo.

Ví dụ 4.1
()












++
+
=
4
8

B* không suy biến nên thỏa mãn định nghĩa của ma trận K
T
.
Vậy K
T
=B* với
()








==
10
0
,
2
1
s
ssdiagsX
f
f
T

Ví dụ 4.2

()




=
84
21
*
B
vụựi
f
1
= 1,
f
2
= 1.
B* suy biến.
Trừ bốn lần hàng 1 của
( )
( )
sTsdiag
i
f
cho hàng 2 để loại các vectơ hệ số phụ thuộc tuyến
tính. Sau đó nhân kết quả hàng đa thức bậc thấp hơn với
s
để có giới hạn hữu hạn khi
s
tiến
đến vô cực.
()

0
0
04
01
0
01

1
,
()
()( )












++

+

+
=
41