Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
1
Chương 1 PHÉP TÍNH TEN-XƠ
1.1.TEN-XƠ VÀ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC:
Cơ học môi trường liên tục (CHMTLT) nghiên cứu các đại lượng vật lý
mang tính độc lập với mọi hệ tọa độ biểu diễn chúng. Các đại lượng vật lý này
được xác định bởi một hệ tọa độ thích hợp. Theo toán học những đại lượng như
vậy được biểu diễn bởi ten-xơ.
Ten-xơ hiện hữu độc lập với hệ tọa độ bất kỳ và được xác định trong một
hệ tọa độ bởi các thành phần của nó. Định rõ các thành phần của ten-xơ trong 1
hệ tọa độ sẽ xác định được các thành phần của nó trong các hệ tọa độ khác.
Định luật biến đổi các thành phần của một ten-xơ được sử dụng ở đây như
là công cụ để xác định ten-xơ.
Định luật vật lý của cơ học môi trường liên tục được biểu diễn bởi các
phương trình ten-xơ. Bởi vì sự biến đổi của ten-xơ thì tuyến tính và đồng nhất.
Những phương trình ten-xơ như vậy nếu nó có hiệu lực trong một hệ tọa độ thì sẽ
hiệu lực đối với mọi hệ tọa độ khác. Sự bất biến của phương trình ten-xơ dưới
phéïp biến đổi tọa độ là trọng điểm của phương pháp ten-xơ trong cơ học môi
trường liên tục.
1.2. TEN-XƠ TỔNG QUÁT _ TEN-XƠ DESCARTES _ HẠNG CỦA TEN-XƠ:
- Ten-xơ tổng quát: là các ten-xơ được xét trong các hệ tọa độ cong bất kỳ.
- Ten-xơ Descartes: là các ten-xơ được giới hạn trong các phéïp biến đổi
hệ tọa độ đồng nhất với nhau.
- Hạng của ten-xơ: Trong không gian Euclide 3 chiều, chẳng hạn như
không gian vật lý thông thường, số thành phần của ten-xơ là 3
N
, N được gọi là bậc
hay hạng của ten-xơ. Nghĩa là:
* ten-xơ hạng zero sẽ được xác định trong bất cứ hệ tọa độ không gian 3
chiều nào bởi 1 thành phần và được gọi là số vô hướng.
* ten-xơ hạng nhất sẽ có 3 thành phần tọa độ trong không gian vật lý, được

g=)c+b(+a=c+)b+a( ; a+b_=b-a=d ; a+b=b+a=c
rr
r
rr
r
rr
rr
r
r
r
rr
rr
[1.1]
Hình 1. Biểu diễn phép cộng của các véc tơ.
Hình 2. Biểu diễn các phéïp nhân của các véc tơ.
1.4.2. Nhân véc tơ cho một số vô hướng: tạo thành một véc tơ mới có cùng
phương nhưng khác về độ lớn. Luật nhân véc tơ có tính kết hợp và phân bố.

bm+am = )a+bm( = )b+am(
bn+bm = bm)+(n = bn)+(m
b(mn) = )bn(m = )bm(n
r
rr
rr
r
rrrr
rrr
[1.2]
Một véc tơ chia cho độ lớn của nó cho ra 1 véc tơ đơn vị có cùng phương với
véc tơ ban đầu.

≤
≤≤
≤

θ
θθ
θ

≤
≤≤
≤

π
ππ
π
θ
θθ
θ
a
b
a
×
××
×
b = v
v
Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
3
a/.Tích vô hướng hay tích chấm (.) : của 2 véc tơ a
r

ˆ
)sin(ab = ab- = ba = v
θ
r
rr
r
r
×× [1.5]
θ là góc kẹp < 180
o
giữa 2 véc tơ a
r
và b
r
e
ˆ
là véc tơ đơn vị trực giao với mặt phẳng tạo bởi 2 véc tơ theo quy tắc bàn tay
phải.
Độ lớn của véc tơ
v
r
bằng với diện tích của hình bình hành có 2 cạnh là a
r
và b
r
.
Tích véc tơ thì không giao hoán.
c/. Tam tích vô hướng (scalar triple product): là tích vô hướng của 2 véc tơ trong
đó 1 véc tơ được tạo ra từ tích hữu hướng của 2 véc tơ khác.
λ

Véc tơ tích
r
w sẽ nằm trên mặt phẳng của
r
b
và c
r
.
1.5. NHỊ TÍCH VÀ NHỊ THỨC:
1.5.1. Nhị tích: Tích véc tơ bất định của 2 véc tơ a
r
và b
r
được định nghĩa bởi
phép nhân ghéïp (juxtaposition), ký hiệu: ba
r
r
, được gọi là nhị tích. Tích bất định,
một cách tổng quát, thì không giao hoán:
ab ba
r
rr
r
≠ [1.8]
Véc tơ đầu tiên trong nhị tích được gọi là tiền kiện và véc tơ thứ hai được gọi là
hậu thức.
1.5.2. Nhị thức D: Tương ứng với 1 ten-xơ hạng hai được biểu diễn theo tổng
hữu hạn của các nhị tích.
b
a

2
2
N
N
=
b
a
+
b
a
+...+
b
aD
r
r
r
r
r
r
[1.10]
_ Nhị thức vô hướng D
s
: Nếu mỗi nhị tích được thay bằng tích vô hướng
của 2 véc tơ thì được gọi là số vô hướng của nhị thức D.
b
.
a
+...+
b
.

a
+
b
a
=
D
N
N
2
2
1
1
v
r
r
r
r
r
r
××× [1.12]
_ Nhị thức đơn vị hay nhân tử lũy đẳng I: là nhị thức trong đó
1
e
ˆ
,
2
e
ˆ
,
3

cbcac)ba(
r
r
rrr
r
r
+=+
[1.16]
dbcbdaca)dc)(ba(
rr
r
rr
rrr
r
r
r
r
+++=++
[1.17]
nếu
λ
và
µ
là 2 số vô hướng thì:
bababa)(
r
r
r
r
r

rr
[1.20]
w= )v.b(a +...+ )v.b(a + )v.b(a = v.D
nn2211
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
r
[1.21]
D trong biểu thức [1.20] được gọi là nhân tố sau và trong biểu thức [1.21] là nhân
tố trước.
Hai nhị thức D và E bằng nhau nếu và chỉ nếu:
.E v= .Dv
rr
hoặc
vE. = vD.
rr
[1.22]
Tích chéo
v
r
với nhị thức D: là 1 nhị thức
F = b)av(+...+ b)av( + b)av( = Dv
nn2211

r
r
là 1 nhị tích được định nghĩa bởi:
da)c.b( = dc. ba
r
rr
rr
r
r
r
[1.25]
Tích chấm của 2 nhị thức D và E là 1 nhị thức:
)dc+...+dc+dc).(ba+...+ba+ba( = D.E
nn2211nn2211
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Gda)c.b(+...+da)c.b(+da)c.b(=
nnnn21211111
=
r

[1.31]
trong đó
G = D) + (D
2
1
= ))(D + (D
2
1
= G
ccccc
[1.32]
H- = D)- (D
2
1
= ))(D- (D
2
1
= H
ccccc
[1.33]
1.6. CÁC HỆ TỌA ĐỘ_ VÉC TƠ CƠ SỞ_ BỘ BA VÉC TƠ ĐƠN VỊ:
1.6.1.Hệ tọa độ Descartes vuông góc : Biểu diễn bằng ba trục vuông góc nhau
từng đôi một Oxyz.
_ Các véc tơ cơ sở: Một véc tơ
v
r
bất kỳ được biểu diễn bằng tổ hợp tuyến
tính với 3 véc tơ tùy ý, không cùng mặt phẳng và khác không của hệ tọa độ bất kỳ
được gọi là 3 véc tơ cơ sở.
c + b + a = v

j
ˆ
= i
ˆ
k
ˆ
; i
ˆ
= k
ˆ
j
ˆ
; k
ˆ
= j
ˆ
i
ˆ
××× [1.36]
và
1= k
ˆ
.k
ˆ
j
ˆ
.j
ˆ
= i
ˆ

v
r
trên các hệ trục:





==
==
==
γ
β
α
cosvk
ˆ
.vv
cosvj
ˆ
.vv
cosvi
ˆ
.vv
z
y
x
r
r
r
[1.38]

ˆ
b+j
ˆ
b+i
ˆ
).(bk
ˆ
a+j
ˆ
a+i
ˆ
(a = b.a
zyxzyx
r
r
)ba+ba+b(a =
zzyyxx
[1.40]
và tích hữu hướng của a
r
và b
r
là:
k
ˆ
)ba-b(a+j
ˆ
)ba-b(a+i
ˆ
)ba-b(a = ba

ˆ
k
ˆ
$
k
α
β
z
v
r
v
r
γ
z
Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
7
Tam tích vô hướng của 3 véc tơ
c,b,a
r
r
r
có thể được viết dưới dạng định thức sau:
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
]cb.a[ =×
r

ˆ
j
ˆ
ba
+ k
ˆ
i
ˆ
ba + j
ˆ
i
ˆ
ba + i
ˆ
i
ˆ
ba =
)k
ˆ
b+j
ˆ
b+i
ˆ
)(bk
ˆ
a+j
ˆ
a+i
ˆ
(a = ba

i
ˆ
= I
[1.45]
Bộ ba các véc tơ cơ sở )e
ˆ
,e
ˆ
,e
ˆ
(
zR
θ
của hệ tọa độ trụ và )e
ˆ
,e
ˆ
,e
ˆ
(
r
φθ
ở đây đều
không có phương cố định và vì thế ,nói chung , là hàm vị trí.
Hình 4. a/Hệ tọa độ trụ b/ Hệ tọa độ cầu
v
r
v
r
x

Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
8
1.7. HÀM VÉC TƠ TUYẾN TÍNH - TOÁN TỬ VÉC TƠ TUYẾN TÍNH VÀ NHỊ
THỨC:
1.7.1. Hàm véc tơ tuyến tính: cho 1 véc tơ a
r
là hàm số của véc tơ b
r
, ký hiệu:
( )
bfa
r
r
= [1.46]
Hàm số f được gọi là tuyến tính khi:
)bf( = )bf(
)cf(+)bf( = )c+bf(
rr
r
r
r
r
λλ
[1.47]
λ là số vô hướng bất kỳ.
Theo [1.37] :
)k
ˆ
b + j
ˆ

( v+ )b.i
ˆ
( u= a
rr
rrr
r
r
r
r
r
r
r
hay
bD. = a
r
r
[1.48b]
trong đó k
ˆ
wj
ˆ
vi
ˆ
uD
rrr
++= là 1 nhị thức được xem như là 1 toán tử véc tơ tuyến
tính.
1.8. KÝ HIỆU CHỈ SỐ_ KHOẢNG VÀ QUI ƯỚC CỘNG CHỈ SỐ:
1.8.1. Ký hiệu chỉ số: Thành phần ten_xơ hạng bất kỳ, cũng như chính bản thân
ten_xơ đó có thể được biểu diễn chính xác và rõ ràng bởi các ký hiệu chỉ số. Chỉ

1.8.2. Khoảng của chỉ số và qui ước cộng chỉ số:
Một ký hiệu chỉ số cóï thể xuất hiện giống nhau 2 lần trong 1 ten_xơ.
- Nếu 1 chỉ số chỉ xuất hiện 1 lần thì khoảng của chỉ số sẽ lấy giá trị số
nguyên từ 1,2,..,N. Chỉ số này được gọi là chỉ số tự do, ví dụ các ten_xơ: a
i
, b
j
, D
ij
,
E
ijk
, có i, j, k đều là các chỉ số tự do. Hạng của ten_xơ được xác định bằng với
tổng số các chỉ số tự do của ten xơ đó.
- Nếu cùng 1 ký hiệu chỉ số xuất hiện hai lần trong một ten_xơ thì được hiểu là chỉ
số giả, giá trị của ten_xơ đó được tính bằng tổng các giá trị trong khoảng biến
Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
9
thiên của chỉ số này, kết quả là chỉ số này sẽ biến mất, đây là qui ước cộng chỉ số.
Ví dụ:
x
i
= C
ij
z
j
có thể khai triển thành




b
j
; F
ikk
; R
p
.qp
;
∈
∈∈
∈
ijk
u
j
v
k
- Ten_xơ hạng 2 sẽ có 2 chỉ số tự do sau đây:
D
ij
; D
i
.j
; D
i
.j
; D
ij
; A
ijip
; B

a,a,aa = hay
3
2
1
i
a
a
a
a
=
[1.51]
Tổng quát đối với khoảng của chỉ số là N thì 1 ten_xơ hạng m sẽ có N
m
thành
phần.
Thí dụ đối với khoảng N của chỉ số i và j đều là 2 thì ta có ten_xơ:
A
ij
= B
ip
C
jq
D
pq
được khai triển theo 4 thành phần sau:
A
11
= B
11
C

11
C
22
D
12
+ B
12
C
21
D
21
+ B
12
C
22
D
22
A
21
= B
21
C
11
D
11
+ B
21
C
12
D

C
21
D
21
+ B
22
C
22
D
22
Nếu khoảng của i và j là 3 thì ten_xơ A
ij
trên có 9 phương trình đại diện cho 9
thành phần của ten_xơ.
1.8.3. Ngoại lệ của quy ước cộng chỉ số:
Trong hệ toạ độ Descartes, 1 véc tơ cóï thể được biểu diễn bằng kết hợp tuyến
tính của 3 véc tơ cơ sở mang chỉ số như sau: