CHƯƠNG II QUI HOẠCH TRỰC GIAO CẤP I

1. THỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀN PHẦN TYT2
k
Trong qui hoạch thực nghiệm, tùy thông tin ban đầu mà người nghiên cứu
tổ chức các thí nghiệm để nhận được mô hình thống kê thực nghiệm dạng tuyến
tính hoặc phi tuyến. Nếu không có thông tin sơ bộ khẳng định tính phi tuyến của
mô hình thống kê thực nghiệm thì người nghiên cứu bắt đầu bằng qui hoạch
tuyến tính. Với nội dung của chương trình chúng tôi chọn qui hoạch thực
nghiệm yếu tố toàn phần và từng phần.
Những thực nghiệm mà mọi tổ hợp các mức của các yếu tố đều được thực
hiện để nghiên cứu gọi là thực nghiệm yếu tố toàn phần (TYTn
k
). Lượng thí
nghiệm cần thiết N khi hoạch định theo TYT được xác định bằng công thức.
N = n
k
(2.1)
Trong đó: n là số lượng các mức, k số yếu tố ảnh hưởng.
Để đơn giản ở đây chúng tôi chỉ xét n = 2, như vậy chúng ta có thực nghiệm
yếu tố toàn phần 2 mức k yếu tố ảnh hưởng và được ký hiệu (TYT2
k
).
1.1. Xây dựng mô hình thống kê thực nghiệm
1.1.1. Cách tổ chức thí nghiệm trực giao cấp I
a) Số thí nghiệm cần thực hiện
Trong nghiên cứu nếu người nghiên cứu chỉ tiến hành thực nghiệm ở 2 mức
của k yếu tố ảnh hưởng. Mức của các yếu tố là biên của miền nghiên cứu theo
thông số kỹ thuật đã cho. Vì vậy số thí nghiệm cần thực hiện là N = 2
k


j
X
b) Khoảng biến thiên
Khoảng biến thiên theo trục X
j
hay khoảng biến đổi của yếu tố X
j
, nó chính
là khoảng cách từ mức thấp đến tâm thực nghiệm và cũng là khoảng cách từ tâm
thực nghiệm đến mức cao, được ký hiệu và được xác định như sau:

2
minmax
jj
j
XX −
=
λ
; j = 1,2,3,…k (2.3)
Ví dụ: Nghiên cứu ảnh hưởng của 2 yếu tố đến hiệu suất y% của một phản
ứng. Biết rằng nó được thực hiện trong điều kiện sau đây, nhiệt độ (X
1
)

dao động
từ 12 ÷ 20
0
C, nồng độ (X
2
) trong khoảng 3 ÷ 5%.

2
53
0
2
=
+
=X

- Khoảng biến thiên

C
0
1
4
2
1220
=
−
=
λ

%1
2
35
2
=
−
=
λ


x
λ
0min
min
−
=

(2.4)

j
jj
j
XX
x
λ
00
0
−
=
J = 1,2,3,…,k
Từ công thức (2.4) ta dễ dàng nhận thấy trong hệ thống toạ độ không thứ
nguyên mức trên ( ) luôn luôn bằng +1, mức dưới ( ) luôn luôn bằng –1
và toạ độ của tâm phương án ( ) luôn luôn bằng không và trùng với gốc toạ độ.
max
j
x
min
j
x
0

2
… X
k
Y
1
2
3
4
“
“
N-1
N
max
1
X

min
1
X

max
1
X

min
1
X

“
“

min
2
X

max
k
X

max
k
X

max
k
X

max
k
X

“
“
min
k
X

min
k
X


… x
k
Y

(2.5)
1

2
3
4
“
“
N-1
N
+
+
+
+
“
“
+
+
+
-
+
-
“
“
+
-


Ví dụ 2.1:Lập ma trận thực nghiệm TYT2
k
với biến ảo, nếu số yếu tố ảnh
hưởng k = 3 thì số thí nghiệm cần thực hiện N = 8 (bảng 2.3).

Bảng (2.3) ma trận thực TYT2
3
S.Y.T
S.T.N
x
0
x
1
x
2
x
3
Y
1
2
3
4
5
6
7
8
+
+
+

1
Y
2
Y
3
Y
4
Y
5
Y
6
Y
7
Y
8

Phương án mã hóa trình bày ở bảng (2.3) có thể biểu diễn dưới dạng khối
lập phương hình (2.1), 8 đỉnh của nó là 8 điểm cần phải làm thí nghiệm.

d) Tính chất ma trận trực giao cấp I
• Ma trận ở bảng (2.2), (2.3) là ma trận trực giao nên nó có một số tính chất
sau:
- Tính đối xứng qua tâm thực nghiệm
; i =1,2,…k; u = 1,2, …N (2.5)

2
• Ưu điểm của ma trận trực giao cấp I
- Các hệ số (b) trong phương trình hồi qui xác định độc lập nhau
- Phương sai của các hệ số (b) trong phương trình hồi qui ( ) có giá trị tối
thiểu, được xác định theo kết quả của N thí nghiệm và nhỏ hơn (ứng với
phương án thí nghiệm tại tâm),
2
bj
S
2
th
S
)(
2
YS
(ứng với phương án thí nghiệm song song)
là N lần.
- Phương sai của các hệ số b
j
đều bằng nhau khi quay quanh gốc là tâm thực
nghiệm.
1.1.2. Một số dạng của phương trình hồi qui cấp I
Để xây dựng mô tả toán học cho một quá trình thực nghiệm, trước tiên
người nghiên cứu phải biết được sự phụ thuộc giữa các thông số đầu vào và các
thông số đầu ra (Y = f(x)) để chọn dạng phương trình hồi qui sao cho hợp lý.
Nói chung không hy vọng tìm được hàm f(x) hoàn toàn đúng mà chỉ mong sao
tìm được hàm Y
≈
f(x). Ngay cả việc tìm hàm xấp xỉ này cũng không đơn giản,
thường người ta giả thiết đã biết dang của hàm xấp xỉ đó tức là dạng của PTHQ.

0
là hệ tự do hay còn gọi là hệ số số hồi qui.
b
j
là hệ số tuyến tính
b
i j
; b
i j k
,…
.
là hệ số tương tác cặp, tương tác ba,…
Với k = 2 (2 yếu tố ảnh hưởng) ta có:
Y = b
0
+ b
1
x
1
+ b
2
x
2
Y = b
0
+ b
1
x
1
+ b

1
+ b
2
x
2
+ b
3
x
3
+ b
12
x
1
x
2
+ b
23
x
1
x
2
+ b
13
x
1
x
3
+b
123
x

(
2
1
→−=Φ
∑
=
u
N
u
u
YY
Trong đó:
u
Y
~
là giá trị tính theo PTHQ ứng với k thông số tối ưu ở thí nghiệm
thứ u
Y
u
là giá trị thực nghiệm của k thông số tối ưu hóa ở thê thí nghiện
thứ u
b) Hệ phương trình chuẩn tắc
Để đơn giản và dễ hiểu chúng ta xét trường hợp k =2 (tức là có 2 yếu tố ảnh
hưởng), dạng của PTGQ như sau:

uuuuu
xxbxbxbxbY
2112221100
~
+++=

=
∂
Φ∂
b
;
0
2
=
∂
Φ∂
b
;
0
12
=
Φ∂
b

(2.14)
Ta có thể viết dưới dạng sau:

()
[]
0
0
4
1
2112221100
0
=−+++=

b()
[]
0
4
1
22112221100
2
=−+++=
∂
Φ∂
∑
=
u
uu
u
xYxxbxbxbxb
b()
[]
0
21
4
1
2112221100
12

4
1
22
4
1
11
4
1
00
∑∑∑∑∑
=====
=+++

u
u
uu
u
uu
u
u
u
u
u
u
xYxxbxxbxbxb
1
4
1
2
4

2
222
4
1
112
4
1
0
u
uuu
u
u
u
uu
u
uu
u
xYxxbxbxxbxb

()
u
u
uu
u
uuu
u
uu
u
uu
u

Do tính chất ma trận của phương án qui hoạch TYT2
k
nên hệ phương trình
(2.16) chuyển về dạng đơn giản như sau
+ + + =
0
4b
1
0b
2
0b
12
0b
∑
=
4
1
0
u
uu
xY
+ 4b
0
0b
1
+

0b
2
+ 0b

+ 0b
0
0b
1
+

0b
2
+ 4b
12
=
u
u
uu
xxY
2
4
1
1
∑
=
Gải hệ phương trình (2.17) ta được:
b
0
=
∑
=
4
1
0

1
u
uu
Yx

b
12
=
∑
=
4
1
21
4
1
u
uuu
Yxx

Từ công thức (2.18) ta suy ra công thức tổng quát để tính các hệ số b trong
PTHQ của qui hoạch trực giao cấp I như sau.
b
j
=
∑
=
N
u
uju
Yx

k,1

(2.17)

(2.18)
c) Ý nghĩa của hệ số b trong PTHQ
- Giá trị của hệ số b
j
trong PTHQ đặc trưng cho sự đóng góp của yếu tố thứ
j vào đại lượng Y.