1

Chào các em !
Chuyên ñề ñầu tiên thầy và các em sẽ ñi tìm hiểu là bài toán TÍCH PHÂN. Chúng ta có trong tay 2 công cụ
chính ñể giải quyết là ðỔI BIẾN và TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN và một vài kĩ thuật ñể làm cho 2 công cụ trên phát
huy tác dụng như: Tách tích phân (dùng phương pháp ñồng nhất hệ số, thêm bớt…), kĩ thuật nhân, chia dưới dấu tích
phân, dùng các công thức ñể biến ñổi (công thức lượng giác, hằng ñẳng thức…), sử dụng tích phân liên kết ( quan sát
ñể tìm tích phân liên kết, sử dụng cận ñể ñổi biến, sử dụng các ñẳng thức và tính chẵn lẻ của hàm số…)…Vì vậy:
Khi ñứng trước một bài toán tích phân các em sẽ có những hướng ñi sau:
TH1: Nếu dưới dấu tích phân có căn :
+) Hướng tư duy 1: ðặt
t
bằng căn (ñiều này ñã ñúng cho tất cả các ñề thi ðại Học – Cao ðẳng từ 2002 – 2012).
Nếu không ổn hãy chuyển sang:
+) Hướng tư duy thứ 2: Với tích phân
2
( ax )
b
a
I f bx c dx
= + +
∫
mà
2
ax
bx c
+ +
ta biến ñổi về dạng:
*)
2 2
m x

(
cot
x m t
=
) *)
2
x x
−
thì ñặt
2
sin
x t
=
(
2
cos
x t
=
)
Với tích phân
b
a
m x
I f dx
m x
 
±
=
 
 

β
α
+ ± + ±
= = = + ± =
± + ± ± + ±
∫ ∫ ∫

Nếu vẫn chưa ổn hãy chuyển sang :
+) Hướng tư duy thứ 3: Nhân với lượng liên hợp tương ứng rồi quay về 2 hướng tư duy ñầu.
TH2 : Nếu dưới dấu tích phân có hàm lượng giác và hàm mũ có dạng
sin
u
và
u
e
mà
u ax b
≠ +
( nghĩa là
u
không
là hàm bậc nhất hoặc bậc không ) thì ñiều ñầu tiên là ñổi biến
t u
=
. Sau ñó quay về các TH1 hoặc TH3.

TH3: Nếu dưới dấu tích phân xuất hiện hai trong bốn hàm: log, ña thức (ở ñây kể cả phân thức), lượng giác và mũ thì:
+) Hướng tư duy 1: Sử dụng tích phân từng phần theo thứ tự ưu tiên “u՜dv” là : “log ՜ ña thức ՜ lượng giác ՜ mũ”

(nghĩa là anh nào ñứng trước trong thứ tự thầy nêu thì sẽ ñược ñặt là u còn anh ñứng sau là dv:

n n
n n
f x a x a x a
−
−
= + + +
(không có hàm logarit)

⇒
tích phân từng phần
n
lần.
**) Nếu
I
=
( )
ax b
f x e dx
β
α
+
∫
mà
( )
f x
có bậc
n

(
)

→
Trái): các em phải ñi tính NGUYÊN HÀM.
Các em có thể nhớ theo cách sau : “ñưa vào thì tính NGUYÊN HÀM, ñưa ra thì tính ðẠO HÀM”.

TH4: Nếu dưới dấu tích phân có dạng hữu tỉ:
I
=
( )
( )
f x
dx
g x
β
α
∫

+) Hướng tư duy 1: Nếu bậc của
( )
f x
lớn hơn hoặc bằng bậc
( )
g x
. Thì thực hiện phép chia ñể chuyển
I
về dạng:

1 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

g x ax b ax b a
β
α
β
α
= ⇒ = = + =
+ +
∫

*) Hướng tư duy 2.2: Nếu
2
( )
( )
f x Ax B
g x ax bx c
+
=
+ +
thì biến ñổi
(
)
2
2 2
'
k ax bx c l
Ax B
I dx
ax bx c ax bx c
β β
α α

I
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
bằng cách chuyển sang Hướng tư duy 2.3:
*) Hướng tư duy 2.3: Nếu
2 2
( )
( )
f x A dx
I A
g x ax bx c ax bx c
β
α
= ⇒ =
+ + + +
∫
thì:
**) Khả năng 1:
2
1 2 2 1 2 1 2 1 1
1 1
ln ?
( )( ) ( ) ( )
x x
dx A A
I A dx

2 2
0
( )
A dx
I
a x x k
β
α
=
+ +
∫
thì ñặt
2
2
0
2 2 2 2
0
(1 tan )
tan
cos
( ) (1 tan )
kdt
dx k t dt
x x k t
t
x x k k t

= = +

+ = ⇒

g x
có bậc lớn hơn 2 thì tìm cách ñưa về 3 hướng tư duy 2.1, 2.2, 2.3 bằng các kĩ thuật:
+) Tách ghép, nhân, chia và ñổi biến ñể giảm bậc.
+) ðồng nhất hệ số theo thuật toán:
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2
( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
m
m n m n
B x CA
A A B x C B x Cf x
n
ax b cx dx e ax b ax b ax b cx dx e cx dx e cx dx e
+
+ +
= + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + +

Sau ñó quy ñồng bỏ mẫu số rồi dùng tính chất “hai ña thức bằng nhau khi các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau”
từ ñó ta sẽ tìm ñược các
,
i j
A B
,
j
C

β
α
=
∫
(
,m n
∈

) thì dựa vào tính chẵn lẻ ñể chúng ta ñổi biến. Cụ thể:
*) Nếu
,
m n
khác tính chẵn lẻ thì các em sẽ ñặt
t
theo anh mang mũ chẵn. Cụ thể :
**)
m
chẵn,
n
lẻ thì ñặt
sin
t x
=
** )
m
lẻ,
n
chẵn thì ñặt
cos
t x


+) Hướng tư duy 2: Nếu
( )
(sin ,cos )
( )
h x
f x x
g x
= trong ñó
( ), ( )
h x g x
chứa các hàm lượng giác thì

*) Hướng tư duy 2.1 : Ý nghĩ ñầu tiên hãy tính
'( )
g x
và nếu phân tích dễ dàng
(
)
( ) . ( ) . '( ). ( )
h x k g x l r g x g x
= + thì
khi ñó
( )
1 2
'( ). ( )
I k dx l r g x g x dx kI lI
β β
α α
= + = +

h x x b x c x d x c x d x
A B
g x c x d x c x d x c x d x
+ + −
= = +
+ + +
. Khi ñó:

( )
cos sin ( sin cos )
. ln sin cos ?
sin cos sin cos
c x d x d c x d x
I A dx B dx A dx B A x B c x d x
c x d x c x d x
β β β β
α α α α
β
α
− +
= + = + = + + =
+ +
∫ ∫ ∫ ∫

**)
( ) asin cos sin cos cos sin 1
( ) sin cos sin cos sin cos sin cos
h x x b x e c x d x h c x d x
A B C
g x c x d x h c x d x h c x d x h c x d x h

t =
⇒
2
2
1
dt
dx
t
=
+

và

2
2 2
2 1
sinx ; cos
1 1
t t
x
t t
−
= =
+ +

Sau ñó quay về TH4

*) Hướng tư duy 2.3: Nếu
2 2
(tan ).

β
β β
α α α
= = =
+ + +
∫ ∫ ∫
. Sau ñó quay về TH4

*) Hướng tư duy 2.4: Nếu
(sin cos ;sin cos )
I f x x x x dx
β
α
= ±
∫
thì ñặt
2
(cos sin )
sin cos
1
sin cos
2
dt x x dx
t x x
t
x x
=


= ± ⇒

i
f x x
= ⇒ =
và chọn các
[ ; ]
i
x
α β
∈
rồi chuyển sang:
B2: Lập bảng xét dấu: (Giả sử ta bảng xét dấu: )
B3: Ta dựa vào công thức
( ) ( ) ( )
f x dx f x dx f x dx
β γ β
α α γ
= +
∫ ∫ ∫
(
α γ β
< <
) ñể tách :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i i
i i
x x
x x
I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
β β β