ch-ơng trình giáo dục đại học
ngành tất cả các ngành của ĐHXD, trừ ngành kiến trúc
đề c-ơng chi tiết học phần
học phần: Giải tích II
1. Tên học phần
: Giải tích II
2. Số tín chỉ
: 4 tín chỉ
3. Trình độ
: Sinh viên năm thứ nhất tất cả các ngành của ĐHXD, trừ ngành kiến trúc.
4. Phân bố thời gian:
Lí thuyết: 37 tiết
Thực hành, thảo luận: 38 tiết
Tiểu luận, bài tập lớn: không
5. Điều kiện tiên quyết
: Đại số và Giải tích I
6. Mô tả vắn tắt nội dung học phần: Hàm nhiều biến, hàm véc tơ. Tích phân hàm nhiều
biến. Ph-ơng trình vi phân và chuỗi.
7. Nhiệm vụ của sinh viên
:
Dự lớp: Có mặt ít nhất 80% số giờ quy định
Chăm chỉ làm bài tập, hoàn thành ít nhất 75% các bài tập giảng viên yêu cầu
8. Tài liệu học tập
:
1. N.N.cừ, N.V.Nghị, N.T.Thuần, T.Đ.Trọng Đại số. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2005.
2. Nguyễn Đình Trí Toán cao cấp, tập I,II,III. NXB Giáo dục, Hà Nội 2001.
9. Tiêu chuẩn đánh giá sinh viên
:
Chuyên cần: có
Thực hành, thảo luận: có
Thi kết thúc học phần: có

và giới hạn, liên tục của ánh xạ (6 tiết)
1. Giới thiệu về chuẩn, chuẩn ơclit |x| =


n
i=1
x
2
i
và khoảng cách trong R
n
d(x, y)=|x y|.
Mở rộng các khái niệm tôpô đã biết của tập số thực trong giải tích I: Lân cận bán kính >0 của điểm
a R
n
(còn gọi là hình cầu tâm a bán kính )
U

(a)={y R
n
/ |y a| <} hoặc {y R
n
/d(y, a) <}
Điểm trong, điểm tụ, điểm biên và điểm cô lập của một tập hợp trong R
n
. Khái niệm về tập đóng: tập
chứa mọi điểm tụ (nếu có), tập mở: mọi điểm của tập đó đều là điểm trong.
Tập bị chặn (tập giới nội) trong R
n
nếu tập đó đ-ợc chứa trong hình cầu nào đó. Tập compắc trong không

i
i =1, 2, , n
3. ánh xạ f : A R
m
trong đó A R
n
là một tập gồm m ánh xạ
f =(f
1
,f
2
, , f
m
),f
i
: A R,i=1, 2, , m
ánh xạ f : A R
m
còn đ-ợc gọi là hàm véc tơ. Các ánh xạ thành phần f
i
: A R, trong đó A R
n
,
đ-ợc gọi là hàm số n biến.
4. Định nghĩa giới hạn ánh xạ f =(f
1
,f
2
, , f
n

k=1
cũng hội tụ đến b.
Tính chất của giới hạn
lim
xa
(f + g)(x) = lim
xa
f (x) + lim
xa
g(x) , lim
xa
(f )(x)= lim
xa
f (x)
2
Với hàm nhiều biến, kí hiệu lim
xa
f(x)=u, lim
xa
g(x)=v, khi đó
lim
xa
(f ã g)(x)=u ã v, lim
xa
f(x)
g(x)
=
u
v
(v =0)

) tại a U theo biến x
i
, kí hiệu f

x
i
(a) hoặc
f
x
i
(a). Các ví dụ về các
đạo hàm riêng.
Các đạo hàm riêng cấp cao của hàm nhiều biến

2
f
x
2
i
(a),

2
f
x
i
x
j
(a),
Phát biểu định lí Svác về tính đối xứng của các hàm riêng cấp hai.
2. Định nghĩa ánh xạ khả vi và đạo hàm ánh xạ

f
1
x
n
(a)
f
2
x
1
(a)
f
2
x
2
(a) ããã
f
2
x
n
(a)
ãã ãã ãã ãã
f
m
x
1
(a)
f
m
x
2

đ-ợc gọi là đạo hàm ánh xạ f tại a và kí hiệu f

(a)=A hoặc Df (a)=A.
Ma trận A đ-ợc gọi là ma trận Jacobi của đạo hàm f

(a). Biểu thức A(x a) đ-ợc gọi là vi phân của f tại
a, kí hiệu df (a).
Xét các tr-ờng hợp đặc biệt khi f : R R cũng nh- f : R
n
R. Các ví dụ về ánh xạ khả vi và đạo hàm
ánh xạ.
Cho ví dụ về ánh xạ tồn tại các đạo hàm riêng nh-ng không khả vi.
3. Các tính chất của ánh xạ khả vi
Chứng minh nếu hàm khả vi tại a thì liên tục tại a.
Phát biểu không chứng minh mệnh đề: nếu các đạo hàm riêng liên tục tại a thì hàm khả vi tại a.
Chứng minh tính tuyến tính của đạo hàm
(f + g)

(a)=f

(a)+g

(a), ( ã f)

(a)= ã f

(a).
3
Nêu quy tắc Leibnitz để tính đạo hàm của tích hai hàm nhiều biến f,g : R
n

x
2
, , u

x
n
).
5. Phát biểu không chứng minh định lí đạo hàm hàm ng-ợc
det f

(x) =0f
1
và (f
1
)

(x)=

f


f
1
(x)


1
Khái niệm về hàm ẩn y = f(x) từ hệ thức F(x, y)=0. Phát biểu không chứng minh định lí đạo hàm hàm
ẩn
f

x
=
F

x
F

z
,z

y
=
F

y
F

z
Hệ thức F(x, y)=0, với F(x, y, u, v)=

P (x, y, u, v),Q(x, y, u, v)

xác định hàm ẩn là hàm véc tơ 2
biến f =(u, v)=

(u(x, y),v(x, y)

. Từ định lí đạo hàm hàm ẩn
f


1

P

x
P

y
Q

x
Q

y

6. Vi phân hàm số nhiều biến số. Vi phân toàn phần hàm số n biến và các ví dụ
df (a)=
n

i=1
f

x
i
(a)dx
i
= f

x
1

i
x
j
(a)dx
i
dx
j
.
I.3 Cực trị hàm nhiều biến (5 tiết)
1. Định nghĩa cực trị tự do (cực trị địa ph-ơng). Phát biểu và chứng minh định lí về điều kiện cần để hàm
đạt cực trị.
2. Phát biểu không chứng minh định lí về điều kiện đủ để hàm đạt cực trị (dựa vào dấu của dạng toàn ph-ơng
d
2
f tại các điểm dừng). Các ví dụ áp dụng.
3. Khái niệm về cực trị có điều kiện (hay cực trị v-ớng). Phát biểu không chứng minh điều kiện cần để hàm
đạt cực trị có điều kiện. Nêu các b-ớc trong quy tắc tìm cực trị có điều kiện. Các ví dụ áp dụng.
4. Nêu quy tắc tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm nhiều biến trên tập đóng và bị chặn (tập compắc). Các
ví dụ.
4
Ch-ơng II. Tích phân bội (11 tiết)
1. Định nghĩa tích phân trên hình hộp n chiều.
Phép chia l-ới hình hộp n chiều H và định nghĩa tích phân trên hình hộp

H
f(x)dx. Phát biểu không
chứng minh điều kiện cần để hàm khả tích là f bị chặn trên hình hộp H.
2. Tổng Darboux trên, tổng Darboux d-ới S

(F ) S

b
a


y
2
(x)
y
1
(x)


z
2
(x,y)
z
1
(x,y)
f(x, y, z)dz

dy

dx
=

M


z
2

Ch-ơng III. Tích phân đ-ờng, tích phân mặt (17 tiết)
III.1 Đ-ờng cong, mặt cong và biểu diễn tham số của cung trơn, mặt cong trơn (4 tiết)
1. Cung trơn L và biểu diễn tham số của cung trơn: g :[a, b] R
3
, ánh xạ g khả vi liên tục trên [a, b].
Đ-ờng cong định h-ớng.
2. Tiếp tuyến, ph-ơng trình tiếp tuyến và độ dài đ-ờng cong.
3. Mặt cong và biểu diễn tham số của mặt cong trơn g(u)=(x(u),y(u),z(u)) trong đó u =(u
1
,u
2
) D R
2
.
Mặt cong định h-ớng.
4. Véc tơ pháp, ph-ơng trình tiếp diện của mặt cong: mặt cong cho d-ới dạng tham số g(u, v) véc tơ pháp
có dạng n =
g
u

g
v
và mặt cong cho d-ới dạng hệ thức F (x, y, z)=0, véc tơ pháp n =(F

x
,F

y
,F


b
a
f(g(t)) ã|g

(t)|dt =

b
a
f(g(t)) ã

x

2
(t)+y

2
(t)+z

2
(t) dt
Nhấn mạnh tính chất tích phân đ-ờng loại một giống nh- tích phân xác định và giá trị tích phân không
phụ thuộc vào biểu diễn tham số của đ-ờng cong.
2. Định nghĩa tích phân đ-ờng loại hai trên cung trơn I =

L
F(x)dx hay I =

L
Pdx+ Qdy+ Rdz Nêu
ý nghĩa cơ học của tích phân đ-ờng loại hai. Các tính chất và chứng minh công thức tính tích phân đ-ờng

0
,z
0
)dx +

y
y
0
Q(x, y, z
0
)dy +

z
z
0
R(x, y, z)dz.
(Ta nói u là nguyên hàm của hàm véc tơ F =(P,Q, R) nếu du = Pdx+ Qdy + Rdz).
III.3 Tích phân mặt (5 tiết)
1. Học sinh tự đọc tích phân mặt loại một.
2. Định nghĩa tích phân mặt loại hai trên mặt cong trơn. Nêu ý nghĩa, tính chất và chứng minh công thức
tính tích phân mặt loại hai

S
FdS =

D
F(g(u )) ã n( u) du. (L-u ý tích phân mặt loại hai không phụ
thuộc vào biểu diễn tham số của mặt cong nh-ng phụ thuộc vào cách định h-ớng mặt cong).
3. Phát biểu không chứng minh các định lí Stokes, định lí ôxtrôgradxki. Nêu ý nghĩa và các ví dụ áp dụng.


2. Ph-ơng trình vi phân cấp hai có thể giảm cấp: khuyết y và y

, khuyết y, khuyết x.
3. Ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp II thuần nhất y

+p(x)y

+q(x)y =0và nghiệm tổng quát của ph-ơng
trình thuần nhất.
Nghiệm riêng, nghiệm tổng quát của ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp II không thuần nhất. Nguyên lí
chồng chất nghiệm. Ph-ơng pháp biến thiên hằng số Lagrange.
4. Ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp II hệ số hằng.
Ph-ơng trình đặc tr-ng và nghiệm tổng quát của ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp II thuần nhất hệ số
hằng. Cách giải ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp II không thuần nhất hệ số hằng khi vế phải có dạng
đặc biệt.
Ch-ơng V. Chuỗi (15 tiết)
V.1 Chuỗi số (7 tiết)
1. Chuỗi số hội tụ, phân kì, tổng của chuỗi số. Chuỗi cấp số nhân


n=0
q
n
và chuỗi điều hoà


n=1
1
n
.


n=0
a
n
.
4. Chuỗi số d-ơng: Các tiêu chuẩn so sánh để xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số d-ơng. Chứng minh các tiêu
chuẩn D'Alambert, Cauchy, tích phân. Xét ví dụ


n=1
1
n
s
.
5. Chuỗi đan dấu, phát biểu và chứng minh định lí Leibnitz. Chuỗi hội tụ tuyệt đối, chuỗi bán hội tụ.
V.2 Chuỗi hàm và chuỗi lũy thừa (8 tiết)
1. Khái niệm dãy hàm và chuỗi hàm. Sự hội tụ của dãy hàm, chuỗi hàm (hội tụ điểm và hội tụ đều).
Miền hội tụ và tổng của chuỗi hàm.
2. Về sự hội tụ đều của dãy hàm và các tính chất đổi chỗ của giới hạn, đạo hàm, tích phân với các số hạng
của dãy, chúng ta chỉ giới thiệu, không chứng minh.
3. Về sự hội tụ đều của chuỗi hàm: phát biểu không chứng minh tiêu chuẩn Cauchy, chứng minh định lí
Weierstrass. Nêu rõ các tính chất đổi chỗ của giới hạn, đạo hàm, tích phân với các số hạng của chuỗi đ-ợc
suy ra từ các tính chất t-ơng tự của dãy hàm.
4. Định nghĩa chuỗi lũy thừa. Phát biểu và chứng minh định lí Abel.
Bán kính hội tụ, khoảng và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Phát biểu và chứng minh các quy tắc tìm bán
kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
5. Tính chất của chuỗi lũy thừa: hội tụ đều, tổng là hàm liên tục, đạo hàm, tích phân tổng của chuỗi lũy thừa
chuyển qua đạo hàm, tích phân từng số hạng. áp dụng để tính tổng của chuỗi.
6. Chuỗi Taylor và khai triển hàm thành chuỗi Taylor, chuỗi Maclaurin.
Phát biểu và chứng minh điều kiện đủ để hàm khai triển đ-ợc thành chuỗi Taylor.