Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG
TỔ: TOÁN- TIN
TRƯỜNG : THPT LÊ HOÀN
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Vấn đề 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b)
Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) là f’(x) ≥ 0 (hoặc
f’(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a; b), dấu đẳng thức xảy ra tại một số hữu hạn điểm x
0
∈ (a; b) hoặc không xảy ra
trên (a; b).
2. Các dạng bài toán thường gặp:
 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x)
trên tập xác định của nó.
Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x)
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm.
Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D
B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
theo định lí ở phần tóm tắt.
 Tìm tham số m để hàm y = f(x; m) đồng biến, nghịch biến
hoặc không đổi trên các khoảng xác định của nó.
Phương pháp:
B1. Tìm TXĐ D của hàm số y = f(x; m)
B2. Tìm y’ = f’(x; m) theo x.
B3. * Nếu f(x) là hàm số đa thức bậc 3, 4 hoặc hàm số dạng
f(x) =

B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm.
Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D
B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
theo định lí ở phần tóm tắt.
Bài 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
Năm học 2013 - 2014 1
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
2 2
2x 1 x 4
a / y ; b / y
x 2 x 2
x x 2 x 4
c / y ; d / y
2 x x
− +
= =
− − −
− + +
= =
−
Phương pháp làm như bài 1.
Bài 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
2
2
2
x 1
a / y 4 3x x ; b / y

+
(ĐS: m < - 1 ∨ m > 1)
d/
2
x mx 1
y
x 1
+ −
=
−
(ĐS: -5 ≤ m ≤
1
3
)
Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2
Bài 5. Tìm m để hàm số
2 3 2
( 5 ) 6 6 1y m m x mx x= − + + + +
đồng biến trên R.
HD: y’
≥
0,
x R∀ ∈
Bài 6. Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
a/ y = mx
3
+ 3x
2
+ 3mx (ĐS: m ≤ -1)
b/ y =


f' x > 0 trên a; x
f' x < 0 trên x ; b
thì x
0
là điểm cực đại của hàm số
* Nếu
( ) ( )
( ) ( )
0
0





f' x < 0 trên a; x
f' x > 0 trên x ; b
thì x
0
là điểm cực tiểu của hàm số
2. Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, có đạo hàm cấp 2 trên (a; b) ⊂ D và f’(x
0
) = 0
Khi đó a/ Nếu f”(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại của hàm số
b/ Nếu f”(x

2
) …
* Nếu y”(x
i
) < 0 (hoặc y”(x
i
) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực tiểu) tại x
i
, i = 1, 2,
 Tìm m để hàm số y = f(x) đạt cực đại hay đạt cực tiểu tại
điểm x = x
0
cho trước nào đó.
Phương pháp 1: (Sử dụng đối với các hàm có đạo hàm cấp 2 phức tạp)
B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)
B2. Tìm y’
B3. Để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x
0
điều kiện cần là
y’(x
0
) = 0 hay y’(x) không tồn tại tại điểm x
0
, từ điều kiện này ⇒ m.
B4. Thử lại ứng với các giá trị vừa tìm của m, ứng với giá trị m nào bài toán thỏa mãn thì nhận
giá trị m đó.
Phương pháp 2: (Sử dụng đối với hàm số đạo hàm cấp 2 đơn giản)
B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)
B2. Tìm y’, y”
B3. Dựa vào các điều kiện sau, tìm được 1 hệ phương trình đối với m, giải tìm m.


>


y' x
y" x
 Tìm m để hàm số y = f(x) luôn luôn có cực đại hay có cực
tiểu.
Phương pháp:
1. Đối với hàm bậc 3 :
y = f(x; m) = ax
3
+bx
2
+ cx+d, a ≠ 0
Hay hàm:
( )
+ +
= =
+
2
ax bx c
y f x; m
dx e
, ad ≠ 0
B1. Tìm y’
B2. Vì dấu của y’ cùng dấu với (1 biểu thức bậc 2) nên để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’
đổi dấu đúng hai lần ⇒ (tam thức bậc 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc tập xác định ⇒ m.
2. Đối với hàm bậc 4: y = f(x; m) = ax
4

Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’, dấu y’ cùng dấu với một tam thức bậc 2.
B3. Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ biểu thức bậc 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa điều kiện.
a ≠ 0
⇔ ∆ > 0 (∆’ > 0) ⇒ tham số m (1)
nghiệm thỏa điều kiện
B4. * Khi đó nếu ∆ hay ∆’ = bình phương một biểu thức thì tìm trực tiếp x
CĐ,
x
CT
.
* Nếu ∆ không như trên thì sử dụng định lí Viet tìm
{
1 2
1 2
x x
x .x
+
B5. Biến đổi hệ thức đã cho về hệ thức chỉ chứa tổng tích của x
1
, x
2
.
Rồi thay biểu thức tổng, tích ở bước 4 vào hệ thức ở bước 5 ta được 1 phương trình hay bất

CT
có
2
0 0 0
u'v uv' u' u
y' u' v uv'
v' v
v
−
= ⇒ = ⇒ − = ⇒ =
b/ Đối với hàm số bậc 3:
y = f(x) = ax
3

+ bx
2
+ cx + d, a ≠ 0
Nếu x
CĐ
, x
CT
đơn giản thì thay x
CĐ
, x
CT
vào y = f(x) để tìm y
CĐ
, y
CT
.

Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
3 2 4 2
4 2
3
2 3 12 5 4 5
2 2
3
4 1
= − − + = − − +
− +
= − + =
−
= = −
x
a / y x x x ; b / y x x
x x x
c / y x ; d / y
x
e / y x.e ; f / y ln x x
Phương pháp 1:
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm, tìm giá trị của hàm số tại
các điểm
0
x
, lập bảng biến thiên của y trên D.
B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT.

+ mx
2
- 1 t cc i ti
3
3
=x
(S: m = 2)
c/ y = x
3
- 3mx
2
+ (m - 1)x + 2 t cc tiu ti x = 2 (S: m = 1)
d/ y = x
3
- mx
2
+
2
3


ữ

m
x + 5 t cc tiu ti x =1 (S: m=
7
3
)
e)
2

(S: m = 2)
Thc hin cỏc bc theo dng 2
Bi 3. Tỡm cỏc giỏ tr ca m, n sao cho hm s:
( )
1
= = + +
+
n
y f x x m
x
t cc i ti x = -2 v cú f(-2) = -2.
HD:
'( 2) 0
''( 2) 0
( 2) 2
y
y
y
=


<


=

Bi 4. Cho haỡm sọỳ
( )
2
1 1

3
- x
3
cú cc i, cc tiu (S: m 0)
c/
( )
2
2
1
+ +
=
+
x m x m
y
x
cú cc i, cc tiu, tỡm ta ca im cc i, cc tiu ca th
hm s. Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc i, cc tiu ca th hm s.
(S: m < -
1
2
, y = 2x + m +2)
Vn 3
GI TR LN NHT V GI TR NH NHT CA HM S
A. Túm tt lý thuyt:
1. S M gi l giỏ tr ln nht ca f(x) trờn tp I.
( )
( )
0 0
f x M, x I
x I:f x M


B
1
: Tìm y’
B
2
: Tìm các điểm mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm: x
1
, x
2
, ∈ I. Tìm giá trị f(x
1
),
f(x
2
), và tính
( ) ( )
x a x b
,
lim limf x f x
+ −
→ →
B
3
: Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập I. Dựa vào bảng biến thiên suy ra
( ) ( )
II
,
Max
Minf x f x

Max f x ,f x , ,f a ,f b
Max
f x
∈
=
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
x I
Min f x ,f x , ,f a ,f b
Minf x
∈
=
Trường hợp 3: Không cho biết tập I, tức là tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên tập xác định
D của hàm số: (Tức là I ≡ D).
B
1
: Tìm tập xác định D của hàm số.
B
2
: Chuyển bài tập về trường hợp 1 hoặc 2.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
3 4
( ) 4 3f x x x= −
.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 1

4 2
( ) 2 3, 2;3f x x x x

= − + ∈ −

HD: Sử dụng trường hợp 2
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x
2
4 x
−
.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 2
Bài 5. Cho hàm số f(x) = x +
2
4 x
−
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 2
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a.
( ) sinx os2f x c x= +
HD: Đặt t = sinx
b.
( ) 2 osx os2f x c c x= +
HD: Đặt t = cosx
Năm học 2013 - 2014 6
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
Vấn đề 4

= ±∞
) thì đường thẳng có phương trình x = x
0
là tiệm cận đứng bên phải (hoặc
bên trái) của đồ thị hàm số.
2. Tiệm cận ngang: (⊥ Oy)
Nếu
( )
( )
0
x
x
f x y
lim
→−∞
→+∞
=
(hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình y = y
0
là tiệm cận ngang bên trái
(hay bên phải) của đồ thị hàm số.
3. Tiệm cận xiên:
Nếu tồn tại đường thẳng có phương trình y = ax + b với a ≠ 0 sao cho
( )
( ) ( )
x
x
f x ax b 0
lim
→−∞

(hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình
y = ax + b là tiệm cận xiên bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu a ≠ 0 và nếu a = 0
là tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số.
Chú ý:
1/ Nếu đường thẳng x = x
0
(hay y = y
0
hay y = ax + b, a ≠ 0) vừa là tiệm cận đứng (hay ngang
hay tiệm cận xiên) bên trái và bên phải của đồ thị hàm số y = f(x) thì gọi chung là tiệm cận đứng
(hay ngang hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x).
2/ Đối với hàm số phân thức:
+ Nếu phương trình mẫu số = 0 có nghiệm thì đồ thị của nó có tiệm cận đứng (số tiệm cận đứng
= số nghiệm của phương trình mẫu số = 0)
+ Nếu (bậc tử) ≤ (bậc mẫu) thì đồ thị của nó có tiệm cận ngang.
+ Nếu (bậc tử) = (bậc mẫu) + 1 thì đồ thị của nó có tiệm cận xiên.
* Đối với hàm phân thức để tìm tiệm cận xiên ta thực hiện phép chia tử cho mẫu sau đó dùng
định lí 3.
3/ Đối với các hàm số vô tỉ hoặc hàm số khác để tìm tiệm cận xiên (nếu có) ta sử dụng định lí 4.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị của các hàm số sau:
2 2
x 2 2x
a / y ; b / y
x 3 x 1
x 2x 1 x x 1
c / y ; d / y
x 1 x 1
+
= =

tiệm cận xiên của đồ thị bằng
1
2
Vấn đề 5
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC 3:
y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, a ≠ 0
Phương pháp:
1) Tập xác định: D = R
2) Giới hạn:
( )
{
3 2
x
neu a 0
lim ax bx cx d
neu a 0
→±∞
±∞ >
+ + + =
∞ <m
3) Sự biến thiên:
* Tìm y’ = 3ax
2
+ 2bx + c
+ Nếu ∆ < 0 (∆ = 0): y’ = 0 vô nghiệm (hoặc có nghiệm kép).

Bảng biến thiên :
x
-∞ +∞
y' dấu của y’
y chiều biến thiên của y
4) Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số:
* Tìm y” = 6ax + 2b
y" = 0 ⇔ 6ax + 2b = 0 ⇔ x = -
b
3a
⇒ y =
CD CT
y y
2
+
Nhận xét : Vì
''y
đổi dấu khi qua điểm x = -
b
3a
nên đồ thị hàm số nhận điểm
I(-
b
3a
;
CD CT
y y
2
+
) làm điểm uốn.

, x
4
tạo thành cấp số cộng).
Nếu a > 0 thì y
2
= y
CT
, y
1
= y
CĐ
Năm học 2013 - 2014 8
(giả sử x
1
< x
2
)
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
Nếu a < 0 thì y
2
= y
CĐ
, y
1
= y
CT
6) Đồ thị:
* Vẽ hệ trục (có thể chọn đơn vị trên Ox, Oy không cần bằng nhau)
* Dựng điểm CĐ, CT (nếu có), điểm uốn.
* Dựng các điểm đặc biệt.

b
x
2a
 
+
 
 
A. Trường hợp: * Nếu a.b ≥ 0
Thì
2
b
x 0
2a
+ ≥
, ∀x ∈ R ⇒ y' cùng dấu 4ax ( y' = 0 ⇔ x = 0, (y = c))
Bảng biến thiên
Nếu a > 0 Nếu a < 0
x
-∞
0
+∞
x
-∞
0
+∞
y' - 0 + y' + 0 -
y
+∞
CT
+∞

x
-∞
x
1
0 x
2
+∞
Năm học 2013 - 2014 9
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
y' (trái dấu a) 0
(cùng dấu
a)
0
(trái dấu
a)
0
(cùng dấu
a)
y chiều biến thiên của y
4) Tìm điểm uốn của đồ thị:
* y" = 12ax
2
+ 2b
y" = 0 ⇔ 12ax
2
+ 2b = 0 ⇒
b
x
6a
= ± −

, c ≠ 0, ad - cb ≠ 0

1) Tập xác định: D = R \
d
c
 
−
 
 
2) Giới hạn, tiệm cận:
+ Ta có
x ( d/c)
lim y
±
→ −
= ±∞
⇒ TCĐ : x =
d
c
−
và
x
a a
y TCN :y
lim
c c
→±∞
= ⇒ =
3) Sự biến thiên:
( ) ( )

-d/c
+∞
Năm học 2013 - 2014 10
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
y' + +
y
a
c
+∞
-∞
a
c
5) Điểm đặc biệt:
* x = 0 ⇒
b
y
d
=
(nếu d ≠ 0)
* y = 0 ⇒ x =
b
a
−
(nếu a ≠ 0)
Tìm thêm tọa độ 2 điểm có hoành độ đối xứng qua tiệm cận đứng.
6) Đồ thị: Vẽ hệ trục - Vẽ đường tiệm cận - Dựng các điểm đặc biệt (sao cho mỗi nhánh của đồ
thị phải qua hai điểm). Vẽ đồ thị (vẽ hình sao cho giao điểm 2 đường tiệm cận là tâm của hình vẽ).
Phải chọn đơn vị trên Ox, Oy bằng nhau.
BÀI TẬP
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:

x
y 2x 3x 1
3
= − + +
e/ y = x
3

+ 4x
2
+ 4x ; f/ y = -x
3
+ 2x
2
- 8x - 1
3 2
1
g / y x 2x 3x
3
= − +
; h/ y = 2x
3
- 9x
2
+ 12x - 4
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
4 2 4 2
4 2 4 2
1 1
a / y x 3x 2 ; b / y x x
4 4

c / y ; d / y
x 2 2x 1
+ −
= =
+ −
+ +
= =
+ +
2x 4 x 1
e / y ; f / y
x 3 x 2
x 2 3x 1
g / y ; h / y
2x 1 2x 2
− − +
= =
− +
+ +
= =
− + +
Năm học 2013 - 2014 11
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
*
* *
Vấn đề 6
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M
Cho hàm số
( )y f x=
(C)

0
'( )y x
Bước 2: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Bài tập 1: Cho hàm số
2x - 1
1
y
x
=
−
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;3)
HD:
2
1
'
( 1)
y
x
−
=
−
,
'(2)y =

: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hoành độ tiếp điểm
0

− = ⇔

= ±

+ Tại x = 0…
+ Tại x = 1…
+ Tại x = -1…
Bài tập 3:Cho hàm số
4 2
1 9
2x ( )
4 4
y x C= − + +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ
x = 1.
HD : + x = 1 thì y = 4
+
(1) 3y
′
=
+ Phương trình tiếp tuyến:
3( 1) 4y x= − +
Năm học 2013 - 2014 12
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014

: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tung độ tiếp điểm
0
y
Phương pháp:

= −

+ Tính
'( 2)y −
,
'(2)y
+ Viết phương trình tiếp tuyến
  : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc
Cho hàm số
( )y f x=
(C)
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc k
Phương pháp:
Cách 1:
Bước 1:Tìm hoành độ tiếp điểm
0
x
bằng cách giải phương trình
0 0
'( )y x k x= ⇒
Bước 2: Tính
0
y

Bước 3: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Cách 2:
Bước 1: Đường thẳng (d) với hệ số góc k có phương trình dạng
xy k m= +

( ): x 2 3 0y∆ − − =
HD: Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau
Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1
Đường thẳng
1
( ) : 2x 6 0y∆ − − =
có hệ số góc bằng 2
Đường thẳng
2
( ): x 2 3 0y∆ − − =
có hệ số góc bằng 1
a. Tiếp tuyến (d) song song
1
( ) : 2x 6 0y∆ − − =
suy ra hệ số góc của tiếp tuyến k = 2
b. Tiếp tuyến (d) vuông góc
2
( ): x 2 3 0y∆ − − =
suy ra hệ số góc của tiếp tuyến k = -2
 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm cho trước
Cho hàm số
( )y f x=
(C)
Để lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Năm học 2013 - 2014 13
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014

'( )( )y y x x x y= − +
Bước 2: Điểm
( ; ) ( )
A A
A x y d∈
, ta được phương trình (2):
0 0 0 0
'( )( )
A A
y y x x x y x= − + ⇒
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)
Chú ý: Số nghiệm phân biệt x của phương trình (2) bằng số tiếp tuyến kẻ được từ A tới đồ thị (C)
Bài 7: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
(H)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( H) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) qua A (0;1)
HD: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến có dạng
x 1y k= +
(d)
(d) là tiếp tuyến (H)
⇔

x
+
=
+
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua A(-1;3)
HD:Đường thẳng d đi qua A(-1;3) với hệ số góc k có phương trình dạng
( 1) 3y k x= + +
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
2
2x 1
( 1) 3
1
1
( 1)
k x
x
x k
k
x
+

= + +

+

⇒ ⇒



2
1
0
x
x
y
x
y
x
+

=
=


⇔
−
 
= −


=

Suy ra viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
(0; 1) ( )N C− ∈
Bài 10: Cho hàm số
3 2
3x 3y x= − +
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số

3
y x x= −
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A (3; 0)
HD: Kiểm tra thấy A thuộc (C). Áp dụng Bài toán 1 suy ra kết quả
Bài 13 : Cho hàm số
3 2 3
3 4 ( )
m
y x mx m C= − +
, m là tham số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C1) của hàm số khi m =1
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x = 1
HD: Có x = 1. Thay vào (C1) Tìm y. Áp dụng Bài toán 1 ta được kết quả
Bài 14: Cho hàm số
4 2
2xy x= −
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục hoành
HD: Giải pt y = 0 suy ra x. Áp dụng Bài toán 1 để suy ra kết quả
Bài 15: Cho hàm số
2x - 1
1
y
x
=
−
(C)


⇒ ⇒

+ =


(Số nghiệm phân biệt x của hệ phương trình bằng số tiếp tuyến kẻ được từ gốc tọa độ O tới đồ thị
(C))
Vấn đề 7
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG ĐỒ THỊ
 !
( )y f x=
"#$%&
1
C
'(
( )y g x=
"#$%&
2
C
')!*"+, 
( ) ( )f x g x=
/0 !,$1"+,&
1
C
'(&
2
C
'

3
3x 3x m− − =
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường
thẳng y = m +1.
Bài 3: Cho hàm số
4
2
y
x
=
−
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Dùng đồ thị (C) biện luận số giao điểm của 2 đồ thị hàm số
4
2
y
x
=
−
và y = k+1
HD: Dựa vào đồ thị (C) ta có kết quả
Bài 4 : Cho hàm số
3 2
3x 4y x= + −
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Xác định m để phương trình
3 2
3x 2 5 0x m− − + + =

b. Dựa vào đồ thị (C) xác định m để phương trình
4 2
2x 0x m− + =
có 4 nghiệm phân biệt
HD:
4 2
2x 0x m− + =
⇔
4 2
2x x− +
+ 3 = m + 3. Pt có 4 nghiệm phân biệt
khi và chỉ khi (C) và đường thẳng d: y = m + 4 cắt nhau tại 4 điểm phân.
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
I. TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
0
.
1/ log (0 1; 0)
2 / . 1; .1 1, ; . .
. .( ) .( )
.( . ) . .
n
a
m n m n
m n
m n m n m n n
n n
m
n n n n m
n
a b n b a b

a b b
a a
a a a a a a
a a a
b
c
a a
a
c
N c a
N
a
a
M
MN M N M N
N
M M b
a
b
M M b
a
a N a a c
α
α
α
α
= =
= + = −
= =
= =

0 1
2 / .log ( ) log ( )
( ) ( ) 0
0 1
.log ( )
( )
f x g x
f x
a
f x
a a
a
b
a a f x g x a
a b
f x b b
a
a
f x
a
a
f x g x
f x g x
a
f x b
f x a
= ⇔ = < ≠

=
⇔ = >

a a a a
a a
f x g x f x g x
 
> >
 
 
 
≥ >
 
 
≥ ⇔ > ⇔
 
< < < <
 
 
 
≤ <
 
 
 
1
( ) ( ) 0
5 / log ( ) log ( )
0 1
0 ( ) ( )
1
( ) ( ) 0
6 / log ( ) log ( )
0 1



>



> >


> ⇔

< <



< <



III. MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MŨ THƯỜNG GẶP.
1/ Phương pháp 1: 2$3(4"5" !(6"/7.
+Bước 1: Tìm điều kiện của ẩn đã cho (nếu có).
+Bước 2: Biến đổi tương đương về các phương trình , bất phương trình cơ bản để giải.
Năm học 2013 - 2014 17
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
*Chú ý: Phương pháp này sử dụng đối với phương trình, bất phương trình mũ chỉ có 1 cơ số và
chỉ có 2 số hạng.
2/ Phương pháp 2: 89,-#,.
Lấy lôgarit cả hai vế của phương trình , bất phương trình theo một cơ số thích hợp nào đó để khử

2 ( )f x
b
.
.Đặt
( )
( )
f x
a
t
b
=
.Tìm điều kiện của t.
.Chuyển về phương trình , bất phương trình theo t.
4.3. Dạng :
( ) ( )
.( ) ( ) 0( , , , )
f x f x
A a b B a b C+ + − + = < ≤ > ≥

với (a + b).(a – b) = 1.
.Nhận xét :
1
( )( ) 1a b a b a b
a b
+ − = ⇒ − =
+
.Đặt
( )
( )
f x

Phương pháp: Nhẩm nghiệm và đánh giá suy ra nghiệm duy nhất của phương trình hay miền
nghiệm của bất phương trình mũ
*Chú ý: 1/ Khi gặp các phương trình và bất phương trình có chứa hàm mũ và các loại hàm khác
không phải hàm mũ ta thường biến đổi đưa về dạng 5.1.
2/ Khi gặp các phương trình và bất phương trình có chứa từ hai cơ số trở lên mà không thể biến
đổi về cùng một cơ số ta thường đưa về dạng 5.2
6.Phương pháp 6: )=6<$%
IV. MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH LÔGARIT THƯỜNG GẶP.
• Chú ý: Khi giải phương trình, bất phương trình lôgarit thì đầu tiên
phải chú ý là đặt điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghĩa.
+Nếu cơ số chứa ẩn thì ĐK là: cơ số dương và khác 1.
+Biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương.
Năm học 2013 - 2014 18
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
1. Phương pháp 12$3$,(4"5" !.
Biến đổi đưa về cùng một cơ số, thường cơ số là hằng số sau đó biến đổi về phương trình , bất
phương trình cơ bản để giải.
2. Phương pháp 2: :;<.
2.1 . Dạng:
[log ( )] 0( , , , )
a
F f x = ≥ > < ≤
Đặt
log ( )
a
t f x=
2.2. Dạng phương trình, bất phương trình vừa có hàm mũ vừa có hàm lôgarit.
Thường đặt ẩn phụ theo hàm lôgarit.
3. Phương pháp 3: ?#(2-"@(27/0A.

V. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1: Giải các phương trình mũ sau:
a, (0,75)
2x-3
= (1
3
1
)
5-x
b, 5
x
2
-5x-6
=1.
c, (
7
1
)
x
2
-2x-3
=7
x+1
c, 32
7
5
−
+
x
x

3.16
x
=0 d, -8x+2.4
x
+2
x
-2=0.
Baì 3: Giải các phương trình sau:
a, (3-2
2
)
3x
=3+2
2
. b, 5
x+1
+6.5
x
-3.5
x-1
=52,
c, 3
x+1
+3
x+2
3
x+3
=9.5
x
+5

+75). b, (
25
1
)
x+1
=125
2x
.
c, log(x+10)+
2
1
logx
2
=2-log4. d, (0,5)
2+3x
=(
2
)
-x
.
Baì 6: Giải các phương trình sau:
a, 4
x+1
-6.2
x+1
+8=0 b, 3
1+x
+3
1-x
=10.

a, logx+logx
2
=log9x b, logx
4
+log4x=2logx
3
.
c, log
4
[(x+2)(x+3)]+log
4
3
2
+
−
x
x
=2 d, log
3
(x-2)log
5
x=2log
3
(x-2)
Bài 9: Giải các phương trình lôgarit sau:
a, log
2
(2
x
+1).log

2
(x-1)
3
=7.
b, log
4x
8-log
2x
2+log
9
243=0.
c, 3
x
3
log
-log
3
3x-1=0.
Bài 11: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:
a, 4log
9
x+log
x
3=3. b, log
x
2-log
4
x+
6
7

b, log
2
(2x-5)+log
2x
2
-5
4=3.
Baì 13: Giải các phương trình sau:
a, log
9
(log
3
x)+log
3
(log
9
x)=3+log
3
4.
b, log
2
xlog
4
xlog
8
xlog
16
x=
3
2

a, 16
x+1
+4
x-1
-5m=0. b, 2log
2
(x+4)=log
2
(mx).
Baì 16: Giải các phương trình sau:
a, 5
7
x
= 7
5
x
b, 5
x
.8
x
x 1−
=500.
c, 5
3-log
5
x
=25x d, x
-6
.3
-log

0,5
(sin
2
x+5sinxcosx+2)
=
9
1
.
Bài 19: Giải các phương trình sau:
a, 3
x
=5-2x. b, (
5
4
)
x
=-2x
2
+4x-9 c, log
2
1
x=5x-
2
3
.
Bài 20: Giải các phương trình sau:
a, 6
x
+8
x

x
=2
x
. d, 3
x
-






3
1
x
+2
x
-






2
1
x
-



(3x
2
).log
2
x
3=1.
Baì 23: Giải các phương trình sau:
a, x+log(3
x
-1) = xlog
3
10
+log6. b, x+log
5
(125-5
x
)=25.
Bài 24: tùy theo m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
(m-3).9
x
+2(m+1).3
x
-m-1=0.
Bài 25: Giải phương trình:
2log
3
cotx=log
2
cosx.
Bài 26: Giải và biện luận các phương trình sau:

) c,
c.(
25
1
)
sin
2
x
+4.5
cos2x
=25
x2sin
2
1
,(x=
2
π
k
).
Baì 28: Giải các phương trình sau:
a, 10
2x
=4
X
(25
x
+x-2). b,
9
1
2

x
x 1−
.tgx-tgx=
x
x 1
4.3
−
-
3
.
e, 2sinx.2
x
2
-x
+4cosx=8sinx+cosx.2
x
2
-x
.
Baì 29: Giải các phương trình sau:
a, 3
x
.8
1+x
x
=36.` b, 5
x
.
1
8

2
+2
1
1
+
x
-5=0. d, 4
cos2x
+4
cos
2
x
=3.
e, cot2
x
=tg2
x
+2tg2
x+1
.
Bài 31: Giải các phương trình sau:
a, 6.4
x
-13.6
x
+6.9
x
=0. b, 4
x+
2

-x
)=64. f,
x
6
)
3
2
(
-
x
6
)
2
3
(
+
x
2
)
3
2
(
-
x
2
)
2
3
(
=0

xx +
−
−
b) y=
)
1
132
(log3
2
11
2
2
+
+−
+−
−
−
x
xx
x
x
Năm học 2013 - 2014 21
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
c) y=
2
1
1 log( 3 6 6)x x x− + + − +
.
Bài 33: Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x
a) y=

3. Các nguyên hàm cơ bản:
Nguyên hàm của các hàm số thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp u =
u(x)
( )
ln ( )
( )
ln
cos sin
sin cos
tan
cos
cot
sin
1
2
2
0
1
1
1
1
0
0 1
x x
x
x
dx C
dx dx x C
x
x dx C

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
ln ( )
( )
ln
cos sin
sin cos
tan
cos
cot
sin
1
2
2
1
1
0
0 1
1
1
u u
u
u
du u C

∫
∫
∫
∫
∫
∫
B Nếu u = ax + b và
( ) ( )f x dx F x C= +
∫
thì
( )
( ) . ( ) ,f ax b dx F ax b C a
a
+ = + + ≠
∫
1
0

Năm học 2013 - 2014 22
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
Đặc biệt: 1.
( )
( ) . ( )
1
1
1
1
ax b
ax b dx C
a

1
ax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫
6.
tan( )
cos ( )
2
1dx
ax b C
a
ax b
= + +
+
∫
7.
cot( )
sin ( )
2
1dx
ax b C
a
ax b
= − + +
+
∫
II. Các phương pháp tính nguyên hàm:
1. Phương pháp đổi biến số: Cần đưa nguyên hàm về dạng


u u x du u x dx
dv v x dx v v x
= =
 
⇒
 
= =
 
B2: Khai triển nguyên hàm đã cho theo công thức nguyên hàm từng phần.
B3: Tính nguyên hàm của
'( ). ( )u x v x dx
∫
và kết luận
Chú ý:
a/Khi tính nguyên hàm theo phương pháp từng phần đặt u, v sao cho
vdu
∫
dễ tính hơn
udv
∫
nếu
khó hơn phải tìm cách đặt khác.
b/Khi gặp nguyên hàm dạng :( P(x) là một đa thức )
•
P x ax b dx+
∫
( ).sin( )
; đặt
( )
sin( )

( )
( ).
; đặt
( )
( )
x b
u P x
dv e dx
+
=


=

a
•
P x f x dx
∫
( ).ln ( )
; đặt
ln ( )
( )
u f x
dv P x dx
=


=

.

α
=
, P(x) là 1 đa thức chứa các biểu thức dạng ax
β
a)
3
2
1
∫
+ −x x x
dx
x
b)
5 2
3
2
3 2
∫
− −t t t
dt
t
c)
( )
2
3
3 1
1
∫
− +
+

( )
P x
f x
x x x x ax bx c
A B C Dx E
x x x x x x ax bx c
=
− − + +
+
= + + +
− − − + +
Sau đó tìm A,B,C,D, E bằng cách qui đồng và cho các hệ số đứng trước x
n
tương ứng bằng nhau
Lưu ý:
1.
1 1
ln ax
ax
dx b c
b a
= + +
+
∫
2.
2
1
dx
ax bx x+ +
∫

1 1
( )ax bx c a x x
=
+ + −
từ đó
2
1
dx
ax bx x+ +
∫
=
2
0
1
( )
dx
a x x
∫
−
.
- Nếu
2
0ax bx c+ + =
vô nghiệm
thì viết
2 2
( )
2 4
b
ax bx c a x

(1 )(1 2 )
∫
+ −
dx
x x
d)
2
1
2 5 2
∫
− + −
dx
x x

Bài 4: Tính
a)
1
3
∫
+
−
x
dx
x
b)
3 2
3 5 1
2
∫
+ + +

∫
III. Dạng: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.
7
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C, thay vào họ nguyên hàm
⇒

nguyên hàm cần tìm.
F6< Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =1+ sin3x biết F(
6
π
)= 0.
G7
Ta có F(x)= x –
1
3
cos3x + C. Do F(
6
π
) = 0
⇔

6
π
-
1
3
cos
2
π


3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
3 2
2
2 3 3 1
2 1
x x x
x x
+ + −
+ +
, biết F(
1
1)
3
=
IV. Phương pháp đổi biến số:
Dạng 1:
1
( ).
n n
f x x dx
−
∫
Đặt u = x
n

Bài 4: Tính
a)
3 6 2
(2 3)x x dx

x
dx
x
∫
+
HD: Đặt
3
3
1u x= +
hoặc
3
1u x= +
Năm học 2013 - 2014 25