Trao ®æi vÒ
:
:
Ph ¬ng ph¸p to¹ ®é
Ph ¬ng ph¸p to¹ ®é
trong gi¶i to¸n h×nh häc
trong gi¶i to¸n h×nh häc
Ng êi so¹n :

B ớc I: Chọn hệ trục toạ độ gắn với bài toán
Tín hiệu để chọn hệ trục là trong bài toán có chứa các
đ ờng thẳng vuông góc nhau , ta sẽ chọn các trục chứa các đ ờng
thẳng vuông góc đó
B ớc II: Phiên dịch bài toán hình học sang ngôn
ngữ toạ độ
B ớc III: Dùng ngôn ngữ vecter, toạ độ để giải bài
toán
B ớc IV: Phiên dịch bài toán trở lại ngôn ngữ
hình học ban đầu
Các b ớc giải bài toán bằng Ph ơng pháp
toạ độ

Một số cách chọn hệ trục trong không
gian
I, đối với hình hộp chữ nhật hình lập ph ơng:

Chọn gốc là 1 trong 8 đỉnh

Ba cạnh phát xuất từ một
đỉnh nằm trên 3 trục


O
x
y
z
C
B
A
D
Iii, Tứ diện đều
Cách I:


Dựng hình lập ph ơng
ngoại tiếp tứ diện đều

Chọn hệ trục có gốc
trùng với 1 đỉnh của hình
lập ph ơng

Ba cạnh phát xuất từ
đỉnh đó nằm trên 3 trục
D3
D2
D1

Iii, Tứ diện đều
o
A
B

hình chóp

Hai trục Ox , Oy lần l ợt chứa
hai đ ờng chéo đáy
Chú ý : Hình chóp tứ giác
đều ( đáy là hình vuông
và các cạnh bên bằng
nhau ) cũng chọn nh vậy.

V, Chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật , các
cạnh bên bằng nhau

Chọn hai trục chứa hai
cạnh hình vuông đáy

Trục thứ ba vuông góc
đáy ( cùng ph ơng với đ
ờng cao SO của hình
chóp - trục Az này nằm
trong mặt chéo SAC)
x
y
z
S
Z
O
A
B
C
D

z
A
B
C
D
A
B
D
C
o
O
VII, lĂNG TRụ Đứng có đáy là hình thoi :

Chọn trục cao nằm trên đ
ờng thẳng nối tâm hai đáy

Hai trục kia chứa hai đ ờng
chéo đáy
Chú ý : Lăng trụ tứ
giác đều cũng chọn
nh vậy ( lăng trụ tứ
giác đều là lăng trụ
đứng có đáy là hình
vuông)

A
B
C
A
C

A1
C1
D1
A
B
C
D
B1
x
y
a
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình
vẽ : A1 trùng với O , Ox chứa cạnh
A1B1 , Oy chứa cạnh A1D1 , Oz chứa
cạnh A1A
Trong hệ trục đã chọn ta có :
A1(0 ; 0 ; 0) , B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) , D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) , B(a ; 0 ; a) , C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)

z
C1
D1
B
C
D
y
a
a, TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ® êng

A B . u ,u
d(A B ; B D) =
u ,u
Cã ,
uuuuur
1 1
A B = (a ;0;0)
[ ]
r r
1 2
u ,u = (-1;-2; 1)
1 1
a(-1) + 0.(-2) + 0.(-1)
a
d(A B;B D) = =
1 + 4 + 1 6
A1(0 ; 0 ; 0) ,
B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) ,
D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) ,
B(a ; 0 ; a) ,
C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)
z
A1
C1
D1
A
B

M
N
P
Ta cã
M(a ; 0 ; ) ,
2
a
N( ; a ; a ) ,
2
a
P( 0; ; 0 ) ,
2
a
§t MP cã VTCP
3
2
( 2;1; 1)u MP
a
= = − −
uuur
r
§t C1N cã VTCP
4 1
2
( 1;0;2)u C N
a
= = −
uuuur
r
Gäi lµ gãc gi÷a MP vµ C1N , ta cã

z
a
Bài 2:(Đại học khối A- năm 2002)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S , cạnh đáy bằng a.
Gọi M , N lần l ợt là trung điểm các cạnh SB , SC . Tính diện tích
tam giác AMN biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).
Do S.ABC là chóp tam giác đều
nên đáy ABC là tam giác đều cạnh
a . Gọi O là trung điểm cạnh AC ,
ta có BO vuông góc với AC.
Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ : Ox
chứa OB , Oy chứa AC,
( Oz song song SG là chiều cao
chóp tam giác đều S.ABC )
Khi đó O( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ; ;0),
B( ; 0 ; 0) ( Vì OB = )
C ( 0 ; ; 0), S( ; 0 ; )
( )
( )Oz ABC
2
a
3
2
a
3
2
a
2
a
3

uuur
uuuur
r
s s
1
s
s
s
s
2
1
z z
2a 3 a 3
M( ; 0; ) , N( ; ; )
3 2 12 2
mp(AMN) co VTPT : n = AM, AN
z
2a 3 -a
AM = ( ; ; )
3
az
2 2
z
a 3
-a 3z
-5 3a
n = ( ; ; )
8 8
-3a
AN = ( ; ; )

 
′
=
 
= −
−
−
−
=
−
−
=
uur uuur
r
uur
r
uuur
∆
∆
⊥ ⇔ ⇔ ⇔
 
 
r r
uuuur uuur
r
2 2 2 2
4 2
2
s s
1 2 s

a
s
z

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a ,
AD = 2a , AA = . M là điểm thuộc đoạn AD , K là trung
điểm của BM
1, Đặt AM = m ( ). Tính thể tích khối tứ diện AKID
theo a và m ( trong đó I là tâm hình hộp ) . Tìm vị trí của M để
thể tích đó đạt giá trị lớn nhất.
2, Giả sử M là trung điểm của AD.
a, Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(BCK) là hình gì ?
Tính diện tích thiết diện đó theo a.
b, CMR đ ờng thẳng BM tiếp xúc với mặt cầu đ ờng kính AA
2a
0 2m a <

Lời giải
A
D
C
B
A
D
C
B
x
y
z
2a

( ; ; )
2 2 2
m a a
K

'
3 3 3 2 2
2
' ( ; ; )
2 2
2
' ( ; ; )
2 2 2
' (2 ;0; 2)
2 2
1 1 2
' . ' , ' . . .
2 2 2 2 2 2
6 6 2 2
2 0
0 2 2 2
1 2 2 2 1 2 2 2
2 2
6 2 2 2 2 6 2 4 24
A KID
A
a a
A I a
m a a
A K

(2 ) ( 0 2 )
24
KID
a
a m do m a= <
3
'
2
0 2 0 2 2
12
A KID
a
m a a m a V < <
Cũng vì
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2a - m = 2a hay m = 0 , điều này
cũng đồng nghĩa M trùng A
Vậy
3
'
2
12
A KID
a
maxV M A=

A
D
C
B
A

= =
uuuur
r
Đ ờng thẳng BC có véctơ
chỉ ph ơng là
[ ]
( ; ' )d M B C =
Chiều cao của thiết diện BCMN là
,
( ; ' )
MC u
h d M B C
u= =
uuuur
r
r

A
D
C
B
A’
D’
C’
B’
x
y

V× MN song song víi B”C vµ B”C
song song víi A”D nªn MN song
song A”D , mµ M lµ trung ®iÓm AD
nªn N lµ trung ®iÓm AA”
2 2 2 2
2 2 2 2
2 6
ˆ
, ( )
2 2
ˆ
' , ' ' ( 2 ) (2 ) 6
a a
AMN vuong cho MN AM AN a
B BC vuong cho B C B B BC a a a
∆ = + = + =
∆ = + = + =
2
'
6 2
( 6 ).
( ' ). 3 2
2
3
ˆ
2 2 2
B CMN
a a
a
B C MN h a

2
'
a
N
B M co VTCP

2 2
2
2
(0;0; )
2
'
1 1
' ( ; ; 2) ( 1;1; 2)
2
( ;0; )
2
2 2
0
0
2 2
1 1
,
1 2 2 1
2
( ; ' )
2
1 1 2
'
( ; ' )

= = =
+ +
= =
uuuuur
r
uuuur
uuuur
r
r
Vậy đ ờng thẳng BM tiếp xúc với mặt cầu đ ờng kính
AA