1. Định nghĩa:
Số nguyên
A
được gọi là số chính phương
⇔
(
)
2
AaaZ
=∈
2. Một số tính chất áp dụng khi giải toán:

(
)
,1
AB
=
và
AB
là số chính phương thì
,
AB
là số chính phương.
Số chính phương tận cùng bằng 0,1,4,5,6,9.
Nếu
A
là số chính phương thì :

(
)

có chữ số tận cùng là 2,3 ,7 ,8.
4.Một số điều cần lưu ý:
>>>Khi giải các bài toán về số chính phương ta có thể áp dụng phương pháp môđun,
nghĩa là xét số dư của các số chính phương khi chia cho 1 số nguyên nào đó.
Ta xét ví dụ sau:
Tìm
k
để
2
43
ka
+=
.
Giả sử
2
43
ka
+=⇒

2
a
3
≡
(mod 4) (1)
lại có nếu a là số chính phương thì

A


Để phương trình có nghiệm nguyên thì
2
3
aa
+
là số chính phương
Lại có
222
222
344
3(2)
aaaaa
aaaa
<+<++
⇒<+<+

Do đó
22
321
1
aaaa
a
+=++
⇒=

Với
1
a
=

ay
−=−⇒
17(1)(5)(5)
ayy
−=−+

517
517
y
y
−

⇒

+




175
yn
⇒=±

⇒
2
17101
ann

633(mod4)
3632(mod4)
k+
≡
⇒+≡

363
n
⇒+
không chính phương
Xét
n
chẵn .Đặt
2
nk
=
(
0)
k
≠

Giả sử
363
n
+
là số chính phương tức là
363
n
+
=

31
37
2.36
33
2
k
k
k
kk
k
k
k
k
t
t
t
tt
t
t
k
−
−
−+
−
+
−
−
+=
⇒+=
⇒−=

xyz
++=
có vô số nghiệm nguyên.
*
nN
∀∈
, ta chọn
22
2;2;21.
xnynzn
===+

Ta có:
22222222
1(2)(2)1(21)
xynnnz
++=++=+=

Do đó phương trình có vô số nghiệm

Bài 4:
Cho
p
là tích của
n
số nguyên tố đầu tiên
(
)
1
n

pk
−=−
.
Một số chính phương không có dạng
31
k
−
.Từ đây ta có điều mâu thuẫn.

Bài 5: Chứng minh
7
345
nn
++
không chính phương.
Bổ đề:
{
}
2
(mod7);0,1,2,4
xii≡∈
Theo định lý Fermat ta có:
7
(mod7)
nn≡
7
7
345355(mod7)
3455(mod7)
nnn

nn
Skkkn=+++∀= .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương, khoảng
[
)
1
,
nn
SS
+
chứa ít nhất một số chính
phương.
Nhận xét: khoảng
[
)
1
,
nn
SS
+
có ít nhất một số chính phương khi và chỉ khi khoảng
)
1
,
nn
SS
+


có ít nhất một số nguyên dương, tức là:

+
+
+
−≥
⇔≥+
⇔+≥+
⇔≥+

Theo đề bài rõ ràng:
*
1
1
2,
(1)
nn
nn
kknN
Snknn
+
+
≥+∀∈
⇒≤−+

Ta cần chứng minh:
()
()
11
2
111
2

)
1
,
nn
SS
+
chứa ít nhất một số chính phương.

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, tồn tại một số nguyên dương n sao
cho là số chính phương và là số lập phương.
Chọn
2
33
nmm
=++
thì:

22
3
1(2)
1(1)
mnm
mnm
++=+
+=+
J
6. Bài tập luyên tập.
Bài 1: Nếu
,
abZ

++++−++
là số chính phương.

Bài 3: Tìm
a
để
197
a
+
là số chính phương.

Bài 4:Chứng minh rằng:
2*
1952000()
nn
nN
++∈ không phải là số chính phương.

Bài 5: Tìm
n
để tổng bình phương các số từ
1
đến
n
là số chính phương.

Bài 6: Với mọi số nguyên dương
n
, hãy xác định (phụ thuộc theo
n

,.
98
nn
n
aa
anN
−+
+
=∀∈

Chứng minh rằng
(
)
1
6
n
a
+
là số chính phương ,
*
.
nN
∀∈

Bài 8: Cho các số

11 11
A
=
(