Bổ túc về Giải tích Tổ hợp
Nguồn: thunhan.wordpress.com
1. TẬP HỢP:
Tập hợp là một nhóm các đối tượng có chung một số các tính chất nhất định nào
đó. Mỗi đối tượng thuộc tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp.
Các ví dụ về tập hợp:
- Tập hợp sinh viên trong trường đại học nào đó.
- Tập hợp N mọi số tự nhiên.
- Tập hợp R mọi số thực.
Muốn xác định một tãp hợp, có thể dùng một trong hai cách:
a) Liệt kê mọi phần tử của nó, chẳng hạn: A = {a, b, c, d} là tập hợp bốn chữ cái
đầu tiên của bảng chữ cái tiếng Việt.
b)
Chỉ ra một đặc tính đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Thí dụ: là tập hợp số thực thỏa mãn tính chất .
Tập hợp có số phần tử hữu hạn được gọi là tập hợp hữu hạn. Còn tập hợp có số
phần tử là vô hạn được gọi là tập hợp vô hạn.
Tập hợp vô hạn được chia làm hai loại:
-
Tập hợp vô hạn đếm được. Thí dụ: tập hợp tất cả các số nguyên dương: 1, 2, 3,
…
-
Tập hợp vô hạn không đếm được. Thí dụ: tập hợp tất cả các điểm của một
đường thẳng, tập hợp tất cả các số thực trong khoảng (0, 2) là những tập hợp
không đếm được.
2. QUY TẮC NHÂN:
Quy tắc nhân được phát biểu như sau:
Một công việc nào đó được chia làm hai giai đoạn, có n1 cách hoàn thành giai
đoạn I và có n2 cách hoàn thành giai đoạn II. Khi đó sẽ có tất cả: n = n1.n2 cách
hoàn thành công việc.
Thí dụ: Ta muốn đi từ vị trí A đến vị trí B. Trên đường đi ta muốn ghé qua vị trí C.

cách
4. CHỈNH HỢP LẶP:
4.1 – Định nghĩa:
Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n
phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, …, k lần trong nhóm tạo
thành.
Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp, nên k có thể
lớn hơn n. Chẳng hạn cho ba phần tử 2, 3, 5. Các chỉnh hợp lặp chập 2 của ba
phần tử sẽ là:
22 23 25
32 33 35
52 53 55
Số chỉnh lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là:
4.2 – Công thức tính:
Ta thành lập công thức tổng quát để tính . Muốn vậy ta lập luận như sau: để có
một chỉnh hợp lặp chập k ta có thể chọn phần tử thứ nhất theo n cách. Phần tử thứ
hai cũng có n cách chọn … phần tử thứ k cũng có n cách chọn ( vì mỗi phần tử có
thể chọn lại nhiều lần). Vì vậy theo quy tắc nhân ta có: n . n … n = cách thành lập
một chỉnh hợp lặp chập h khác nhau từ n phần tử đã cho.
Do đó:
(1.3)
4.3 Thí dụ: Để đăng ký mỗi loại máy mới người ta dùng 3 con số trong 9 con số 1
… 2 … 9. Hỏi có thể đánh số được bao nhiêu máy.
Giải: Ở đây mỗi số của máy là một chỉnh hợp lặp chập 3 từ 9 phần tử đã cho. Vậy
có thể đánh số được:
máy.
5. HOÁN VỊ:
5.1 – Định nghĩa:
Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử đã cho.
Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là

Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu.
Giải: Ta thấy mỗi trận đấu giữa hai đội bóng là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử
(vì hai đội thi đấu với nhau thì không cần phân biệt thứ tự). Do đó số trận đấu cần
tổ chức là:

6.4 – Các tính chất của tổ hợp:
1)
Chứng minh:

2)

3)

7. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:
Nhị thức Newton là lũy thừa bậc nguyên dương của tổng hai số hạng trong
đó a, b là hằng số thực tùy ý, n = 1, 2, 3, …