. Các bài cực trị liên quan đến phương trình đường
thẳng
Bài 1. Cho đường thẳng và hai điểm . Tìm điểm
trên đường thẳng sao cho:
a) nhỏ b) lớn nhất
Hướng dẫn giải
Trước tiên ta kiểm tra nằm cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng .
Ta có:

Suy ra nằm cùng phía đối với đường thẳng .
a) Gọi là điểm đối xứng của qua và là giao điểm của với . Khi đó
là trung điểm của .
Phương trình đường thẳng hay
Tọa độ của là nghiệm của hệ:

Suy ra tọa độ
Gọi là giao điểm của và
Phương trình đường thẳng hay
Tọa độ của là nghiệm của hệ:

Khi đó là điểm cần tìm. Thật vậy:
Với mọi điểm ta có và dấu
xảy ra khi và chỉ khi
b) Ta có thể trình bày như câu a) hoặc có thể trình bày theo cách sau:
Ta có . Dấu xảy ra khi và chỉ khi thuộc đường thẳng và
nằm ngoài đoạn thẳng . Mà cùng phía đối với đường thẳng nên điểm
cần tìm chính là giao của đường thẳng và đường thẳng
Phương trình đường thẳng . Suy ra tọa độ của điểm cần tìm là

Bài 2. Cho đường thẳng và hai điểm . Tìm điểm
trên đường thẳng sao cho:

Tọa độ điểm
Phương trình đường thẳng qua và vuông góc với là:
Khi đó cần tìm chính là giao điểm của và . Tọa độ của là nghiệm của hệ
phương trình:

Vậy là điểm cần tìm.
b) Gọi điểm là điểm thỏa .
Khi đó ta có Ta có là cố định, nên không đổi. Do đó nhỏ nhất khi
và chỉ khi nhỏ nhất, khi đó là hình chiếu của trên đường thẳng
Tọa độ điểm
Suy ra tọa độ điểm cần tìm là
Nhận xét: Chúng ta có thể làm tương tự với những biểu thức cực trị có dạng
hoặc