G.NTH
8
Khi đó: (1) S = sin + cos(4sin + 3cos)
26
Ta có: S sin + cos
+=++ cos5sin)cos)(sin34(
2222

2 2 2 2
(1 5 )(sin cos ) 26

+ + =
(đpcm)
IV. Dạng 4
: Sử dụng công thức 1+ tg
2

=

2
cos
1
1. Phơng pháp:
a) Nếu x R và bài toán chứa (1+x
2
) thì đặt x = tg với






3
2

+

+ )x(
x
x
x
Giải:
Đặt x = tg với








2
,
2


=+
cos
x
1
1
2

22
42
)tg1(
tg3tg43
+
++
=
+=
+
++
22222
222
4224
cossin2)cos(sin3
)sin(cos
sin3cossin4cos3
= 3 -
3
2
0
2
2
2sin
3A
2
1
3
2
5
2

G.NTH
9
Đặt a = tg, b = tg. Khi đó
)tg)(tg(
)tgtg)(tgtg(
)b)(a(
)ab)(ba(
++
+
=
++
+
2222
11
1
11
1
=



+

cos.cos
sin.sincos.cos
.
cos.cos
)sin(
.coscos
22


)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
222222
++


++

+
++







+



cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos

)db)(ca(
cd
)db)(ca(
ab







+






+
+






+




1sinsincoscos
)tg1)(tg1(
tg.tg
)tg1)(tg1(
1
2222
22
22
22
+=
++

+
++
cos cos + sin sin = cos(-) 1 đúng (đpcm)
Dấu bằng xảy ra cos(-) = 1 =
b
d
a
c
=
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
1a
|1a|4a6
2
2
+
+
G.NTH
10

+



+

+

=
+



+

A = 3sin + 4 |cos| 3 sin + 4.0 = 3sin 3.(-1) = -3
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
A
2
= (3sin + 4 |cos|)
2
(3
2
+ 4
2
)(sin
2
+ cos
2
) = 25 A 5



Ccosz;Bcosy;Acosx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
b) Nếu



=++
>
xyzzyx
z;y;x 0
thì





===



tgCz;tgBy;tgAx
)
2
;0(C;B;A
:ABC

===



2
C
tgz;
2
B
tgy;
2
A
tgx
);0(C;B;A
gCcotz;gBcoty;gAcotx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
S =
)zyx(3
z
1
y
1
x
1
++++

2

+ tg
2

tg
2

= 1
G.NTH
11
tg
2








+

2
tg
2
tg
= 1 -
2
tg




=



+


=++

=
++




=

+










2

-3







+

+

2
tg
2
tg
2
tg
S =







+




222
2
222222
tgtgtgtggcottggcottggcot
S = 2(cotg+cotg+cotg) -







+

+

222
2 tgtgtg
S = (cotg+cotg-2tg
2

) + (cotg+cotg-2tg
2

) +(cotg+cotg-2tg
2

)

sin2
)cos(1
sin2
2


+

=


=
+

=
+

T đó suy ra S 0. Với x = y = z =
3
1
thì MinS = 0
VD2
: Cho 0 < x, y, z < 1 và
)z1)(y1()x1(
xyz4
z1
z
y1
y
x1





2
,0
Khi đó tg =
2
x1
x2

; tg =
2
y1
y2

; tg =
2
z1
z2

và đẳng thức ở giả thiết

2
x1
x2

+
2
y1

,0
nªn α + β = π - γ ⇔ α + β + γ = π. Khi ®ã ta cã:
tg
2
α
tg
2
β
+ tg
2
β
tg
2
γ
+ tg
2
γ
tg
2
α
= 1 ⇔ xy + yz + zx = 1. MÆt kh¸c:
(x
2
+ y
2
+ z
2
) - (xy + yz + zx) =
2
1

x
≤
+
+
+
+
+
Gi¶i:
§Æt
2
tg
x
yz α
=
;
2
tg
y
xz β
=
;
2
tg
z
xy γ
=
víi α, β, γ ∈




β
+ tg
2
β
tg
2
γ
+ tg
2
γ
tg
2
α
= 1
⇔ tg






γ
+
β
22
= cotg
2
α
⇔ tg


2
α
⇔
π=γ+β+α⇔
π
=
γ+β+α
22
S =
2
3
1
xyz
z2
1
zxy
y2
1
yzx
x2
2
1
xyz
z
zxy
y
yzx
x
+







−
+
=
+
+
+
+
+
=
2
3
z
xy
1
z
xy
1
y
zx
1
y
zx
1
x
yz

−
+
+
−
+
+
−
=+








+
−
+
+
−
+
−
−
=
2
1
(cos + cosβ + cosγ) +
2
3

2
=+=+






++++
(đpcm)
3. Các bài toán đa ra trắc nghiệm
Trớc khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của
2 lớp 11A1 và 11A2 ở trờng tôi, tôi đã ra bài về nhà cho các em, cho các em
chuẩn bị trớc trong thời gian 2 tuần. Với các bài tập sau:
Bài 1:Cho a
2
+ b
2
= 1. CMR: | 20a
3
- 15a + 36b - 48b
3
| 13.
Bài 2
:Cho (a-2)
2
+ (b-1)
2
= 5. CMR: 2a + b 10.
Bài 3
































1
b) xy + yz + zx
4
3
c) x
2
+ y
2
+ z
2

4
3
d) xy + yz + zx 2xyz +
2
1
e)
3
z1
z1
y1
y1
x1
x1

+

+
+


z
y1
y
x1
x
:CMR
1zxyzxy
0z,y,x
222


+

+




=++
>
Bài 9:Cho
2
3
z1
z
y1
y
x1
x
:CMR

:CMR
1zxyzxy
0z,y,x
+
+
+
+
+
≥
+
+
+
+
+



=++
>