Trong quá trình học tập, tôi cảm thấy lượng giác là một phương pháp rất hay trong việc giải quyết nhiều bài toán số
học, sau đây là một trong những ví dụ như vậy.
I-Một số cách chuyển bài toán qua lượng giác:
1/ Nếu biến x tham gia trong bài toán có điều kiện
( )
0x k k≤ >
, ta đặt
[ ]
os , 0,x kc
α α π
= ∈
hoặc
sin , ;
2 2
x k
π π
α α
 
= ∈ −
 
 
.
2/ Nếu
x∈ ¡
, đặt
tan , ;
2 2
x
π π
α α
 

 
∈ −
 ÷
 
.
5/ Một số biểu thức thường gặp khác:
Biểu thức Cách đặt x Miền giá trị của biến
2 2
x a+
tanx a
α
=
;
2 2
π π
α
 
∈ −
 ÷
 
2 2
a x−
os
sin
x ac
x a
α
α
=


÷ ÷
 
   
1
x y
xy
+
−
hoặc
1
x y
xy
−
+
tan
tan
x
y
α
β
=


=

, ,
2 2
π π
α β
 

. Theo giả thiết ta có
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2
π
α β β γ γ α α β γ
+ + = ⇒ + + =
.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1 1 1 tan 1 tan
os sin
tan . tan .
1 1 tan os . os os .cos
y z
c
x
x c c c
β γ
α α
α α
α β γ β γ
+ + + +
= = =
+ +
( )
os
os . os sin .sin

1
Giải: Đ ặt
tan , tan , tan , , 0;
2
a b c
π
α β γ α β γ
 
= = = ∈
 ÷
 
. Từ giả thiết ta có :
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2
π
α β β γ γ α α β γ
+ + = ⇒ + + =
Ta có:
( ) ( )
2
2 2
1 1
cot .cot . os
1 tan .tan 1 tan
c
bc a
β γ α
β γ α
= =
+ +

(đpcm)
Một số bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng :
a)
1 1 1 1 1 1
4x y y z z x
x y y z z x
   
      
− − + − − + − − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷ ÷
      
   
b)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3x y z xyz x y z y z x z x y+ + − = + + + + +
Bài 2: Cho
2 2 2
, , 0, 2 1x y z x y z xyz> + + + =
. Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1xyz x y x y x z z x y+ = − − + − − + − −
Bài 3: Cho
1 , 0.x y z xy yz zx xyz xyz+ + + + + = + ≠
Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )

(1)
1
1 1
x y xy
z
z
x y
+ −
−
=
+
+ +
2/
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
1
2
(2)
1
1 1
xy x y
z
z
x y
− − +
=
+

( )
ost , t 0;x c
π
= ∈
, khi đó
( ) ( )
(1) 1 ost 1 ost 2
n n
n
c c⇔ + + − <
Ta có :
( ) ( )
2n 2
1 ost 1 ost 2 os sin
2 2
n n
n n
t t
c c c
 
+ + − = +
 ÷
 
Vì ta có
t
0 0 sin . os 1
2 2 2 2
t t
c
π

( ) ( )
2 2
2 2
2 4 4 0 1 1 1x y x y x y
+ − − + = ⇒ − + − =
Đặt
( )
1 sin , 2 os , 0;2 1 sin , 2 osx y c x y c
α α α π α α
− = − = ∈ ⇒ = + = +
( ) ( )
2 2
2 3 2 1 2 3 4 2 3 3 4 3 2sin 2
6
A x y xy x y
π
α
 
= − + − + + − − + = −
 ÷
 
2
Suy ra
2A ≤
(đpcm)
Bài toán 3: Cho
( )
*
0 1, 1, 2,.....,
i

1 2 n 1 2 n
1 os 1 os ..... 1 os 1 os . os ........ os (1)c c c c c c
α α α α α α
+ + + ≥ +
Thay
2
i
2
1 tan
2
os
1 tan
2
i
i
c
α
α
α
−
=
+
thay vào (1) ta có
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
n n

n
a a a⇔ = = = =
.
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
xyy
xxy
P
221
)6(2
2
2
++
+
=
với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức
1
22
=+
yx
(Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2008 – Khối B)
Giải: Hệ thức
1
22
=+
yx
giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác:
1cossin
22
=+
uu

2
≤−+⇔
PP
36
≤≤−⇔
P
Vậy, giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6.
Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
52
+−=
xyP
với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức:
91636
22
=+
yx
Giải:
Biến đổi
91636
22
=+
yx
về dạng:
1
3
4
3
6
22
=




=
=
uy
ux
u
y
u
x
sin
4
3
cos
2
1
sin
3
4
cos
3
6
Khi đó, dưới dạng lượng giác thì: P =
5cossin
4
3
+−
uu
Sử dụng bất đẳng thức:









+








+
−








+
=
2222

+
=
Lúc đó, hàm số P dưới hình thức lượng giác là:
P = 3 sin
2
u – 4 sinu.cosu
2
3
2cos
2
3
2sin2
+−=
uu
Áp dụng bất đẳng thức:
2222
cossin baubuaba
+≤+≤+−
Ta được: maxP = 4
minP = -1
Bài toán 6: Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn: x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
y
y
x
x
P
−
+
−

uu
u
u
u
u
cossin
cossin
sin
cos
cos
sin
3322
+
=+
Đặt t = sinu.cosu =
21,
4
sin2
≤≤






+
tu
π
thí
1

fP
Bài toán 7: Tìm a và b sao cho hàm số:
1
2
+
+
=
x
bax
y
đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1.
Giải: Do hàm số y xác định với mọi x và sự có mặt của đại lượng 1 + x
2
cho nên ta có thể lượng gíac hóa bằng
cách đặt: x = tan
α
.
Khi đó, hàm số y trở thành:
ααα
α
α
2
2
coscossin
tan1
tan
ba
ba
y
+=

2
ba
b
y
+−=
Đến đây, việc tìm a và b thỏa yêu cầu bài toán quy về việc giải hệ phương trình:
5