1
Đ
Đ
O
O
À
À
THỊ PHA
THỊ PHA
Ú
Ú
NG
NG
Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 2
Đ
Đ
ònh ngh
ònh ngh
ó
ó
a
a
̈
̈
Đ
Đ
o
o
à
à
thò pha

đư
ơ
ơ
ï
ï
c go
c go
ï
ï
i la
i la
ø
ø
pha
pha
ú
ú
ng ne
ng ne
á
á
u to
u to
à
à
n ta
n ta
ï
ï
i

ø
o cu
o cu
û
û
a G ca
a G ca
é
é
t nhau.
t nhau.
̈
̈
Khi G la
Khi G la
ø
ø
mo
mo
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
à
à
thò pha

nh na
ø
ø
o cu
o cu
û
û
a G ca
a G ca
é
é
t nhau)
t nhau)
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c go
c go
ï
ï
i la
i la
ø
ø
mo
mo
ä

ù
: hai ca
: hai ca
ï
ï
nh co
nh co
ù
ù
chung mo
chung mo
ä
ä
t
t
đỉ
đỉ
nh
nh
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c qui
c qui
ư
ư
ơ

du
du
ï
ï
̈
̈
Đ
Đ
o
o
à
à
thò (G1) la
thò (G1) la
ø
ø
đ
đ
o
o
à
à
thò pha
thò pha
ú
ú
ng va
ng va
ø
ø

û
û
a (G1).
a (G1).
(G
2
)
(G
3
)
(G
1
)
3
Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 5
Đ
Đ
ònh ngh
ònh ngh
ó
ó
a
a
̈
̈
(b)
(b)
Phe
Phe
ù

o 1
đỉ
đỉ
nh na
nh na
è
è
m trên 1 ca
m trên 1 ca
ï
ï
nh, hay go
nh, hay go
ä
ä
p 2 ca
p 2 ca
ï
ï
nh co
nh co
ù
ù
chung
chung
đỉ
đỉ
nh ba
nh ba
ä

ng phôi
̈
̈
Hai
Hai
đ
đ
o
o
à
à
thò
thò
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c go
c go
ï
ï
i la
i la
ø
ø
đ
đ
o

ừ
đ
đ
o
o
à
à
thò kia ba
thò kia ba
è
è
ng ca
ng ca
ù
ù
ch th
ch th
ự
ự
c hie
c hie
ä
ä
n mo
n mo
ä
ä
t dãy ca
t dãy ca
ù

Đ
ònh ly
ònh ly
ù
ù
: Ne
: Ne
á
á
u G la
u G la
ø
ø
mo
mo
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
à
à
thò pha
thò pha
ú
ú
ng th

1
đ
đ
o
o
à
à
ng phôi vơ
ng phôi vơ
ù
ù
i G sao cho co
i G sao cho co
ù
ù
the
the
å
å
vẽ G
vẽ G
1
1
ba
ba
è
è
ng
ng
ca

Đ
Đ
ònh ngh
ònh ngh
ó
ó
a
a
̈
̈
Ca
Ca
ù
ù
c
c
đ
đ
o
o
à
à
thò sau
thò sau
đ
đ
ây
ây
đ
đ

trên
trên
đ
đ
o
o
à
à
thò
thò
̈
̈
T
T
í
í
nh pha
nh pha
ú
ú
ng cu
ng cu
û
û
a mo
a mo
ä
ä
t
t

ä
ä
t hay nhie
t hay nhie
à
à
u la
u la
à
à
n ca
n ca
ù
ù
c phe
c phe
ù
ù
p ru
p ru
ù
ù
t go
t go
ï
ï
n sau
n sau
đ
đ

c ca
c ca
ï
ï
nh song song (ch
nh song song (ch
ỉ
ỉ
gi
gi
ư
ư
õ la
õ la
ï
ï
i mo
i mo
ä
ä
t ca
t ca
ï
ï
nh no
nh no
á
á
i
i

ø
ø
nh mo
nh mo
ä
ä
t ca
t ca
ï
ï
nh.
nh.
Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 8
Ca
Ca
ù
ù
c phe
c phe
ù
ù
p ru
p ru
ù
ù
t go
t go
ï
ï
n cơ ba

ònh ly
ònh ly
ù
ù
1
1
:
:
̊
̊
Đ
Đ
o
o
à
à
thò
thò
đ
đ
u
u
û
û
K
K
5
5
không
không

ỡng phân
ỡng phân
đ
đ
u
u
û
û
K
K
3,3
3,3
không pha
không pha
ú
ú
ng.
ng.
K
5
K
3, 3
Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 10
Đ
Đ
ònh ly
ònh ly
ù
ù
Kuratowski

ø
K
K
3,3
3,3
la
la
ø
ø
ca
ca
ù
ù
c
c
đ
đ
o
o
à
à
thò không pha
thò không pha
ú
ú
ng
ng
đ
đ
ơn

Ne
á
á
u xo
u xo
ù
ù
a
a
đ
đ
i 1
i 1
đỉ
đỉ
nh hay 1 ca
nh hay 1 ca
ï
ï
nh cu
nh cu
û
û
a 2
a 2
đ
đ
o
o
à

ú
ng.
ng.
̊
̊
Đ
Đ
o
o
à
à
thò K
thò K
5
5
la
la
ø
ø
đ
đ
o
o
à
à
thò không pha
thò không pha
ú
ú
ng co

ø
đ
đ
o
o
à
à
thò không pha
thò không pha
ú
ú
ng co
ng co
ù
ù
í
í
t ca
t ca
ï
ï
nh nha
nh nha
á
á
t.
t.
6
Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 11
Đ

n ca
à
à
n va
n va
ø
ø
đ
đ
u
u
û
û
đ
đ
e
e
å
å
mo
mo
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
à

đ
o
o
à
à
thò con na
thò con na
ø
ø
o
o
đ
đ
o
o
à
à
ng phôi vơ
ng phôi vơ
ù
ù
i K
i K
5
5
hay K
hay K
3,3
3,3
.

7
6
5
4
2
Đồng
phôi
Vẽ lại
Đồ thò
con
7
Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 13
Công th
Công th
ứ
ứ
c Euler
c Euler
̈
̈
Đ
Đ
ònh ly
ònh ly
ù
ù
: Cho G la
: Cho G la
ø
ø

ử
ử
G chia ma
G chia ma
ë
ë
t pha
t pha
ú
ú
ng ra la
ng ra la
ø
ø
m f vu
m f vu
ø
ø
ng, ta co
ng, ta co
ù
ù
công
công
th
th
ứ
ứ
c sau (công th
c sau (công th

o
o
à
à
thò
thò
đ
đ
ơn, pha
ơn, pha
ú
ú
ng, liên thông, go
ng, liên thông, go
à
à
m n
m n
đỉ
đỉ
nh va
nh va
ø
ø
e ca
e ca
ï
ï
nh (vơ
nh (vơ

ù
ù
:
:
e
e
≥
≥
(3/2)f
(3/2)f
e
e
≤
≤
3n
3n
-
-
6
6
Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 14
Công th
Công th
ứ
ứ
c Euler
c Euler
̈
̈
V

đ
e
e
å
å
ch
ch
ứ
ứ
ng minh t
ng minh t
í
í
nh không
nh không
pha
pha
ú
ú
ng cu
ng cu
û
û
a K
a K
5
5
. K
. K
5

ù
e=10 > 9=3v
e=10 > 9=3v
-
-
6 do
6 do
đ
đ
o
o
ù
ù
K5 không pha
K5 không pha
ú
ú
ng (chu
ng (chu
ù
ù
y
y
ù
ù
ra
ra
è
è
ng

û
a mãn e
a mãn e
≤
≤
3v
3v
–
–
6 th
6 th
ì
ì
ch
ch
ư
ư
a
a
cha
cha
é
é
c la
c la
ø
ø
đ
đ
o

Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 15
Tô ma
Tô ma
ø
ø
u
u
đ
đ
o
o
à
à
thò
thò
̈
̈
Sa
Sa
é
é
c so
c so
á
á
cu
cu
û
û
a

o
à
à
thò la
thò la
ø
ø
mo
mo
ä
ä
t ca
t ca
ù
ù
ch
ch
đ
đ
a
a
ù
ù
nh nhãn cho
nh nhãn cho
mỗi
mỗi
đỉ
đỉ
nh cu

à
nhau pha
nhau pha
û
û
i
i
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
đ
đ
a
a
ù
ù
nh nhãn kha
nh nhãn kha
ù
ù
c nhau.
c nhau.
̊
̊
Sa

ä
u
u
γ
γ
(G), la
(G), la
ø
ø
mo
mo
ä
ä
t so
t so
á
á
nguyên d
nguyên d
ư
ư
ơng k nho
ơng k nho
û
û
nha
nha
á
á
t sao cho to

du
ï
ï
ng k ma
ng k ma
ø
ø
u.
u.
Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 16
Tô ma
Tô ma
ø
ø
u
u
đ
đ
o
o
à
à
thò
thò
̈
̈
γ
γ
(G)=4
(G)=4

m, n
m, n
∈
∈
|N
|N
(G)
Đ
X
Đ
X
V
T
9
Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 17
Tô ma
Tô ma
ø
ø
u
u
đ
đ
o
o
à
à
thò
thò
̈

̊
Ne
Ne
á
á
u
u
đ
đ
o
o
à
à
thò G co
thò G co
ù
ù
ch
ch
ứ
ứ
a
a
í
í
t nha
t nha
á
á
t mo

Đ
o
o
à
à
thò
thò
đ
đ
u
u
û
û
n
n
đỉ
đỉ
nh K
nh K
n
n
co
co
ù
ù
sa
sa
é
é
c so

t
đ
đ
o
o
à
à
thò con
thò con
đ
đ
a
a
ú
ú
ng ca
ng ca
á
á
u K
u K
r
r
th
th
ì
ì
γ
γ
(G)

ì
nh sơ ca
nh sơ ca
á
á
p n
p n
đỉ
đỉ
nh th
nh th
ì
ì
:
:
̈
̈
γ
γ
(G)= 2 ne
(G)= 2 ne
á
á
u n cha
u n cha
ú
ú
n,
n,
γ

thò
thò
̈
̈
Đ
Đ
ònh ly
ònh ly
ù
ù
1
1
.
.
̊
̊
Ne
Ne
á
á
u T la
u T la
ø
ø
mo
mo
ä
ä
t cây n
t cây n

̊
̊
Cho G la
Cho G la
ø
ø
đ
đ
o
o
à
à
thò liên thông co
thò liên thông co
ù
ù
í
í
t nha
t nha
á
á
t 1 ca
t 1 ca
ï
ï
nh. Khi
nh. Khi
đ
đ

ù
ù
so
so
á
á
ca
ca
ï
ï
nh le
nh le
û
û
.
.
̈
̈
Đ
Đ
ònh ly
ònh ly
ù
ù
3
3
.
.
̊
̊

d(G)+1.
d(G)+1.
10
Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 19
Ba
Ba
ø
ø
i toa
i toa
ù
ù
n sa
n sa
é
é
c so
c so
á
á
cu
cu
û
û
a
a
đ
đ
o
o

u
u
̈
̈
Khoa
Khoa
û
û
ng 10/1852, gia
ng 10/1852, gia
ù
ù
o s
o s
ư
ư
De Morgan ơ
De Morgan ơ
û
û
tr
tr
ư
ư
ơ
ơ
ø
ø
ng
ng

à
à
ng nghie
ng nghie
ä
ä
p cu
p cu
û
û
a m
a m
ì
ì
nh la
nh la
ø
ø
ông Sir
ông Sir
William Hamilton
William Hamilton
đ
đ
e
e
å
å
ba
ba

o
o
à
à
đ
đ
e
e
à
à
u
u
co
co
ù
ù
the
the
å
å
tô ba
tô ba
è
è
ng 4 ma
ng 4 ma
ø
ø
u sao cho hai n
u sao cho hai n

è
è
ng hai ma
ng hai ma
ø
ø
u kha
u kha
ù
ù
c nhau
c nhau
”
”
.
.
̈
̈
Sau
Sau
đ
đ
o
o
ù
ù
co
co
ù
ù

ù
ù
n ho
n ho
ï
ï
c
c
đ
đ
e
e
å
å
gia
gia
û
û
i ba
i ba
ø
ø
i toa
i toa
ù
ù
n na
n na
à
à

û
û
cuo
cuo
á
á
i
i
cu
cu
ø
ø
ng.
ng.
Đ
Đ
a
a
ë
ë
c bie
c bie
ä
ä
t co
t co
ù
ù
mo
mo

đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c chỗ không
c chỗ không
đ
đ
u
u
ù
ù
ng trong lơ
ng trong lơ
ø
ø
i gia
i gia
û
û
i),
i),
nh
nh
ư
ư
ng ly
ng ly

ng cho
ng cho
“
“
ba
ba
ø
ø
i toa
i toa
ù
ù
n 5
n 5
ma
ma
ø
ø
u
u
”
”
. Va
. Va
ø
ø
o năm 1976,
o năm 1976,
Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 20
Ba

ú
ng
ng
̈
̈
Đ
Đ
ònh ly
ònh ly
ù
ù
5 ma
5 ma
ø
ø
u:
u:
mo
mo
ï
ï
i
i
đ
đ
o
o
à
à
thò pha

ù
n sa
n sa
é
é
c so
c so
á
á
cu
cu
û
û
a
a
đ
đ
o
o
à
à
thò pha
thò pha
ú
ú
ng
ng
̈
̈
Liên quan gi

o
à
à
thò pha
thò pha
ú
ú
ng
ng